Zéro / 0

Le chiffre zéro est un symbole marquant une position vide dans l'écriture des nombres en notation positionnelle.

Catégories :

Nombre entier - Zéro

Définitions :

Adjectif cardinal; Marque le point de départ dans un repère normé, dans une série numérotée; Nombre qui indique une quantité nulle, c'est ... (source : fr.wiktionary)

Le chiffre zéro (de l'italien zero, dérivé de l'arabe sifr, en premier lieu transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l'écriture des nombres en notation positionnelle.

Le nombre zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité (nulle), constituant ainsi le cardinal de l'ensemble vide. Il est conçu comme le plus petit des entiers naturels. Ses propriétés arithmétiques spécifiques, surtout l'impossibilité de la division par zéro, impliquent quelquefois de traiter son cas à part. Il sépare les nombres réels en positifs et négatifs, tient lieu d'origine pour repérer des points sur la droite réelle.

D'une façon plus générale, zéro sert à désigner l'élément neutre pour l'addition dans la majorité des groupes abéliens et surtout dans les anneaux, corps, espaces vectoriels et algèbres, quelquefois sous le nom d'élément nul.

Les Babyloniens ont utilisé les premiers, légèrement plus de 200 ans avant J. C, une forme de zéro à l'intérieur d'un nombre (ex 304) mais jamais à droite du nombre, ni à gauche. C'est l'Inde qui, en reprenant l'héritage culturel des Grecs, peaufine la numération. Elle n'utilise pas uniquement le zéro comme notation à la manière babylonienne, mais également comme un nombre avec lequel opérer. Notion et notation indiennes du zéro sont ensuite empruntées par les mathématiciens arabes^[1] puis par les Européens.

0
Cardinal	Zéro
Ordinal	zéroième nullième^[2] 0^e
Préfixe grec	oudén
Préfixe latin	nihil
Adverbe	zéroièmement
Propriétés
Facteurs premiers	Aucune
Autres numérotations
Numération romaine	(inexistant)
Système binaire	0
Système octal	0
Système duodécimal	0
Système hexadécimal	0

Histoire

Zéro comme chiffre

Il est apparu trois fois dans l'histoire des systèmes de numération élaborés par différents peuples et civilisations.

La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au III^e siècle av. J. -C. , à l'époque des Séleucides. Il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le dispositif de numération babylonienne) ^[3] ; quoiqu'ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé toujours par les astronomes grecs.

Il a été ensuite redécouvert par les Chinois, qui n'ont pas su par contre introduire le zéro. Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du XIX^e siècle, nous apprennent que, dès les XIV^e ‑ XI^e siècles av. J. -C. , les Chinois utilisaient une numération décimale de type «hybride», combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position spécifiques pour les dizaines, centaines, milliers et myriades.

Il est aussi utilisé par les Mayas durant le I^er millénaire, comme chiffre dans leur dispositif de numération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l'introduction des mois. (voir numération maya)

Comme nombre

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari vers le V^e siècle. Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui veut dire «vide» «espace» ou «vacant». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, traduit de l'arabe en «ṣifr» (Sifr ?????), ce qui veut dire «vide» et «grain», est la racine des mots chiffre et zéro (vient de ce que Fibonacci a traduit l'arabe Sifr par l'italien zephiro, à partir duquel il a constitué zevero qui est devenu zero). La graphie du zéro, en premier lieu un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste.

Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des mathématiciens musulmans, surtout ceux d'al-Khwārizmī, vers le VIII^e siècle. Les chiffres arabes sont importés d'Espagne en Europe chrétienne aux environs de l'an mil par Gerbert d'Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro ne se généralise pas pour tout autant dans la vie courante, les chiffres dits arabes servant en particulier... à marquer les jetons d'abaque de 1 à 9 !

Ce n'est qu'avec le retour du commerce intensif consécutif aux Croisades que les Européens généralisent, au XII^e siècle, l'usage du zéro. Une curiosité pour les œuvres des auteurs grecs et musulmans prend en même temps naissance.

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a une influence déterminante. Il reste plusieurs années en Afrique du Nord en Algérie et précisément à Béjaïa ou Bougie et étudie auprès d'un professeur local. Il voyage aussi en Grèce, Égypte, Proche-Orient et confirme l'avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble quasiment l'ensemble des connaissances mathématiques de l'époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque.

Graphies actuelles

La graphie «0» n'est pas l'unique utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — spécifiquement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes.

Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre
Amharique	፨	Arabe Oriental	?	Bengalî	?	Birman	၀
Dévanagari	?	Arabe Occidental	0	Gurmukhî	?	Kannara	೦
Khmer	໐	Gujarati	?	Malayalam	൦	Oriya	?
Tamoul	௦	Télougou	౦	Thaï	๐	Tibétain	༠
Sinogramme	?/?

Utilisations

Il est actuellement à la base de notre dispositif de mesure de la température :

0 °C : température du passage de l'eau de l'état solide (glace) à l'état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa ;
0 K : zéro absolu, température la plus basse envisageable (-273, 15 °C), pour laquelle l'énergie rovibrationnelle et cinétique des molécules est nulle.

Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au VI^e siècle. Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite...

C'est ainsi que le III^e millénaire et le XXI^e siècle ont commencé le 1^er janvier 2001.

Minuit peut se noter 00 :00.

Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation d'éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc) se fait par décalage comparé à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque dispositif ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16...

Dans la base dix qu'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers...

Le zéro joue par conséquent un rôle spécifique dans le système arithmétique positionnel, quel qu'il soit du reste.

Rappelons que l'usage de la base 10, en provenance de l'Inde, s'est vu consacré comparé à d'autres bases, comme par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines civilisations.

Quand il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) sert à comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines.

Si on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut par conséquent un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi qu'on comprend que «30» veut dire «trois dizaines».

On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait «2.3».

L'utilisation d'un caractère «bouche-trou» remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il ne s'agit pas du concept d'«absence de quantité», il s'agit juste d'une commodité de notation. Dans la numération romaine, cet artifice n'est pas utile puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à 8999 devient problématique et les reconnaissances de structures pour le calcul mental rapide énormément plus pénibles.

Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un «0 Pop».

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime par la phrase «il n'y en a pas» (ou «plus»).

Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient identiques mais différents). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité.

Quand on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets identiques, deux troupeaux. Cette image ne tient plus quand on manipule le zéro.

L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) $a$ :

$a + 0 = 0 + a = a\,$ (0 est élément neutre pour l'addition)
$a \times 0 = 0 \times a = 0\,$ (0 est élément absorbant pour la multiplication)
si $a \ne 0\,$ alors $aˆ0 = 1\,$
$0ˆ0\,$ n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est fréquemment «pratique», dans certains cadres formels, de considérer que $0ˆ0 = 1\,$ .
par extension de la factorielle avec la fonction Gamma, $0 ! = 1\,$
$a + (- a) = 0\,$
${a \over 0} =$ non défini (voir article division par zéro)
${0 \over 0} =$ non défini, en remarquant cependant que le calcul $dx \over dy$ quand les deux valeurs tendent vers zéro est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques

Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien pourvu de la loi $\ +$ ou l'élément neutre pour l'addition dans un anneau.
Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est zéro ; aussi nommé racine, en particulier dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe) .
En géométrie, la dimension d'un point est 0.
En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
Le concept de «presque» impossible en probabilité. D'une façon plus générale, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie envisageable. Une fonction zéro spécifique est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
Zéro est l'une des trois valeurs de retour envisageables de la fonction de Möbius. Si on entre un entier $x 2$ ou $x 2 y$ , la fonction de Möbius retournera zéro.
C'est un nombre de Pell.

Notes et références

↑ Pierre Germa, Depuis quand ?, dictionnaire des inventions. Berger-Levrault, Paris. (1979). p. 382 (ISBN 270130329X) .
↑ http ://www. alain. be/Bœce/noms_de_nombre. html
↑ Otto Neugebauer, Les Sciences exactes dans l'Antiquité, 1969, chapitre 1. p. 20-27 consultable ici

Voir aussi

Numération grecque / Le zéro chez les Grecs

Bibliographie

Histoire universelle des chiffres, l'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. Georges Ifrah. Robert Laffont, collection Bouquins. (ISBN 2-22190-100-2) . Tome 1, 1042 pages, tome 2, 1010 pages. Janvier 1994. (illustrations en couleur)
Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife, éd. Hachette, (ISBN 2-01279-192-1)

Liens externes

Almanach et dictionnaire des nombres (site de Gérard Villemin)

Liste des nombres
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