Vecteur aléatoire

Un vecteur aléatoire est aussi nommé variable aléatoire multidimensionnelle



Catégories :

Probabilités - Hasard et aléatoire - Statistiques

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  • Vecteurs aléatoires gaussiens. Exercice 1. Montrer sur un exemple que deux variables aléatoires gaussiennes peu- vent être non corrélées et dépendantes.... (source : math.u-bordeaux1)

Un vecteur aléatoire est aussi nommé variable aléatoire multidimensionnelle

Définition

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Tandis qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de \Rˆn :

X:\omega\mapsto X(\omega)=(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\dots ,X_{n}(\omega))

ω est l'élément générique de Ω, l'espace de l'ensemble des éventualités envisageables.

Les applications X_{1},\dots, X_{n} sont des variables aléatoires réelles nommées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X=(X_{1},\dots, X_{n}).

Une application X de (\Omega,\mathcal{F}) (définie sur Ω), à valeurs dans l'espace \mathbb{R}ˆn pourvu de la tribu des boréliens de \mathbb{R}ˆn, est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition

Soit X=(X_{1},\dots, X_{n}) un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition F : \Rˆn \to \R est ainsi définie :

F(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathbb{P}((X_{1}\leq x_{1})\cap \cdots \cap (X_{n}\leq x_{n}))

Indépendance de vecteurs aléatoires

Définition

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et uniquement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée soit égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée.

Exemple

Soit (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) un espace probabilisé X (Ω) = {x1, ..., xp}\\ Y (Ω) = {y1, ..., yq}\\ Z (Ω) = {z1, ..., zr}\\

\mathbb{P}(X=x_{i},Y=y_{i},Z=z_{i}) = \mathbb{P}(X=x_{i}).\mathbb{P}(Y=y_{i}).\mathbb{P}(Z=z_{i})

Vecteur gaussien

Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Définition — Soit un vecteur aléatoire. est gaussien si et uniquement si, pour toute suite de nombres réels, la variable aléatoire

Z = a1X1 + a2X2 +... anXn

est une variable gaussienne.

Bibliographie

Liens externes

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