Vecteur

En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire.



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  • Vecteurs. Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel.... Un champ de vecteurs est une application qui à tout point de l'espace fait correspondre un... (source : jdotec)
  • D en choisissant un point fixe, O, origine sur D, chaque vecteur est ... E associé `a l'espace affine E qui est la totalité des vecteurs représentés... (source : partages.univ-rennes1)
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le vecteur somme.

En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un N-uplet peut former un exemple de vecteur, à condition qu'il appartienne à un ensemble pourvu des opérations correctes. On représente souvent les vecteurs comme de simples N-uplets ou, graphiquement, par des flèches. Les matrices forment une forme spécifique de vecteur.

En mathématiques, rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques nommée algèbre linéaire.

En physique, les vecteurs rendent des services insemblables. Ils permettent de modéliser des grandeurs qu'un nombre ou une fonction numérique ne suffisent pas à définir totalement. A titre d'exemple, pour préciser un déplacement, une vitesse, une force ou un champ électrique, la direction et le sens sont indispensables. Les vecteurs généralisent les grandeurs scalaires décrites par un simple nombre (comme la masse, la température ou la densité).

La notion est issue de la combinaison des notions de couple de points de la géométrie euclidienne (qui permettent de définir les distance, mais également la direction et le sens), et des possibilités de calcul offertes par l'algèbre.

La notion de vecteur peut être définie en dimension deux (le plan), trois (l'espace euclidien courant), et d'une façon plus générale des espaces de dimension quelconque.

Histoire

La notion de vecteur est le fruit d'une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idées, en premier lieu différentes, sont à l'origine de la formalisation. L'une d'elle est la géométrie, traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond à l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et d'une façon plus générale d'ensembles pourvus d'opérations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante :

«On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?[1]»

Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.

Origines des deux concepts

Les Éléments formalise une structure géométrique originellement utilisé pour décrire l'ancêtre de l'espace vectoriel.

La civilisation grecque développe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L'un des fleurons est le traité appelé les Éléments d'Euclide, datant du IIIe siècle av. J. -C. . Il contient la formalisation, particulièrement rigoureuse pour l'époque, d'une géométrie, toujours désormais nommée euclidienne. On y trouve les définitions d'une droite, d'un plan ou de notre espace physique de dimension trois servant à modéliser des volumes. Les propriétés des distances, des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux nommés Thalès ou Pythagore, sont explicités et démontrés.

L'algèbre y est peu développée et contient principalement de l'arithmétique. Les nombres entiers et rationnels sont étudiés mais aussi quelques irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne s'écrivent pas sous forme d'une fraction d'entiers[2]. Les nombres sont toujours strictement positifs.

les Neuf Chapitres sur l'art mathématique ont en Chine un rôle analogue aux Éléments d'Euclide en occident.

La Chine développe les premières idées algébriques à l'origine des vecteurs. Un vieux texte, datant certainement du Ie siècle av. J. -C. [3] : les Neuf Chapitres sur l'art mathématique y consacre sa huitième partie. Elle s'intitule Fang cheng ou Disposition rectangulaire et traite d'un problème désormais nommé système d'équations linéaires. Cette culture n'en reste pas là, Qin Jiushao (1202 - 1261) généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise les congruences, inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier ainsi qu'aux alignements de planètes avec une très grande précision[4]. La méthode utilisée ne sera connue qu'au XIXe siècle en Occident, sous le nom de pivot de Gauss. Ce résultat est suffisamment surprenant pour que Libbrecht précise que :

«Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis le théorème des restes chinois de Sun Zi, on passe sans intermédiaire à un algorithme plus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n'y a pas la moindre indication d'une évolution graduelle.»[5]

L'aspect géométrique n'échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, le Gou gu comporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore[6].

Convergence de l'algèbre et de la géométrie

Illustration extraite du traité de perspective De prospectiva pingendi de Piero della Francesca, un peintre de la renaissance italienne.

L'existence de lien entre ce qu'on nomme désormais l'algèbre et la géométrie est ancienne. Les Babyloniens connaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d'un carré de côté de longueur un, à savoir que son carré est égal à deux. Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision[7]. Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.

Il faut cependant attendre la civilisation arabe pour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, en particulier ceux d'Euclide[8]. Les notations utilisées laissent penser qu'ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois[9]. Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique des coordonnées. Omar Khayyam (1048 - 1131) cherche les solutions d'un problème purement algébrique : trouver les racines d'un polynôme du troisième degré. Un dispositif de coordonnées lui sert à visualiser ces racines comme les abscisses des intersections d'une parabole et d'une hyperbole[10].

Le dispositif des coordonnées est repris en Europe. La volonté de maitriser la perspective pousse les peintres italiens à étudier les mathématiques. Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) découvre les lois de la perspective, issues d'une projection centrale[11]. Ces résultats sont formalisés[12] par Leon Battista Alberti (1404 - 1472) . Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. Ainsi Piero della Francesca (vers 1412 - 1492) , auteur d'un traité sur la question[13], est à la fois peintre et mathématicien. Giorgio Vasari (1511 - 1574) indique, à propos de ses talents de géomètre «il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout temps.»[14].

Apports de la physique

René Descartes utilise l'optique pour développer le concept de repère cartésien. L'illustration provient de son traité : Les Dioptriques.

La physique est le moteur suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En 1604, Galileo Galilei (1564 - 1642) établit[15] la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l'utilisation d'un repère. L'optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant. Pierre de Fermat (1601 - 1665) , qui connaissait les écrits de Galilée, et René Descartes (1596 - 1650) s'écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se réfléchit sur un miroir) ainsi qu'à la réfraction (la déviation d'un rayon lumineux lorsqu'il change de milieu, par exemple en passant de l'air à l'eau) [16]. Ils arrivent à la conclusion qu'un repère est une méthode systématique permettant d'appréhender tous les problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes[17]. Il rédige en introduction : «Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie». Pour Descartes, calcul d'arithmétique veut dire approximativement ce qui est désormais nommé algèbre. Cette approche est spécifiquement féconde pour l'étude d'une branche naissante des mathématiques : la géométrie analytique. Un exemple est donné par l'étude de la cycloïde. Cette courbe décrit la trajectoire d'un point de la surface d'une roue se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal.

Isaac Newton (1643 - 1727) développe[18] la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine[19] de l'utilisation du terme vecteur. En 1704, un dictionnaire technique anglais indique :

«Une ligne dessinée depuis une planète, se déplaçant autour d'un centre ou du foyer d'une ellipse, jusqu'à ce centre ou ce foyer, est nommé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre.»[20]

Ce terme apparait en français sous la plume de Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) dans l'expression rayon vecteur[21], toujours dans un contexte astronomique. Il vient du latin vector et sert à désigner le conducteur d'un chariot. Son origine est plus ancienne, elle provient de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH et veut dire chariot.

Ainsi, au XVIIe siècle, le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. Par contre, aucune formalisation n'est proposée et le terme, s'il est utilisé, sert à désigner toujours une grandeur scalaire.

Formalisations

Giusto Bellavitis est un mathématicien italien auteur de la formalisation des vecteurs par la notion de bipoint et d'équipollence.

La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié du XIXe siècle. Bernard Bolzano (1781 - 1848) publie un ouvrage élémentaire[22] contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d'Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d'addition et de multiplication. La géométrie projective, héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduit Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) et Michel Chasles (1793 - 1880) à affiner [23], [24] les travaux de Bolzano. August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) apporte sa pierre à l'édifice en développant le dispositif de coordonnées barycentriques[25]. Enfin, la formalisation toujours aujourd'hui enseignée, à partir des notions de bipoint et d'équipollence, est l'œuvre[26] de Giusto Bellavitis (1803 - 1880).

Une autre voie est explorée, purement algébrique. William Rowan Hamilton (1805 - 1865) remarque que les nombres complexes représentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie[27] à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps des quaternions, de dimension quatre en 1843. Il propose deux nouvelles définitions pour les mots «vecteur» et «scalaire». Un vecteur est pour lui un élément d'un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il rédige :

«Un vecteur est donc… une sorte de triplet naturel (suggéré par la géométrie)  : et en conséquence nous verrons que les quaternions offrent une représentation symbolique simple sous forme trinomiale (i. x + j. y + k. z) ; ce qui ramène la conception et l'expression d'un tel vecteur à la forme la plus proche envisageable de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires[28]

Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste désormais à définir un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

Article détaillé : Espace vectoriel.

Approche géométrique

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace fondée sur les axiomes d'Euclide. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Une visualisation intuitive d'un vecteur correspond à un déplacement d'un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, une translation. Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d'arrivée, une direction si le déplacement n'est pas nul, c'est la droite contenant le point de départ et d'arrivée et un sens, depuis le départ jusqu'à l'arrivée.

Définition

Les bipoints (A, B), (C, D), (E, F) sont équipollents. Ils forment trois représentants d'un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deux parallélogrammes.

Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d'arrivée. L'emplacement dans le plan ou l'espace n'a pas d'importance, deux déplacements de deux points d'origine différents peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est par conséquent envisageable de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Une définition formelle utilise au préalable la notion de bipoint. Il est défini comme un couple de points. L'ordre a une importance : le premier point est nommé origine. Deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents quand ABDC est un parallélogramme. La relation d'équipollence forme une relation d'équivalence sur les bipoints. Une classe d'équivalence contient l'ensemble des bipoints dont le deuxième membre est l'image du premier point par le déplacement.

La classe d'équivalence d'un bipoint (A, B) est nommée vecteur et est notée. Le bipoint (A, B) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.

Ainsi deux bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents si et uniquement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A, A), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d'un vecteur qualifié de nul. Il est noté

\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Les théories présentant les vecteurs comme une classe d'équivalence de bipoints les notent généralement par une lettre surmontée d'une flèche[29].

Longueur et angle

Article détaillé : produit scalaire.

La longueur d'un bipoint (A, B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. L'ensemble des représentants d'un vecteur ont par conséquent la même longueur, qui est nommée norme du vecteur et notée généralement (on utilise aussi quelquefois simplement l'ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle,.

L'angle que forment deux vecteurs et est noté. Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A, B) est un représentant de et (A, C) un représentant de, alors

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}

Dans le plan orienté, il est envisageable de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations

Des constructions géométriques permettent la définition de l'addition et de la multiplication par un scalaire. Le nom donnée aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres (commutativité, associativité et distributivité, présence d'un élément neutre et absorbant). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont identiques.

Si et sont deux vecteurs, soit un couple (A, B) de points représentant et C le point tel que le couple (B, C) représente le vecteur. Alors un représentant du vecteur est le couple (A, C). Si est le vecteur nul, alors les points B et C sont confondus, la somme est alors égale à et le vecteur nul est bien l'élément neutre pour l'addition des vecteurs. Soit α un nombre, si est le vecteur nul, alors α. est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenant A et B, et un unique point C tel que la distance entre A et C soit égale à et le sens de (A, B) si α est positif, assez au sens de, et l'inverse sinon.

Une fois équipée d'une structure d'espace vectoriel, les démonstrations de la géométrie euclidienne s'avèrent fréquemment simplifiées. Un exemple est donné par le théorème de Thalès.

Formalisation

David Hilbert propose une construction axiomatique de la géométrie euclidienne rigoureuse.

On ne trouve pas de vecteurs dans les éléments d'Euclide, mais les notions de point ou de parallélogramme, de l'approche esquissée ci-dessus y sont bien présentes. Mais l'axiomatisation des éléments n'est pas particulièrement satisfaisante, quoiqu'elle ait été longtemps un modèle en la matière : certains axiomes restent implicites. David Hilbert a montré comment axiomatiser rigoureusement le plan ou l'espace affine de façon géométrique (voir les articles plan affine de Desargues et axiomes de Hilbert). En utilisant le parrallélisme, il est alors envisageable de définir les translations et les homothéties, et en utilisant ces transformations, les vecteurs et les scalaires[30]. Cette approche est particulièrement générale : elle sert à traiter des cas utiles, où les scalaires ne sont pas nécessairement des réels, mais par exemple des complexes ou les éléments d'un ensemble fini de nombres[30]. Elle se généralise aussi en dimension quelconque, au moins finie[30].

Cependant le développement des mathématiques a élargi énormément les domaines d'utilisation des vecteurs, et une approche plus algébrique est particulièrement beaucoup utilisée. Elle est fondée sur deux ensembles : l'un contenant les scalaires, l'autre les vecteurs. Le deuxième est nommé espace vectoriel. Ces deux ensembles sont pourvus d'opérations et des axiomes sont vérifiés pour chacune des opérations. Cette construction différente pour formaliser le même concept de vecteur est celle qui est traitée dans l'article consacré aux espaces vectoriels. Elle est esquissée ci-dessous.

Approche algébrique

Coordonnées et vecteurs colonnes

Article détaillé : Base (algèbre linéaire) .

Dans un plan, deux vecteurs et non nuls et de directions différentes possèdent une propriété importante. Un vecteur quelconque est somme d'un multiple de et. Cela veut dire qu'il existe deux uniques nombres u1 et u2 tel que :

\vec{u} = u_1 \vec{a} + u_2  \vec{b}\;

est tandis qualifié de combinaison linéaire de et. Comme tout vecteur du plan s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire de et, la famille (,) est qualifiée de base du plan et u1, u2 sont nommés composantes [31] du vecteur dans cette base. Cette définition correspond à celle d'un plan affine pourvu d'un repère. Une telle propriété est toujours vraie dans l'espace. Cependant, deux vecteurs ne suffisent plus, toute base contient précisément trois vecteurs non nuls et dont les directions ne sont pas coplanaires (c'est-à-dire qu'il n'existe aucun plan contenant les trois directions). Si dans l'espace, les trois composantes d'un vecteur sont u1, u2 et u3, il est habituel de noter :

\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

pour indiquer les composantes du vecteur. Le tableau est nommé vecteur-colonne et correspond à un cas spécifique de matrice. Les opérations algébriques sur les vecteurs sont simples, avec une telle représentation. Additionner deux vecteurs revient à additionner chacune des composantes et la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante par le scalaire.

Dans un plan vectoriel, un vecteur s'identifie à un couple de scalaires, et dans l'espace à un triplet. Si les nombres choisis sont réels alors un plan (respectivement un espace) s'identifie à R2 (respectivement à R3). Ici, R sert à désigner la totalité des nombres réels.

Ébauche d'une construction algébrique

Article détaillé : Espace vectoriel.

La logique précédente, appliquée pour une dimension égale à deux ou trois se généralise. Il est ainsi envisageable de considérer la structure Rn où de manière plus générale Kn avec K un ensemble de scalaires possédant de bonnes propriétés (exactement, K est un corps commutatif). Une telle structure possède une addition, et une multiplication par un scalaire définies comme au paragraphe précédent.

Il est envisageable de généraliser toujours la définition d'un vecteur. Si un ensemble E possède une addition et une multiplication scalaire sur un corps commutatif et si ses opérations vérifient certaines propriétés, nommées axiomes et décrites dans l'article détaillé, alors E est nommé espace vectoriel et un élément de E vecteur.

De particulièrement nombreux exemples d'ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C'est le cas par exemple des espaces de polynômes, de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, de matrices... Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire.

La notion de dimension apporte le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, il est envisageable, moyennant le choix d'une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taille n. Il existe aussi des espaces vectoriels de dimension illimitée. La totalité des fonctions de R dans R est ainsi un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, de dimension illimitée. Vue sous cet angle, une telle fonction est un vecteur.

Construction algébrique et géométrie

Si les deux constructions, algébrique et géométrique sont équivalentes pour les structures vectorielles du plan et de l'espace courant, la géométrie apporte en plus les notions de distance et d'angle.

La notion de produit scalaire sert à combler cette lacune. Un produit scalaire associe à deux vecteurs un réel. Si les deux vecteurs sont semblables le réel est positif. Il existe un produit scalaire tel que la norme du vecteur soit égale à la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même. La géométrie euclidienne apparait alors comme l'étude d'un espace affine comprenant un espace vectoriel de dimension deux ou trois sur le corps des réels, pourvu d'un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.

Une fois équipée d'un produit scalaire, il devient envisageable de définir sur l'espace vectoriel des transformations classiques de géométrie euclidienne comme la symétrie, la rotation ou la projection orthogonale. La transformation associée aux espaces vectoriels laisse toujours invariant le vecteur nul. Les rotations permettent de définir la notion d'angle pour les vecteurs. L'angle est égal à si et uniquement s'il existe une rotation qui envoie sur et sur. Cette définition, qui s'applique à une formalisation algébrique de la notion d'espace vectoriel, est équivalente à celle de la construction géométrique. Une telle approche simplifie quelquefois largement les démonstrations, un exemple est le théorème de Pythagore.

L'approche algébrique sert à définir l'ensemble des notions de la géométrie euclidienne, elle généralise cette géométrie à une dimension quelconque si les nombres sont réels. Dans le cas des nombres complexes une construction analogue, nommée espace hermitien, existe.

Utilisations des vecteurs

Les exemples cités dans cet article sont assez simples et didactiques. D'autres cas, plus généraux sont présentés dans les articles théorème spectral et algèbre linéaire.

Mathématiques

Représentation graphique d'un point dans le plan complexe. Les coordonnées cartésiennes correspondent à celle d'un point dans le repère de centre zéro et de base les nombres un et le nombre imaginaire pur.

Une vaste partie des mathématiques utilise les vecteurs, en algèbre, en géométrie ou en analyse.

Un exemple archétypal en algèbre est la résolution d'un système d'équations linéaires. Un exemple de trois équations à trois inconnues correspond à la recherche des vecteurs de dimension trois, antécédents d'une application linéaire d'un vecteur donné. Le plan euclidien peut aussi être représenté par le plan complexe. La base canonique se compose de deux vecteurs l'unité des réels et le nombre imaginaire pur.

Les vecteurs offrent un outil efficace pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie. Ils sont utilisés pour la détermination de propriétés de parallélisme ou d'orthogonalité de droites, plan ou segments. À travers l'utilisation des coordonnées barycentriques, les vecteurs forment un outil adapté pour caractériser le centre d'une figure géométrique et permettent une démonstration simple du théorème de Leibniz, du théorème de Ceva comme de nombreux résultats sur la géométrie du triangles. Le produit scalaire, qui s'exprime spécifiquement simplement dans une base orthonormée, offre de nombreuses possibilités. Il permet, par exemple, de mesurer la distance d'un point à une droite ou à un plan. Une telle base permet d'exprimer aussi simplement des transformations géométriques comme la projection orthogonale sur un plan ou une droite.

L'analyse n'est pas en reste. L'espace vectoriel R 2, copie du plan euclidien est le cadre naturel de représentation du graphe d'une fonction. Les vecteurs permettent par exemple de déterminer la droite perpendiculaire à une courbe en vue de déterminer les foyers d'une conique. La représentation graphique offre une solution pour déterminer une approximation d'une racine d'une équation dans le cas où une résolution par une méthode algébrique n'est pas connue[32].

Physique

Articles détaillés : Mécanique du point et Force (physique) .
La trajectoire des planètes se modélise dans un langage vectoriel. Les travaux d'Isaac Newton sur cette question sont à l'origine du mot vecteur.
En présence d'un champ magnétique, des petites boussoles s'orientent, indiquant la direction et le sens des vecteurs du champ.

La physique est à l'origine du terme de vecteur, elle utilise toujours beaucoup ce concept. La raison historique provient du fait qu'en physique classique l'espace qui nous entoure est bien modélisé comme espace affine (géométrie euclidienne) de dimension trois avec le temps (absolu) comme paramètre d'évolution. En physique, une addition de vecteurs ne peut avoir de sens que si leurs coordonnées respectives ont la même dimension.

La position d'un point est décrite par des coordonnées dans un repère, mais sa vitesse et son accélération sont des vecteurs. Pour établir la mécanique du point, c'est-à-dire l'étude des mouvements d'un point matériel, les vecteurs sont indispensables. La position d'un point se modélise par ses trois coordonnées (qui sont des nombres réels) dont chacune est une fonction du temps ; on peut aussi la décrire par le vecteur position allant de l'origine du repère au point : les composantes du vecteur sont alors identifiables aux coordonnées du point. Le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position (c'est-à-dire : les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées de celles du vecteur position), et c'est toujours un vecteur. Il en est de même pour l'accélération, correspondant à la dérivée seconde.

Dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un point est proportionnelle à la force qui lui est appliquée. Une force est équivalente à un vecteur. La trajectoire d'une planète est connue par la force qui lui est appliquée à chaque instant. Cette force est la conséquence de la gravitation, principalement due au Soleil. Ce phénomène est décrit par la donnée du champ gravitationnel. Ce champ associe un vecteur proportionnel à la force de la gravitation à chaque point de l'espace.

Cette modélisation s'accommode plus difficilement de la relativité restreinte du fait que les changements de référentiels n'y dépendent pas linéairement de la vitesse, et elle ne concerne pas la relativité générale qui n'utilise pas d'espace euclidien (sauf pour des approximations). En physique quantique les coordonnées ne peuvent être celles d'une particule qu'en tenant compte du principe d'incertitude, et les forces sont dues à des échanges de particules.

Généralisations

Mathématiques

Les applications linéaires sont des fonctions d'un espace vectoriel dans un autre et respectant l'addition et la multiplication externe. Elles s'additionnent et se multiplient scalairement, et disposent par conséquent des propriétés qui font d'elles des vecteurs. Il en est de même pour les matrices. Une matrice possède toujours les propriétés d'un vecteur, même si elle n'est pas de type colonne.

Les deux exemples qui ont précédé correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d'algèbre, ses éléments sont nommés fréquemment vecteurs et quelquefois points. Des exemples sont données par la totalité des polynômes à cœfficients réels ou encore une algèbre de Lie.

Dans d'autres cas, la structure est appauvrie. Un module est une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.

Physique

Selon le point d'application des forces, le solide bascule ou non. L'objet mathématique associé est un vecteur glissant.

Les lois établissant les mouvements d'un point s'applique aussi dans le cas d'un solide, les calculs deviennent néanmoins plus complexes[pertinence]. Si les vecteurs restent omniprésents, le point d'application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de son centre de gravité. Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Un vecteur lié ou pointeur est un couple composé d'un vecteur et d'un point nommé point d'application. La rotation du solide est la conséquence d'une grandeur physique nommé moment. Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, un vecteur glissant est un couple composé d'un vecteur et d'une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est nommé vecteur libre[33].

Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom de torseur[34]. Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d'autres généralisations, on peut citer le tenseur ou le pseudovecteur.

Informatique

Image vectorielle Image matricielle
Image vectorielle Image matricielle
Image vectorielle Image matricielle

L'informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d'une image sur un écran d'ordinateur utilise au choix deux techniques : matricielle et vectorielle. La première utilise des éléments graphiques définis points par point. À chaque pixel est associé la quantité de couleurs primaires associée. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul et de mémoire, un agrandissement de la taille de l'image possède pour conséquence un effet d'escalier.

Un dessin vectoriel est une représentation composée d'objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, c'est une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul et de mémoire mais dans laquelle l'effet d'escalier n'existe pas[35].

La représentation des données en informatique, pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d'octets. Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s'additionnent et se multiplient, alors un tel tableau ressemble à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est nommé vecteur. Par extension, le terme de vecteur sert à désigner aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple des pointeurs ou des structures informatiques quelconques[36].

Notes et références

Notes

  1. Ce problème provient du Papyrus Rhind étudié par Sylvia Couchoud dans son ouvrage Mathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d'Or 2004 (ISBN 2-863-777-118-3)
  2. Le texte d'Euclide est disponible en ligne par Gallica. Une analyse est donnée dans le livre de R. Mankiewicz
  3. Joseph Needham. Science and Civilization in China : Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press 1959 (ISBN 0521058015)
  4. J-C Martzloff, Chinese mathematical astronomy, H Selin and U D'Ambrosio Dordrecht pp 373-407 2000
  5. U Libbrecht Chinese mathematics in the thirteenth century : the Shu-shu chiu-chang of Ch'in Chiu-shao, Cambridge Massachusetts 1973
  6. Les informations sur les neuf chapitres ainsi qu'une version de ce texte se trouvent dans le livre de Chemla.
  7. R. Calinger A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, New Jersey 1999 (ISBN 0-02318-2857)
  8. Al-Hajjaj traduit les Eléments au IXe siècle (cf J. L. Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam pp 70-71 Springer 1986)
  9. K. Chemla Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction, Arabic science and Philosophy, 4, n° 2, p207 266 1994
  10. Omar Khayyam A paper of Omar Khayyam Scripta Math. 26 p 323-337 1963
  11. G. C. Argan R. Wittkower Architecture et perspective chez Brunelleschi et Alberti Verdier 2004 (ISBN 2-86432-4210)
  12. Leon Battista Alberti De pictura 1425
  13. Piero della Francesca De la Perspective en Peinture traduction du toscan du De Prospectiva pingendi, introductions et notes. Avec une préface d'Hubert Damisch et une postface de Daniel Arasse. Paris, In Medias Res, 1998
  14. Giorgio Vasari Le Vite de più eccellenti pittori, scultori e architettori (Les Vies des meilleurs peintres, sculpteurs et architectes) 1550
  15. Galileo Galilei Discours et démonstrations concernant deux sciences nouvelles Elzevir Leyde Hollande 1638
  16. René Descartes La Dioptrique Hollande 1637 lire
  17. René Descartes La Géométrie, Hollande p 1 1637 lire
  18. Isaac Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica S. Pepys Londres 1687
  19. J. Simpson, E. Weiner The Oxford English Dictionary : 20 Volume Set, Clarendon Press Oxford 1989 ISBN 0-300-08919-8.
  20. J. Harris Lexicon Technicum Londres 1704
  21. Pierre-Simon Laplace Traité de mécanique céleste Académie française 1799 et 1825 lire
  22. Bernard Bolzano Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargœmetrie, 1804
  23. Jean-Victor Poncelet Traité des Propriétés Projectives des Figures, 1822 Réédition Jacques Gabay Paris, 1995
  24. Michel Chasles Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie Hayez, Bruxelles 1837
  25. August Ferdinand Möbius Der barycentrische Calcül : ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie Leipzig 1827
  26. Giusto Bellavitis Saggio di applicazione di un nuovo metodo di geometria analitica Annali. delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto. Vol 5, pp 244-259 1835
  27. T L Hankins Sir William Rowan Hamilton, Johns Hopkins University Press Baltimore 1980
  28. William Rowan Hamilton On quaternions, Royal Irish Academy Vol 3 pp 1-16 1847 lire
  29. Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale par A. Turbergue
  30. Emil Artin, Algèbre géométrique, ed Calmann-Levy, chap. II
  31. A la place de l'appellation "composantes" certains emploient aussi "coordonnées", mais ce dernier terme empêche la différentiation entre l'unicité de la localisation des points, qui sont "fixes" dans un repère, et l'aspect "glissant" des composantes vectorielles, dû à la nature de classe d'équivalence et la multiplicités des réprésentants de chaque vecteur. Cf. Dictionnaire de Mathématiques Elémentaires, de Stella BARUK, éditions du Seuil.
  32. Ces divers exemples sont principalement issus des programmes de mathématiques du secondaire Le B. O. N°4 2001 mathématiques hors série page 69 pour la terminale et Le B. O. N°2 2001 mathématiques hors série page 34 pour la seconde.
  33. Le site Mathématiques pour la Physique et la Chimie réalisé par Université en ligne propose un exposé des définitions du paragraphe
  34. Torseur - Un cours minimal Généralisations de la notion de vecteur pour la physique, par l'IUT Léonard-de-Vinci de Reims, Yannick Remion 1995
  35. Comprendre l'image numérique : vectorielle et bitmap... par le site Cuk 2004
  36. Memory as Vectors tiré du livre anglais Structure and Interpretation of Computer Programs de Abelson, H. ; G. J. Sussman with J. Sussman 1996

Voir aussi

Liens externes

Références

Références historiques

Ouvrages de vulgarisation

Ouvrages techniques

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