Variable gaussienne

Définition — En probabilité, une variable aléatoire X est une variable gaussienne d'espérance μ et d'écart type σ si elle admet pour fonction caractéristique définie, pour par



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Probabilités

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Définition — En probabilité, une variable aléatoire X est une variable gaussienne d'espérance μ et d'écart type σ (donc de variance σ2) si elle admet pour fonction caractéristique définie, pour par

\phi_X(t)=\mathbb{E}\left[eˆ{itX}\right]=\mathrm{e}ˆ{-\tfrac{\sigmaˆ2}{2}\ tˆ2\ +\ it\mu},

\sigma\ge 0, et où μ sert à désigner un nombre réel quelconque.

Cas non dégénéré et cas dégénéré :
f(x)=\tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)ˆ2}{2\sigmaˆ2}\right).
  • Si \sigma=0,\ on parle de variable gaussienne dégénérée : la variable gaussienne dégénérée est alors tout simplement une constante, et ne possède pas de densité de probabilité. Sa loi de probabilité est la masse de Dirac en μ. Cette extension du terme variable gaussienne aux variables constantes est indispensable à la définition rigoureuse d'un vecteur gaussien.
Loi normale :

Si X est une variable gaussienne d'espérance μ et d'écart type σ, on note généralement

X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2),[1]

et on dit que X suit la loi normale de paramètres μ et σ.

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre n particulièrement grand. Cette loi a été mise en évidence par Laplace et Gauss au XIXe siècle et sert à modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

Invariance par fonction affine :

Si

Y \sim \mathcal{N}(0,\, 1),

et si X est une variable gaussienne de paramètres μ et σ, alors X a même loi de probabilité qu'une fonction affine de Y, par exemple que μ+σY, mais également que μ-σY. L'image d'une variable gaussienne par une fonction affine est toujours une variable gaussienne.

Notes et références

  1. on a aussi utilisé la notation \mathcal{N}(\mu,\, \sigma), mais cette notation, qui n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-) normale sur \ \Rˆn, tend à céder la place à la notation "classique" \mathcal{N}(\mu,\, \sigmaˆ2).

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