Variable de contrôle
Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle est parfois utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.
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Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle est parfois utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.
Exposé du principe
On cherche à estimer le paramètre μ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de μ ; c'est à dire, . On dispose d'une autre statistique t, telle que
, et sa corrélation avec m, ρmt, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée :
On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de μ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix
permet de minimiser la variance de
. Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors
;
Par construction, la variance de sera inférieure à celle de l'estimateur d'origine m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation
est importante, plus la réduction de la variance sera importante.
Quand les écart-type σm, σt, et/ou la corrélation ρmt sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.
Exemple
On souhaite évaluer
dont la vraie valeur est ln (2) = 0, 69315. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de f (U) , avec U la loi uniforme continue et f (x) = (1 + x) − 1, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.
L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme et vaut
On introduit comme variable de contrôle T = 1 + U. Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec U est
.
Avec un logicel de calcul formel, on peut continuer à évaluer précisément l'ensemble des autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer l'ensemble des moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de n = 1500 réplications, on trouve σm = 0, 14195, ρ = − 0, 98430 et σt = 0, 29002. La constante optimale vaut -0, 48175. On trouve les résultats suivants :
Estimation | Variance | |
Monte Carlo basique | 0, 69631 | 0, 02015 |
Monte Carlo – contrôle | 0, 69356 | 0, 00063 |
Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à diminuer particulièrement significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Control variate» (voir la page de discussion) .
Bibliographie
- (en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.
Références
- (en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3e édition, 2000, ISBN 0-07-116537-1
- (en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419. en ligne
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