Variable de contrôle

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle est parfois utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe

On cherche à estimer le paramètre $μ$ , et on dispose d'une estimation $m$ non-biaisée de $μ$ ; c'est à dire, $\mathbb{E}\left[m\right]=\mu$ . On dispose d'une autre statistique $t$ , telle que $\mathbb{E}\left[t\right]=\tau$ , et sa corrélation avec m, $ρ m t$ , est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante $c$ donnée :

$mˆ{\star}=m-c\left(t-\tau\right).$

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de $μ$ , quel que soit le choix de la constante $c$ . En outre, on peut montrer que le choix

$c=\frac{\sigma_m}{\sigma_t}\rho_{mt}$

permet de minimiser la variance $\sigmaˆ2_{mˆ{\star}}$ de $mˆ{\star}$ . Pour ce choix de $c$ , la variance de l'estimateur vaut alors

$\sigmaˆ2_{mˆ{\star}} = \left(1-\rho_{mt}ˆ2\right) \sigmaˆ2_{m}$ ;

Par construction, la variance de $mˆ{\star}$ sera inférieure à celle de l'estimateur d'origine $m$ , d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation $\vert\rho_{tm}\vert$ est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Quand les écart-type $σ m$ , $σ t$ , et/ou la corrélation $ρ m t$ sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple

On souhaite évaluer

$\int_0ˆ1 \frac{1}{1+t} \,\mathrm{d}t$

dont la vraie valeur est $ln (2) = 0, 69315$ . Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de $f (U)$ , avec $U$ la loi uniforme continue et $f (x) = (1 + x) - 1$ , une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme $u_1, \cdots, u_n$ et vaut

$I_n = \frac{1}{n} \sum_i f(u_i)$

On introduit comme variable de contrôle $T = 1 + U$ . Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec $U$ est

$1-{3 \over 2} \times \mathrm{E}(m) = -\frac{3\log 2 -2}{2}$ .

Avec un logicel de calcul formel, on peut continuer à évaluer précisément l'ensemble des autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer l'ensemble des moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de $n = 1500$ réplications, on trouve $σ m = 0, 14195$ , $ρ = - 0, 98430$ et $σ t = 0, 29002$ . La constante optimale vaut -0, 48175. On trouve les résultats suivants :

	Estimation	Variance
Monte Carlo basique	0, 69631	0, 02015
Monte Carlo – contrôle	0, 69356	0, 00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à diminuer particulièrement significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Control variate» (voir la page de discussion) .

Bibliographie

(en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.

Références

(en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3^e édition, 2000, ISBN 0-07-116537-1
(en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419. en ligne

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