Variable antithétique
Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo.
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Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo. Il s'agit de tirer partie de certaines symétries d'une distribution et de la Corrélation (statistiques) négative entre deux variables aléatoires.
Principe
On souhaite estimer θ = E (h (X) ) . La méthode de Monte-Carlo de base consiste à simuler n variables iid selon la loi de X, disons , puis à estimer θ par
.
On peut avoir une idée de l'erreur commise en construisant un intervalle de confiance ; ce dernier nécessite un estimateur de la variance de l'estimateur .
Supposons qu'on dispose de deux échantillons de taille n ; le premier est noté et le second
. Pour simplifier les notations, on pose m1, m2 les estimateurs empiriques de l'espérance de h (X) sur respectivement l'échantillon 1 et 2. C'est à dire, on aura
et
.
L'estimateur Monte-Carlo sur l'échantillon complet est simplement
et, du point de vue de la variance :
.
Dans le cas iid, la covariance s'annule et , si bien que
: le facteur 2 s'explique car on a doublé la taille de l'échantillon.
La technique de la variable antithétique consiste à choisir l'échantillon 2 semblablement distribué selon la loi de X mais en renonçant à l'indépendance, plus exactement en s'arrangeant pour que Cov (m1, m2) < 0. Il faut par conséquent exploiter les éléments de symétrie de la loi de X pour construire le second échantillon à partir du premier, en s'assurant de la négativité de la covariance. Se faisant, la variance sera inférieure à la variance "normale" .
A titre d'exemple, si la loi de X est la loi uniforme sur [0;1], le premier échantillon sera simplement , où pour tout i, ui est tirée selon U (0;1) . On construit le second échantillon
, en posant pour tout i : u'i = 1 − ui. Si les u1 sont uniformes sur [0;1], alors il en va de même pour les u'i. Qui plus est , la covariance est négative, ce qui sert à diminuer la variance d'origine.
Un autre exemple concerne la loi normale N (μ, s) . En appliquant la transformation x'i = 2μ − xi, où xi˜N (μ, s) , on obtient un tirage dans N (μ, s) , qui est négativement corrélé avec le premier tirage xi
Exemple : estimation d'une intégrale
On souhaite estimer
.
La valeur exacte est . Cette intégrale peut se voir comme l'espérance de f (U) , où
et U distribuée selon une loi uniforme sur [0;1].
On compare l'estimateur Monte-Carlo classique (échantillon de taille 2n, avec n = 1500, tiré selon la loi uniforme standard) à l'estimateur avec variable antithétique (échantillon de taille n, complété par l'échantillon transformé 1 − ui). La variance se réduit comme suit
Estimation | Variance | |
Méthode classique | 0, 69365 | 0, 02005 |
Variable antithétique | 0, 69399 | 0, 00063 |
On constate une très nette réduction de la variance dans le cas de l'utilisation d'une variable antithétique.
Notes et références
Bibliographie
- M. Hammersley et K. W. Morton, A new Monte Carlo technique antithetic variates, Proc. Camb. Phil. Soc., 52, 449, 1956.
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