Univers

En théorie des probabilités, un univers, fréquemment noté Ω, U ou S, est la totalité de l'ensemble des résultats envisageables qui peuvent être obtenus au cours d'une expérience aléatoire.



Catégories :

Probabilités

Définitions :

  • L'univers indique la totalité des éléments de la population dont on extrait un échantillon à des fins d'analyses : les résultats obtenus n'étant valables que pour l'unique univers déterminé, à l'exclusion d'autres secteurs, la délimitation exacte de cet univers est totalement indi... (source : frpub)

En théorie des probabilités, un univers, fréquemment noté Ω, U ou S, est la totalité de l'ensemble des résultats envisageables qui peuvent être obtenus au cours d'une expérience aléatoire.

Définitions

À chaque élément ω de l'univers, c'est-à-dire à chacun des résultats envisageables de l'expérience reconnue, nous pouvons associer le sous-ensemble {ω} constitué de cet élément, nommé évènement élémentaire. De manière plus générale, toute partie de l'univers est nommée simplement un événement.

On parle aussi d'espace des évènements élémentaires ou d'espace des observables, ou encore d'espace échantillon.

A titre d'exemple, si nous lançons une pièce, nous avons deux résultats envisageables : pile ou face. l'expérience aléatoire reconnue est alors : «1 lancer de pièce». Nous pouvons définir l'univers associé à cette expérience, qui regroupe l'ensemble des résultats envisageables : Ω ≡ {pile, face}. Pour une expérience de lancer de dé, nous choisirions l'univers Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

À n'importe quel univers discret (fini et/ou dénombrable), on peut associer une probabilité, qui est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur les évènements élémentaires (et quand l'univers n'est pas discret, on nomme évènement toute partie dont on peut définir la probabilité).

Ainsi, à chaque évènement est associable une probabilité de réalisation (par exemple, pour le lancer de dé, à chaque évènement de l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} est associé une probabilité égale à 1/6).

Toute définition de probabilité débute par la recherche d'un univers de l'ensemble des évènements réalisables et par la définition précise de l'ensemble des évènements utiles à sa résolution.

La recherche de l'univers consiste à représenter de manière unique les résultats envisageables de l'expérience par des objets mathématiques (nombres, p-listes, p-listes d'éléments différents, parties d'un ensemble, permutations, suites, ... ) pour former un ensemble.

Choix de l'univers

Pour certains types d'expériences, nous pouvons définir plusieurs univers différents. A titre d'exemple, lorsque nous tirons une carte d'un jeu de 52 cartes, nous pouvons nous intéresser au rang de la carte dans le jeu et définir l'univers comme la totalité des entiers de 1 à 52 ; d'autre part, nous pouvons nous intéresser à la couleur de la carte obtenue et définir l'univers comme étant la totalité {pique, cœur, carreau, trèfle}. Pour avoir une description complète d'un résultat, nous serions amenés à préciser la couleur et le rang de la carte, ainsi qu'à définir dans ce cas l'univers comme le produit cartésien de ces deux ensembles : Ω ≡ {pique, cœur, carreau, trèfle} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as}.

Pour choisir l'univers, nous devons aussi tenir compte des probabilités qui entrent dans la définition de l'expérience aléatoire. A titre d'exemple, il est envisageable de considérer un univers sur lequel il y a équiprobabilité, c'est-à-dire sur lequel la probabilité est uniforme (par exemple, pour le lancer de dé, si le dé est non truqué, il y a équiprobabilité pour chacun des évènements dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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