Union

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion de deux ensembles A et B est la totalité qui contient l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B.

Définition

L'union des ensembles A et B

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion de deux ensembles A et B est la totalité qui contient l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On note l'union de A et B A ∪ B. En notation symbolique, c'est :

$\forall x,x\in A \cup B \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B))$

Par exemple l'union des ensembles A={1, 2, 3} et B={2, 3, 4} est la totalité {1, 2, 3, 4}.

En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif.

On généralise ce concept à une famille d'ensembles $(A_i)_{i\in I}$ . La réunion ou union des ensembles membres de cette famille est la totalité des éléments $x$ pour lesquels il existe un $i\in I$ tel que $x\in A_i$ . On le note alors $\bigcup_{i\in I}A_i$ .

Propriétés algébriques

L'union est associative, i. e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

L'union est commutative, i. e. pour des ensembles A et B quelconques, on a :

A ∪ B = B ∪ A

L'intersection est distributive sur l'union, i. e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Voir aussi

Union disjointe
Intersection

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