Trigonométrie sphérique

La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.



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La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.

Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont plus applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle localisé sur une sphère est supérieure à 180 degrés et les segments de droites deviennent des arcs de grands cercles.

Le triangle sphérique

Formules premières

triangle sphérique

On considère trois points A, B et C sur une sphère comme représentés par la figure ci-contre, on note a la longueur (sur la surface de la sphère) du côté opposé au sommet A et α l'angle (toujours sur la surface de la sphère) du triangle en ce sommet, et de façon analogue pour les autres sommets. Les longueurs a, b et c seront en fait reconnues comme des angles dans ce qui suit, à savoir les angles sous-tendus au centre de la sphère par la partie de grand cercle correspondante (par exemple, l'angle de 2π est la circonférence de la sphère).

La relation principale de la trigonométrie sphérique est la suivante, qui relie la longueur d'un côté à celles de deux autres côtés mais aussi l'angle entre eux :

\cos c = \cos a\, \cos b + \sin a\, \sin b\, \cos\gamma

Elle se démontre par exemple en exprimant de plusieurs façons le produit scalaire, dans l'espace euclidien ambiant, entre les vecteurs reliant le centre O de la sphère aux points A et B.

Dans le cas spécifique où le triangle est rectangle en C, on obtient, formule correspondant au théorème de Pythagore pour la trigonométrie sphérique. On peut remarquer surtout que, si le triangle est suffisamment petit pour qu'on puisse remplacer les cosinus par leur développement limité au deuxième ordre, on retrouve effectivement le théorème de Pythagore.

La formule ci-dessus permet surtout de calculer la distance entre deux points A et B sur la Terre selon leurs latitudes et longitudes. Pour cela, on place C au pôle nord, de sorte que a est le complémentaire de la latitude de A, b le complémentaire de celle de B, et c la différence de longitude. On obtient directement

d_{AB}=R c= R \arccos{ \left( \sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos \Delta \lambda \right)}.

La relation peut aussi s'écrire

\cos\gamma = \frac{\cos c - \cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}

qu'il ne faut pas confondre avec la relation duale (obtenue en remplaçant, dans la relation d'origine, l'ensemble des grands cercles par leurs points polaires), soit

\cos\gamma = -\cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c

soit toujours

\cos c = \frac{\cos\gamma + \cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}

On remarquera surtout que selon cette dernière formule, un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles, ce qui est particulièrement différent du triangle euclidien (plan). Il y a une ressemblance idéale (de dualité), dans le triangle sphérique, entre longueurs des côtés et angles aux sommets. Pour illustrer cette ressemblance, on peut d'ailleurs mentionner la formule des sinus,

sina :sinb :sinc = sinα :sinβ :sinγ

ce qui doit se comprendre comme «les trois quantités de gauche sont dans les mêmes proportions que les trois quantités de droite (le rapport entre deux quelconques à gauche est le même que le rapport correspondant à droite)».

Autres formules

Formules des demi-angles et demi-côtés

Soit le demi-périmètre du triangle. Alors on a

\tanˆ2\frac{\gamma}{2} = \frac{\sin(s-a)\,\sin(s-b)}{\sin s\,\sin(s-c)}

et pour les formules duales, avec  :

tanˆ2\frac{c}{2} = - \frac{\cos\sigma\,\cos(\sigma-\gamma)}{\cos(\sigma-\alpha)\, \cos(\sigma-\beta)}.

Ces formules qui, comme la relation principale, lient un angle au centre aux trois côtés du triangle sphériques ne contiennent pas de somme. Elles étaient particulièrement utilisés pour les calculs pratiques avec tables de logarithmes.

Formules de Gauss

On a \frac{\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} et \frac{\sin\frac{a+b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} mais aussi \frac{\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} et \frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}

Ressemblances de Napier

Elles s'obtiennent en combinant deux à deux les formules de Gauss :

Aire du triangle sphérique

De façon remarquable, l'aire du triangle sphérique se calcule particulièrement simplement à partir de ses trois angles : elle est précisément égale à son «défaut d'euclidianité» (différence entre la somme des angles du triangle et π) multiplié par le carré du rayon R de la sphère.

Soit : Aire = Rˆ2( \alpha+\beta+\gamma-\pi)=Rˆ2\varepsilon

Remarque :ε est un angle solide s'exprimant en stéradians (pour α, β et γ exprimés en radians).

Formule de l'Huilier

Cette formule est analogue à la formule de Héron qui calcule l'aire d'un triangle euclidien selon ses côtés, et elle fait la même chose pour le triangle sphérique :

\tan\frac{s}{2} \tan\frac{s-a}{2} \tan\frac{s-b}{2} \tan\frac{s-c}{2} = \tanˆ2\frac{\varepsilon}{4}

(on rappelle qu'on a nommé s= (a+b+c) /2 le demi-périmètre).

Aperçu historique

La trigonométrie, et surtout la trigonométrie sphérique doit énormément aux astronomes et mathématiciens grecs Hipparque de Nicée[1] mais aussi Ménélaüs d'Alexandrie, ainsi qu'aux mathématiciens persans de langue arabe et indiens. Parmi les plus célèbres figurent Al Biruni, Abu Nasr Mansur et Bhāskara II. Le premier traité de trigonométrie sphérique semble avoir été écrit vers 1060 par Al Jayyani, un mathématicien de l'Andalousie alors sous domination musulmane.

Applications

Voir aussi

Liens externes

Notes et références

  1. Œuvres complètes de François Arago. François Arago, tome 3, page 158 (Gide, Paris - 1855).

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