Trigonométrie

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.



Catégories :

Angle - Trigonométrie

Recherche sur Google Images :


Source image : educastream.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Définitions :

  • permet surtout de calculer des longueurs et des angles dans les triangles quelconques; propriétés des fonctions circulaires; étymologie : grec trigônon, triangle et metron mesure; Suite en Trigonométrie (source : villemin.gerard.free)
Planche sur la Trigonométrie, 1728 Cyclopædia

La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, «triangulaire», et μέτρον / métron, «mesure») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.

Présentation

Histoire de la trigonométrie

Premières techniques de mesure du triangle

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l'Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un dispositif numérique à base 60. Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie et la trigonométrie pour l'astronomie. La majorité de ses travaux sont actuellement détruits.

La première utilisation de sinus apparaît dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J. C., où le sinus de π/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle de même aire qu'un carré donné (le contraire de la quadrature du cercle).

Les astronomes grecs

L'astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre (avec une division du cercle en 360°), la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne par conséquent, d'une certaine façon, ce que nous appelons actuellement une table de sinus. Cependant, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec Ptolémée, qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen-Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus. On attribue à Ménélaüs d'Alexandrie (fin du Ier siècle) des développements en trigonométrie sphérique, au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.

Le mathématicien indien Aryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le sinus verse.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

Essor dans le monde musulman

Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie de l'approximation pour apporter des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour l'ensemble des angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au XIIIe siècle, Nasir al-Din Tusi, suite à Bhaskara, est certainement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline différente des mathématiques. Enfin, au XIVe siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

En Europe : redécouverte de Ptolémée

En Europe, la trigonométrie se développe vers le milieu du XIVe siècle avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Purbach et en particulier son étudiant Regiomontanus. Suivent au début du XVIe siècle les traités d'Oronce Finé, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline. C'est le mathématicien flamand Adrien Romain qui introduit la notation moderne \sin \ \alpha.

Applications

Article détaillé : Applications de la trigonométrie.

Les applications de la trigonométrie sont immenses. Surtout, elle est utilisée en astronomie avec la technique de triangulation qui sert à mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive)  : acoustique, optique, électronique, statistiques, économie, biologie, chimie, médecine, physique, météorologie, géodésie, géographie, cartographie, cryptographie, etc.

Trigonométrie

Triangle ABC

Une définition envisageable des fonctions trigonométriques est d'utiliser les triangles rectangles, c'est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° (degrés) ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d'un triangle fait 180° (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), se nomme l'hypoténuse.

Dans la figure à droite, l'angle \widehat{ACB} forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle \widehat{BAC} = A :

 \sin A = {\mbox{opp} \over \mbox{hyp}} = {a \over c}
 \qquad \cos A = {\mbox{adj} \over \mbox{hyp}} = {b \over c}
 \qquad \tan A = {\mbox{opp} \over \mbox{adj}} = {a \over b}
Avec opp pour côté opposé, adj pour côté adjacent et hyp pour hypoténuse.

Ce sont les fonctions trigonométriques principales et il en existe énormément d'autres. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition.

Formules de trigonométrie

Pour retrouver l'ensemble des autres formules de trigonométrie, voir l'article : Identité trigonométrique.

Identité principale

Quel que soit l'angle A, on a (d'après le théorème de Pythagore)  :

 \cosˆ{2} A + \sinˆ{2} A = 1 \,

Formules d'addition et de différence

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,

Formules de l'arc moitié

Ces formules sont importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant : t = \tan \frac{A}{2}, on a alors :

\sin\ A = {{2\,t} \over {1+tˆ{2}}}
\cos\ A = {{1-tˆ{2}} \over {1+tˆ{2}}}
\tan\ A = {{2\,t}\over {1-tˆ{2}}}

Formules de développement et de factorisation (Formules de Simpson)

Développement

\cos (a) \times \cos (b) = {{\cos(a-b)+\cos(a+b)} \over 2}
\sin (a) \times \sin (b) = {{\cos(a-b)-\cos(a+b)} \over 2}
\sin (a) \times \cos (b) = {{\sin(a+b) + \sin(a-b)} \over 2}

Factorisation

\cos p + \cos q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)
\cos p - \cos q = -2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)
\sin p + \sin q = 2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)
\sin p - \sin q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)

Théorème d'Al-Kashi ou Loi des cosinus

aˆ2 = bˆ2 + cˆ2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A

Cette formule a une importance spécifique en triangulation et a servi à l'origine en astronomie (voir Théorème d'Al-Kashi pour plus de détails). On doit au mathématicien Ghiyath al-Kashi, de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du XVe siècle.

Résoudre un triangle

C'est , étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B, trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire, a, b, c, A, B, C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème avec formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b. cosC +c. cosB).

Exemple : Sur l'axe Ox, OB = 1 et OC = 1.5. OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M :

On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) à peu près. Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° par conséquent M = 30° ; par conséquent triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2. (0.5). cos C = sqrt (3) /2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt (3) /4 = 0, 433 et x = 1- (0, 5) /2 = 0, 75. La distance OM = sqrt (3) /2 = MC, et azimut de M = 30°, angle OMB = 90°.

Il est rare du point de vue cadastral que les cas soient aussi simples.

En général on demande 4 à 6 ChS (chiffres significatifs)  : les calculettes ont énormément diminué le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien terrestre de Paris s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, dans le milieu du XVIIe siècle.

La surface S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S2 = p (pa) (pb) (pc).

Article détaillé : Résolution d'un triangle

Quelques problèmes célèbres

Voir aussi


Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu