Tribu engendrée

Étant donné un ensemble de parties d'un même ensemble X, la tribu génèrée par est la plus petite tribu contenant. On la note.



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Probabilités - Système d'ensembles - Théorie de la mesure

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • pour moi la tribu génèrée est l'intersection de l'ensemble des tribus... Le triplet dont tu parles est un AUTRE ensemble, qui est inclus dans P (E) .... lieu de penser que je ne suis pas particulièrement bon en principe de la mesure. sad smiley... (source : les-mathematiques)
  • `a deux et d'union Ω), la tribu génèrée est l'union quelconque d'éléments.... d'une façon plus générale si f est nulle p. p. hors d'un ensemble de mesure finie, ... (source : e-fern)
  • Une mesure est une fonction positive de la totalité (tribu) des événements A... La tribu génèrée est la “plus petite” tribu (au sens de l'inclusion)... (source : ceremade.dauphine)

Étant donné un ensemble \mathcal C de parties d'un même ensemble X, la tribu génèrée par \mathcal C est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant \mathcal C. On la note \sigma(\mathcal{C}).

Définitions

Tribu génèrée par un ensemble de parties

Proposition et définition — Soit X un ensemble et \mathcal C un ensemble de parties de X. Il existe une plus petite tribu sur X (pour l'inclusion) qui contienne \mathcal C. On l'appelle la tribu génèrée par \mathcal C, et on la note \sigma(\mathcal{C}).

On prouve aisément l'existence de \sigma(\mathcal{C}) en la définissant comme l'intersection de l'ensemble des tribus sur X qui contiennent \mathcal C (cette intersection a un sens, puisqu'au moins une telle tribu existe, à savoir la tribu dite discrète constituée de l'ensemble des parties de X) [1].

Tribu génèrée par une famille d'applications

Définition — Soit X un ensemble, I un ensemble d'indices et soit pour chaque i\in I un espace mesurable (X_i,\mathcal{A}_i) et une application f_i\,\colon\,X\to X_i.

On nomme tribu génèrée par la famille (f_i)_{i\in I} la famille génèrée par la réunion des tribus image-réciproques f_iˆ{-1}(\mathcal{A}_i). On la note \sigma(f_i, i\in I).

On vérifie aisément que :

Exemples

Construction transfinie

Un procédé de construction récurrence transfinie permet d'une façon plus générale une description de la tribu génèré par une partie \mathcal{C}. Il a été appliqué dès 1898 par Émile Borel pour définir la famille qu'on nomme actuellement tribu borélienne[3].

Pour le décrire posons en premier lieu une notation : pour \mathcal{F} ensemble de parties d'un ensemble X, on notera \mathcal{F}_{\sigma} la totalité des unions dénombrables d'éléments de \mathcal{F} et \mathcal{F}_{\delta} la totalité des intersections dénombrables.

Une première idée, non concluante, pourrait être la suivante : on part de la totalité \mathcal{F}_0 composé des éléments de \mathcal{C} et de leurs complémentaires. Pour construire de nouveaux éléments de la tribu génèrée, on applique aux parties qui figurent dans la classe \mathcal{F}_0 les opérations d'union dénombrable et d'intersection dénombrable : on obtient ainsi une nouvelle classe \mathcal{F}_1. On redébute l'opération en posant \mathcal{F}_2=(\mathcal{F}_{1})_{\sigma}\cup(\mathcal{F}_{1})_{\delta} et ainsi de suite par récurrence. On pourrait espérer que la réunion de la suite croissante des \mathcal{F}_n réponde à la question : elle n'est bien entendu pas vide, chaque \mathcal{F}_n est stable par complémentaire, les opérations de réunion ou d'intersection illimitée envoient \mathcal{F}_n dans \mathcal{F}_{n+1}. Mais ce dernier point n'entraîne pas qu'elles envoient la réunion des \mathcal{F}_n dans elle-même : qu'on songe à une envisageable suite d'ensembles (A_i)_{i\in\Nˆ*} où chaque Ai est un élément de \mathcal{F}_i\setminus\mathcal{F}_{i-1}. Rien ne permet d'assurer que sa réunion ni son intersection sera elle aussi dans l'un des \mathcal{F}_n.

Cette idée peut néenmoins être exploitée mais à condition de pousser plus loin la construction en effectuant une récurrence transfinie. On définit pour chaque ordinal α un ensemble de parties de Ω selon la procédure suivante :

Notons alors ω1 le premier ordinal non dénombrable, on vérifie alors aisément que :

\sigma(\mathcal{C})=\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha.

Quand X est un espace topologique métrisable et \mathcal{C} la topologie sur X cette construction admet des variantes. Il n'est ici pas indispensable d'initialiser la récurrence en mêlant ouverts et fermés comme on le ferait si on suivait le mode d'emploi donné plus haut pour définir \mathcal{F}_0. En effet la métrisabilité garantit que tout fermé est un Gδ (et tout ouvert un Fσ) par conséquent si on initialise la récurrence en prenant \mathcal{F}_0=\mathcal{C} on retrouve les fermés dès \mathcal{F}_1 ; on peut évidemment symétriquement choisir une initialisation à partir de la totalité des fermés. La considération conjointe de ces deux itérations parallèles conduit à l'introduction de notations standardisées, ces familles croissantes de classes jouant un rôle important en  : c'est ce qu'on nomme la hiérarchie de Borel[5].

Un résultat de cardinalité

Théorème[4] — Soit (X,\mathcal{A}) un espace mesuré. S'il existe une partie illimitée dénombrable de la tribu \mathcal{A} qui génère celle-ci, alors \mathcal{A} a la puissance du continu.

Démonstration : Notons \mathcal{C} la partie illimitée dénombrable de l'énoncé.

Les tribus illimitées ont toutes au moins la puissance du continu (voir la section «Cardinalité des tribus» de l'article tribu). \mathcal{A} contenant la totalité illimité \mathcal{C}, elle est illimitée et son cardinal est par conséquent supérieur ou égal à \mathfrak c, cardinal du continu.

Montrons l'inégalité inverse. Avec les notations de la section précédente, la classe \mathcal{F}_0 qui initialise l'induction est illimitée dénombrable. On construit une réunion dénombrable de parties de \mathcal{F}_0 à partir de chaque suite d'éléments de \mathcal{F}_0 (étant évidemment entendu que de nombreuses suites fournissent la même réunion). Le cardinal de (\mathcal{F}_0)_\sigma est par conséquent inférieur ou égal à celui de (\mathcal{F}_0)ˆ\N, qui est \aleph_0ˆ{\aleph_0}=\mathfrak c. Il en est de même avec les intersections et on conclut que le cardinal de \mathcal{F}_1 est inférieur ou égal à \mathfrak c.

En reprenant le même raisonnement, le cardinal de \mathcal{F}_2 est à son tour inférieur ou égal à \mathfrak{c}ˆ{\aleph_0}=\mathfrak{c}.

On montre alors par récurrence transfinie que pour tout α < ?1 :

\mathrm{card}\,\mathcal{F}_\alpha\leq \mathfrak{c}.

Lorsque α est un ordinal successeur c'est la même méthode que celle explicitée sur le passage de \mathcal{F}_1 à \mathcal{F}_2 ; lorsque α est un ordinal limite, il est par définition union dénombrable d'ensembles de cardinal inférieur ou égal à \mathfrak c, par conséquent lui-même de cardinal inférieur ou égal à  \aleph_0\,\mathfrak{c}=\mathfrak{c}.

Enfin la tribu \mathcal{Z} est écrite comme une union d'ensembles qui sont tous de la forme \mathcal{F}_\alpha, en utilisant un ensemble d'indices de cardinal \aleph_1. On conclut que  \mathrm{card}\,\mathcal{A}\leq\aleph_1\,\mathfrak{c}=\mathfrak{c}.

CQFD

Ce théorème s'applique surtout à la tribu borélienne sur l'espace \Rˆn, qui est génèrée par les pavés à coordonnées rationnelles. D'une façon plus générale, sa conclusion est aussi valable sur tout espace de Lusin illimité[6].

Extensions de fonctions d'ensembles

Dans les problèmes évoqués dans cette section, on dispose d'informations sur une fonction μ définie sur une classe \mathcal C de parties d'un ensemble X, et on souhaite les propager à toute la tribu génèrée \sigma(\mathcal{C}).

Problèmes d'unicité

Article détaillé : lemme de classe monotone.

Dans cette problématique on sait que μ est la restriction d'une mesure ; on veut s'assurer disposer avec cette restriction d'assez d'informations au sujet pour caractériser totalement μ.

Il s'avère que la connaissance d'une mesure sur une partie génératrice d'une tribu ne permet pas généralement sa reconstitution : deux mesures peuvent coïncider sur une classe \mathcal{C} sans pour tout autant coïncider sur toute la tribu \sigma(\mathcal{C}).

Exemples :

Pour une mesure de probabilité, il existe cependant une condition suffisante simple garantissant que ses valeurs sur \mathcal{C} la caractérisent : il suffit que \mathcal{C} soit stable par intersection finie (en jargon de théorie de la mesure, on dit que c'est un π-système). Exactement, on a :

Lemme d'unicité des mesures de probabilité —  Deux mesures de probabilité \mathbb{P}\ et \mathbb{Q}\ définies sur l'espace probabilisable (\Omega,\mathcal{A}) et coincidant sur un ensemble d'événements \mathcal{C}\subset \mathcal{A} stable par intersection (finie) coïncident aussi sur la tribu génèrée par \mathcal{C} :

 \{\forall A\in \mathcal{C},\quad \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}\quad\Rightarrow\quad\{\forall A\in \sigma(\mathcal{C}),\quad \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}.

La démonstration est immédiate à partir d'un lemme, dit «lemme de classe monotone» ou «théorème lambda-pi de Dynkin» :

Lemme de classe monotone — Soit X un ensemble et \mathcal{C} une partie de \mathcal{P}(X) supposée stable par intersection finie. Alors la tribu \sigma(\mathcal{C}) génèrée par \mathcal{C} peut être décrite comme la plus petite partie de \mathcal{P}(X) qui :

  • contienne X ;
  • soit stable par différence de parties emboîtées : si A \subset B\, y figurent tous deux, B\setminus A doit y figurer aussi ;
  • soit stable par réunion dénombrable croissante.

Un exemple positif d'utilisation des résultats de cette section est la caractérisation des mesures de probabilité par leur fonction de répartition, la totalité des intervalles de la forme ]-\infty,x], x\in\R étant générateur de la tribu borélienne et stable par intersection[7].

Problèmes d'existence

Article détaillé : Théorème d'extension de Carathéodory.

Ici le problème est de généraliser dans un cadre abstrait les idées qui ont abouti à la définition de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle : étant donné une classe d'ensembles \mathcal{C} sur lesquels une définition de la mesure paraît particulièrement naturelle (les rectangles dans le cadre de la mesure de Lebesgue dans le plan), on dispose sur cette classe d'une fonction d'ensembles μ raisonnable (l'aire). Quelles conditions seront-elles suffisantes pour que cette fonction d'ensembles puisse être prolongée à toute la tribu génèrée par \mathcal{C}, y compris les ensembles biscornus qu'elle peut contenir ?

Une réponse est apportée par le théorème d'extension de Carathéodory. En voici un énoncé envisageable[8] (dans cet énoncé, on entend par «mesure» sur un anneau d'ensembles une application de cet anneau vers [0,+\infty], σ-additive et prenant au moins une valeur finie[9])  :

Théorème — Toute mesure sur un anneau d'ensembles admet au moins un prolongement en une mesure définie sur la tribu génèrée par cet anneau.

Références

  1. Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert, coll. «Les grands cours Vuibert», Paris, octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2)  , p. 47
  2. Briane-Pagès, op. cit., p. 59
  3. Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson, 1996 (ISBN 22585324X)  , p. 115
  4. Selon Daniel Revuz, Mesure et intégration, Hermann, 1997 (ISBN 2705663509)  , p. 110-111
  5. Pour des informations de base sur la hiérarchie de Borel, voir S. M. Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1991, p. 115-117
  6. Sashi Mohan Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1998 (ISBN 9780387984124)  , théorème 3-3-18, p. 100
  7. Pour la totalité de la section, voir Briane-Pagès, op. cit., p. 66-68
  8. On trouve un énoncé assez simple qui entraîne celui donné ici dans Olav Kallenberg, Foundations of modern probability, Springer, 2002 (ISBN 9780387953137)  , p. 26
  9. On trouvera cette définition exposée de façon moins concise à l'article «mesure», section «Généralisation».

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