Tribu

En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par complémentation et par union dénombrable.



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En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel[1] sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par complémentation et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable.

Progressivement formalisées au cours du premier tiers du XXe siècle, les tribus forment le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure. Les exemples les plus fameux en sont les tribus boréliennes, du nom d'Émile Borel qui construit la tribu borélienne de la droite réelle en 1898, et la tribu de Lebesgue constituée des ensembles mesurables définis par Henri Lebesgue en 1901. En conséquence, les tribus sont aussi principales en théorie des probabilités, dont l'axiomatisation moderne s'appuie sur la théorie de la mesure. Dans ce domaine, les tribus ne sont pas uniquement le support du formalisme, mais également un outil puissant qui est à la base de la définition de concepts parmi les plus importants : espérance conditionnelle, martingales, etc.

Définition

Définition[2] — Soit X un ensemble. On nomme tribu (ou σ-algèbre) sur X un ensemble \mathcal{A} de parties de X qui vérifie :

  1. \mathcal{A} n'est pas vide
  2. \mathcal{A} est stable par complémentaire
  3. \mathcal{A} est stable par union dénombrable.

Une minorité de sources exigent aussi que X ne soit pas vide[3] ; cette hypothèse supplémentaire n'est nulle part utilisée dans le présent article.

Formellement :

  1. \mathcal{A} \not=\varnothing
  2.  \forall A \in \mathcal{A} , {}ˆc A \in\mathcal{A} (où cA sert à désigner le complémentaire de A dans X).
  3. si  \forall n \in \mathbb{N}, A_n \in\mathcal{A} alors  \bigcup_{n\in\mathbb{N} } A_n \in\mathcal{A} (l'union est dite «dénombrable» parce que la totalité des indices l'est ).

La définition qui précède a l'intérêt d'être lisible sans connaître le langage des algèbres de Boole ; si on le connaît, on peut l'exprimer sous forme plus resserrée :

Forme alternative de la définition[4] — Une tribu est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable.

Le couple \left(X,\mathcal{A}\right) est nommé espace mesurable[5] ou espace probabilisable selon le contexte. Sur les espaces mesurables on définit des mesures ; sur les espaces probabilisables on s'intéresse particulièrement aux probabilités.

Les parties de X qui appartiennent à la tribu \mathcal{A} sont nommées ensembles mesurables. Dans un contexte probabiliste, on les nomme événements.

Motivations

En analyse, l'importance des tribus s'est progressivement affirmée au long des trente premières années du XXe siècle. Le siècle s'ouvre par l'élaboration par Henri Lebesgue de sa théorie de l'intégration. Dans la décennie suivante on commence à exploiter la notion géométrique de mesure en probabilités[6], Johann Radon construit en 1913 une théorie de l'intégration sur \Rˆn qui généralise à la fois celle de Lebesgue et celle de Stieltjes[7], Felix Hausdorff définit en 1918 la mesure qui porte actuellement son nom en dimensions non entières[8]. Simultanément, on s'efforce de bâtir une axiomatisation abstraite de l'intégration dans laquelle s'intègreraient toutes ces nouvelles théories. Cette unification, réalisée dans le début des années 1930, s'appuie sur la définition moderne d'une mesure. La notion de tribu en est un élément constitutif.

Depuis la publication en 1933 des Fondements de la théorie des probabilités d'Andreï Kolmogorov, les probabilités sont solidement ancrées sur la théorie de la mesure[9]. Les σ-algèbres y jouent un rôle inévitable, peut-être plus central qu'en analyse : ici elles ne sont pas uniquement un cadre de travail, mais également un outil puissant. La preuve de la loi du zéro un de Kolmogorov apporte un exemple assez élémentaire de leur efficacité.

La théorie des processus stochastiques (l'étude probabiliste de phénomènes variant avec le temps) sert à donner une interprétation intuitive de certaines tribus. A titre d'exemple, supposons qu'on s'intéresse à l'évolution du prix d'un actif financier selon le temps. L'espace des événements X est la totalité des évolutions envisageable de cet actif, c'est-à-dire des fonctions associant à chaque instant un prix. Pour chaque valeur t du temps, on définit ainsi une tribu \mathcal{A}_t : étant donné un ensemble A d'événements, on décidera que A est dans \mathcal{A}_t si on peut le décrire par une formulation qui, lue par un observateur vivant à la date t, ne se réfère qu'au passé. Pour fixer les idées, si A est l'événement «le cours de l'actif a constamment augmenté pendant l'année 2006», il appartient à \mathcal{A}_{2010} puisqu'un observateur vivant en 2010 peut en décider en consultant des archives, mais n'est pas dans \mathcal{A}_{2005} (sauf à être extralucide, un observateur vivant en 2005 n'en peut rien savoir). On dispose finalement d'une tribu évoluant selon le temps, dont la valeur \mathcal{A}_t représente le niveau d'information disponible à la date t. Sa croissance exprime l'expansion constante de l'information disponible. Cette famille croissante de tribus (on parle de filtration) permet alors de formaliser diverses hypothèses sur le phénomène modélisé (via les concepts d'espérance conditionnelle, de martingale, etc. ) puis d'en tirer mathématiquement des conclusions[10].

Exemples

Propriétés élémentaires

Proposition[11] — Soit X \, un ensemble, et soit \mathcal A un ensemble de parties de X \, qui vérifie :

  1. \mathcal A n'est pas vide
  2. \mathcal A est stable par complémentaire
  3. Une union dénombrable d'éléments de \mathcal A deux à deux disjoints est toujours dans \mathcal A
  4. \mathcal A est stable par intersection finie.

Alors \mathcal A est une tribu sur X \, .

On le prouve aisément en remarquant que pour toute suite d'éléments de \mathcal A (a priori non disjoints) on peut écrire :

\bigcup_{n\in\mathbb{N} } A_n=A_0\cup (A_1\cap{}ˆc A_0)\cap(A_2\cap{}ˆc A_0\cap{}ˆc A_1)\cup(A_3\cap{}ˆc A_0\cap{}ˆc A_1\cap{}ˆc A_2)\cup\cdots

D'autres sources fournissent une variante de cette proposition, en posant comme troisième condition la stabilité par réunion dénombrable croissante. Si on est familier du vocabulaire défini à l'article «lemme de classe monotone», cet énoncé peut se dire ainsi : tout λ-système qui est aussi un π-système est une σ-algèbre[12].

Cardinalité des tribus

Pour x\in X, on définit l'atome de x assez à la tribu par :

C(x)=\bigcap_{{x\in A}\atop{A\in\mathcal A}}A

En utilisant uniquement la stabilité de \mathcal A par passage au complémentaire, on vérifie que les atomes forment une partition de X. On voit aussi que tout élément de \mathcal A est réunion d'atomes[13].

Ce concept permet surtout de prouver la proposition suivante[14] :

Proposition — Toute tribu illimitée a au moins la puissance du continu.

Démonstration : Supposons illimitée la tribu \mathcal A sur la totalité X. Comme tout élément de \mathcal A est réunion d'atomes, les atomes sont eux aussi en nombre illimité. Considérons alors \left(C(x_i)\right)_{i\in\N} une suite d'atomes différents (donc deux à deux disjoints).

Pour tous indices i\not=j, la définition de C (xi) et le fait que x_j\not\in C(x_i), entraînent l'existence d'un A_{ij}\in\mathcal A tel que :

(1)\qquad x_i\in A_{ij} mais x_j\not\in A_{ij}.

On définit alors une application \Phi\,\colon\,\mathcal{P}(\N)\to\mathcal{A} en posant, pour I\subset\N :

\Phi(I)=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j\not=i}A_{ij}.

En utilisant (1) , on vérifie que I=\{i\in\N\,\mid\,x_i\in\Phi(I)\}, on conclut que Φ est injective.

Tribu génèrée par un ensemble de parties

Article détaillé : Tribu génèrée.

Si \mathcal{C} est un ensemble arbitraire de parties de X, il existe alors une plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant \mathcal{C}, notée \sigma(\mathcal{C}) et nommée la tribu génèrée par \mathcal{C}.

On prouve l'existence de \sigma(\mathcal{C}) en la définissant comme l'intersection de l'ensemble des tribus sur X qui contiennent \mathcal{C} (cette intersection a un sens, puisque au moins une telle tribu existe, à savoir la tribu discrète) [15].

Exemples :

On dispose d'un procédé légèrement plus «constructif» de production de \sigma(\mathcal{C}), par application itérée à partir des éléments de \mathcal{C} des opérations d'intersection, de réunion dénombrable et de passage au complémentaire. La «construction» est cependant techniquement légèrement subtile, car il ne suffit pas de répéter cette itération pendant une suite dénombrable d'étapes indexée par \N : on doit faire appel à une technique de récurrence transfinie. Cette technique permet surtout de déterminer totalement le cardinal d'une tribu dénombrablement génèrée :

Théorème[16] — Soit (X,\mathcal{A}) un espace mesuré. S'il existe une partie illimitée dénombrable de la tribu \mathcal{A} qui génère celle-ci, alors \mathcal{A} a la puissance du continu.

Deux exemples importants : les tribus de Borel et de Lebesgue

Articles détaillés : Tribu borélienne et Mesure de Lebesgue.

On nomme tribu de Borel ou tribu borélienne sur un espace topologique donné la tribu génèrée par les ensembles ouverts. Dans le cas simple et essentiel de l'espace courant à n dimensions, la tribu borélienne de \Rˆn est génèrée par une famille dénombrable de parties, les pavés dont les sommets sont à coordonnées rationnelles. Par un résultat cité plus haut, elle a par conséquent la puissance du continu — ce qui prouve incidemment qu'elle n'est pas égale à la totalité de l'ensemble des parties de \Rˆn, qui est de cardinal strictement supérieur[17].

En probabilités, ou dans les théories de l'intégration dérivant de celle de la mesure, la tribu de Borel de \R (ou de la droite achevée \overline{\R}) joue un rôle prééminent : c'est en effet assez à elle qu'on définit les fonctions mesurables à valeurs réelles ou les variables aléatoires réelles[18].

Les tribus boréliennes sont le cadre naturel où se rencontrent les théories de l'intégration et la théorie de la mesure, surtout par le théorème de représentation de Riesz qui associe une mesure définie sur la tribu de Borel à certaines fonctionnelles sur un espace de fonctions continues.

Bien que les espaces métriques non dénombrables usuels aient des propriétés topologiques extrêmement dissemblables, toutes leurs tribus boréliennes sont indiscernables. Un théorème de Kuratowski affirme en effet que tous ceux appartenant à une très large classe, les espaces de Lusin, ont des tribus boréliennes isomorphes entre elles et surtout isomorphes à la tribu de Borel sur la droite réelle. Les espaces de Lusin comme espaces mesurables sont par conséquent classifiés par leur cardinal[19].

Sur l'espace \mathbb Rˆn, une autre tribu mérite d'être signalée : la tribu de Lebesgue, dont les éléments sont les ensembles mesurables au sens de Lebesgue. Cette tribu contient strictement la tribu de Borel, dont elle est la complétée pour la mesure de Lebesgue. Si on accepte d'utiliser l'axiome du choix, elle ne coïncide pas non plus avec la totalité de l'ensemble des parties de \Rˆn.

Histoire du concept

La notion de tribu est étroitement liée à celle de mesure, qui est elle-même une généralisation des notions de longueur (sur une droite), d'aire (dans le plan) et de volume (dans l'espace à trois dimensions). Dans la seconde moitié du XIXe siècle, la question de savoir quels ensembles peuvent être mesurés se pose[20]. La longueur d'un intervalle de limites a et b est ba. Bernhard Riemann, avec l'intégrale qui porte son nom, est le premier à permettre de mesurer des parties de la droite réelle qui ne sont pas des intervalles[21].

À sa suite, d'autres mathématiciens cherchent la meilleure façon de définir les ensembles mesurables : Stolz et Harnack considèrent les réunions finies d'intervalles, dans \R. Cependant, Harnack, en 1884, est le premier à évoquer une union dénombrable d'intervalles, il prouve mais aussi tout ensemble dénombrable (dont la totalité des nombres rationnels) inclus dans \R est de mesure nulle.

«pour éviter de fausses interprétations, je remarque incidemment que dans un certain sens, tout ensemble “dénombrable” de points peut être confiné dans des intervalles dont la somme des longueurs est arbitrairement petite. Ainsi peut-on par exemple inclure, quoiqu'ils soient denses dans le segment, l'ensemble des nombres rationnels entre 0 et 1 dans des intervalles dont la somme des longueurs est aussi petite qu'on veut[22]

Cela n'est pas admis par les mathématiciens de l'époque, car paraît contradictoire avec le fait que la totalité des nombres rationnels est dense dans celui des réels. En effet, un ensemble de mesure nulle est perçu «très petit» tandis qu'un ensemble dense est «très grand»[23].

Ce paradoxe apparent conduit les mathématiciens (dont Camille Jordan en 1892) à ne considérer comme mesurables que les sous-ensembles de \R égaux à une union finie d'intervalles[23].

Émile Borel, père de la tribu borélienne de la droite réelle

En 1898, Émile Borel s'appuie sur les réunions dénombrables d'intervalles ouverts disjoints et construit, par récurrence transfinie, la totalité de parties qu'on nomme actuellement la tribu borélienne de la droite réelle[24]. Les boréliens ont la propriété suivante : la mesure d'une réunion d'ensembles boréliens deux à deux disjoints est égale à la somme des mesures de chacun de ces ensembles[25].

Les travaux contemporains de René Baire méritent aussi d'être mentionnés. Ils ont en effet nourri l'inspiration de ses contemporains en prouvant l'efficacité des techniques ensemblistes en analyse, même si c'est ailleurs que dans les fondements de l'intégration qu'ils ont révélé leur fécondité[26].

Les années 1901 à 1904 voient la publication par Henri Lebesgue de la théorie de la mesure des parties de l'espace euclidien et de la théorie de l'intégration qui portent son nom. Les ensembles mesurables qu'il définit forment un deuxième exemple de tribu, qui est la totalité de définition de la mesure de Lebesgue. On sait rapidement qu'en présence de l'axiome du choix il existe des ensembles non mesurables : il n'est plus question d'espérer mesurer toute partie de l'espace[27].

Les années 1910 voient se développer des recherches où l'accent est mis sur les fondements ensemblistes de la théorie de l'intégration et désormais également des probabilités. Felix Hausdorff et en particulier Constantin Carathéodory, dont l'axiomatique des mesures extérieures étend à un cadre abstrait les travaux de Lebesgue[28], ont fait progresser ces recherches. En 1915, Maurice Fréchet publie un article qui propose déjà une définition des mesures particulièrement voisine de celle admise aujourd'hui. Il les définit sur ce qu'on nomme actuellement des sigma-anneaux et est le premier à considérer des «ensembles abstraits» sans relation avec les nombres réels[29]. Dans un article de 1927, Wacław Sierpiński introduit ce qu'on appelle actuellement la tribu génèrée[30].

Dans les années 1930, la maturation du formalisme moderne est terminée. Pour la première fois semble-t-il, un article de 1930 d'Otton Nikodým décrit explicitement les définitions de sigma-algèbre et de mesure utilisées actuellement[31]. Deux traités influents parus pendant cette décennie popularisent définitivement la notion : Théorie de l'intégrale de Stanisław Saks pour l'analyse[32] et Fondements de la théorie des probabilités d'Andreï Kolmogorov[33]. Quant au terme de «tribu» utilisé en français pour dénommer les σ-algèbres, il a été introduit dans un article publié en 1936 par René de Possel, membre du groupe Bourbaki[34].

Constructions de tribus

Tribu image réciproque

Proposition et définition — Soit (X_2,\mathcal{A}_2) un espace mesurable, X1 un ensemble et f\,\colon X_1\to X_2 une application.

La totalité fˆ{-1}(\mathcal{A}_2) défini par :

fˆ{-1}(\mathcal{A}_2)=\left\{fˆ{-1}(A_2)\,\mid A_2\in\mathcal{A}_2\right\}

est une tribu sur X1. On l'appelle tribu image réciproque ou tribu génèrée par f.

Comme indiqué légèrement plus bas, ceci permet surtout de restreindre une tribu à un sous-ensemble de son univers X. Le lemme de transport est un résultat simple mais utile pour manipuler une image réciproque de tribu définie par une partie génératrice, par exemple une tribu borélienne[35].

Quand plusieurs fonctions partent de (X_1,\mathcal{A}_1) — typiquement en probabilités, où plusieurs variables aléatoires sont simultanément reconnues au départ d'un même espace — il est facile de généraliser la tribu image réciproque : on parle de tribu génèrée par une famille d'applications (qui sont fréquemment des variables aléatoires). On trouvera cette définition à l'article «tribu génèrée».

Tribu image

Proposition et définition[35] — Soit (X_1,\mathcal{A}_1) un espace mesurable, X2 un ensemble et f\,\colon X_1\to X_2 une application.

La totalité f(\mathcal{A}_1) défini par :

f(\mathcal{A}_1)=\left\{A_2\in\mathcal{P}(X_2) \,\mid\,fˆ{-1}(A_2)\in \mathcal{A}_1\right\}

est une tribu sur X2. On l'appelle tribu image.

Tribu trace

Proposition et définition — Soit (X,\mathcal{A}) un espace mesurable et X' une partie de X.

La totalité :

\left\{A\cap X' \,\mid\,A\in \mathcal{A}\right\}

est une tribu sur X'. On l'appelle tribu trace.

La vérification directe est immédiate, mais on peut aussi s'apercevoir que c'est un cas spécifique de tribu image réciproque, en l'espèce sous l'injection canonique de X' dans X[35].

Tribu produit

Article détaillé : Tribu produit.

Définition — Soit (X_1,\mathcal{A}_1)\ et (X_2,\mathcal{A}_2)\ deux espaces mesurables. La tribu produit, notée \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2\ ou \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2\ , est la tribu de parties du produit cartésien X_1\times X_2\ génèrée par les pavés A_1\times A_2,\ A_i\in \mathcal{A}_i,\quad i\in\{1,2\}\ :\

\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2\ =\ \sigma\left(\left\{A_1\times A_2\ |\ A_1\in \mathcal{A}_1,\ A_2\in \mathcal{A}_2\right\}\right).

La définition de la tribu produit est le préalable à celle de la mesure produit dont l'usage sert à généraliser à des espaces abstraits les intégrales multiples[36].

Le concept se généralise à un produit d'une famille illimitée d'espaces mesurables[37].

Tribu complétée

Article détaillé : Complétion d'une mesure.

Proposition et définition — Soit \ (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré.

La totalité \overline{\mathcal{A}}_\mu défini par :

\overline{\mathcal{A}}_\mu = \{A\cup N\,\mid\,A\in\mathcal{A},\ N \hbox { partie négligeable de } X\}

est une tribu sur X. On l'appelle tribu complétée.

Le résultat de la complétion dépend de μ, puisque la notion de partie négligeable n'a de sens que vis-à-vis d'une mesure bien précisée[38].

La construction généralise dans un cadre abstrait la situation de la tribu de Lebesgue assez à la tribu borélienne de \Rˆn (sous la mesure de Lebesgue).

Références

  1. Signalé en note par Albert Tortrat, Calcul des probabilités et introduction aux processus aléatoires, Masson, 1971 , p. 31. C'est la terminologie historiquement utilisée par Andreï Kolmogorov dans son axiomatisation de la théorie des probabilités.
  2. Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950 , p. 28. Des variantes mineures sont envisageables, surtout on trouve fréquemment pour condition (1) l'appartenance du vide à \mathcal{A} (ainsi dans Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert, coll. «Les grands cours Vuibert», Paris, octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2)  , p. 45-46) ou celle de X à \mathcal{A} (ainsi dans Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1980 (ISBN 9783764330033)  , p. 1-2). Voir la partie Propriétés élémentaires de cet article pour les démonstrations.
  3. Adriaan Zaanen, Integration, North Holland, 1967 , p. 25-28 ou Ole A. Nielsen, An introduction to integration and measure theory, Wiley-interscience, 1997 (ISBN 978-0-471-59518-2)  , p. 123
  4. La définition est par exemple donnée sous cette forme dans Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-34513-8)  , p. 4
  5. Certaines sources assez anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Paul Halmos, op. cit. , p. 73, un espace mesurable est un ensemble pourvu d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, 1965 , p. 35 c'est un ensemble pourvu d'un sigma-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.
  6. Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson, 1996 (ISBN 22585324X)  , p. 206-207, estime que le «pas décisif est franchi» en 1914, à la publication des Grundzüge der Mengenlehre de Felix Hausdorff en s'appuyant surtout sur une citation de Wilhelm Blaschke.
  7. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 163-165
  8. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 170
  9. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 208
  10. L'idée selon laquelle ce type de tribu «représente la connaissance» à un temps donné est explicitement énoncée dans Mircea Gregoriu, Stochastic Calculus : Applications in Science and Engineering, Birkhäuser, 2002 (ISBN 978-0817642426)  , p. 78. On trouve une exposition intuitive des tribus comme ensembles d'«observables» dans Gihman I. I. et Skorohod A. V., The theory of stochastic processes I, Springer-Verlag, 1974 , p. 143.
  11. Cet énoncé est un peu adapté du théorème 1-18 de Achim Klenke, Probability theory, a comprehensive course, Springer, 2008 (ISBN 9781848000476)  , p. 7
  12. L'énoncé est ainsi donné sous cette forme (et les λ-systèmes définis à partir d'unions croissantes) dans Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Illimitéte Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007 (ISBN 9783540326960)  , lemme 4-10, p. 135
  13. Briane-Pagès, op. cit. , exercice 4-5, p. 51
  14. Briane-Pagès, op. cit. , exercice 4-5, p. 51 précité contient un énoncé voisin. Ce dernier est implicite dans Revuz, op. cit. , p. 110-111
  15. Daniel Revuz, Mesure et intégration, Hermann, 1997 (ISBN 2705663509)  , p. 26-27
  16. Revuz, op. cit. , p. 110-111
  17. Revuz, op. cit. , p. 26-27 et 110-111
  18. Briane-Pagès, op. cit. , p. 265-266 notent qu'il serait «irréaliste» d'essayer de pourvur la totalité d'arrivée de la tribu de Lebesgue.
  19. Sashi Mohan Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1998 (ISBN 9780387984124)  , Théorème 3-3-13, p. 99 (la source ne apporte pas l'attribution à Kuratowski).
  20. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p.  243.
  21. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p.  230.
  22. Bernard Maurey et Jean-Pierre Tacchi, «Ludwig Scheefer et les extensions du théorème des accroissements finis», dans Séminaire du Luxembourg, Travaux mathématiques, vol.  13, 2002 [texte intégral] 
  23. (en) John Stillwell, Mathematics and its history, Springer, coll. «Undergraduate texts in mathematics», 2002, 542 pages p. (ISBN 0387953361)  , p.  460.
  24. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 115-116 qui renvoie à Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1898 
  25. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Springer, 2006, 376 p. (ISBN 3540339388)  , p.  279.
  26. Stanisław Saks, Théorie de l'intégrale, Seminar. Matem. Uniw. Warsz., coll. «Monografje Matematyczne», Warszawa, 1933 , p. iv-v
  27. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 117-122. Les travaux de Lebesgue sont publiés sous forme d'une note : «Sur une généralisation de l'intégrale définie», dans Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol.  132, 1901, p.  1025-1028  suivie d'un article : «Intégrale, longueur, aire», dans Ann. Mat. Pura Appl. , vol.  7, 1902, p.  231-359  et enfin d'un traité : Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars, 1904 
  28. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 169-170 qui renvoie à (de) Constantin Carathéodory, «Über das lineare Maß von Punktmengen - eine Verallgemeinerungdes Längenbegriffs», dans Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1914, p.  404-426 
  29. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 165, qui renvoie à Maurice Fréchet, «Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait», dans Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.  XLIII, 1915, p.  248-265 
  30. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 153, qui renvoie à Wacław Sierpiński, «Les ensembles boréliens abstraits», dans Ann. Soc. Math. Polon. , vol.  VI, 1927, p.  50-53 
  31. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 166, qui renvoie à Otton Nikodým, «Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon», dans Fund. Math. , vol.  15, 1930, p.  131-179 
  32. Stanisław Saks, op. cit. , annexe p. 247-248 dans l'édition susmentionnée (sous le nom de «famille additive»). L'influence de l'ouvrage est soulignée par Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 166
  33. Andrey Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea, 1956, 2e éd.  , p. 16 dans l'édition mentionnée (sous le nom de «corps de Borel»). L'importance historique de l'ouvrage est un lieu commun, voir par exemple Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 208. Dans son ouvrage, Andreï Kolmogorov renvoie au Mengenlehre de 1927 de Felix Hausdorff, mais ce dernier ne contient pas de définition explicitement mise en avant d'une sigma-algèbre.
  34. Jean-Paul Pier, op. cit. , p. 171, qui renvoie à : René de Possel, «Sur la dérivation abstraite des fonctions d'ensemble», dans Journ. d. Math. , vol.  15, 1936, p.  391-409 
  35. Briane-Pagès, op. cit. , p. 48-49
  36. On trouvera un exposé du produit des tribus et mesures dans la majorité des ouvrages consacrés à la théorie de la mesure, par exemple dans Briane-Pagès, op. cit. , chapitre 11, p. 191-211
  37. Klenke, op. cit. , p. 272
  38. Briane-Pagès, op. cit. , p. 263-264

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