Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit.



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Mathématiques élémentaires - Géométrie du triangle

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Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit.

On appelle alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit ; c'est le côté [BC] sur la figure ci-contre. Qui plus est , on nomme cathète chaque côté adjacent à l'angle droit. Le côté [AB] est nommé côté adjacent à l'angle α et opposé à l'angle β ; le côté [AC] est le côté adjacent à l'angle β et opposé à l'angle α. Comparé à l'angle α, le côté [AB] est dit la cathète adjacente alors que [AC] est la cathète opposée.

Triangle rectangle vect.svg

Intérêt

La connaissance des triangles rectangles et de leurs relations métriques (relations entre les longueurs, les angles) permettent de travailler sur de nombreux problèmes. Par exemple :

Principales propriétés

Aire

Comme pour tout triangle, pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on multiplie base et hauteur correspondantes, et on divise le tout par deux. Si ABC est rectangle en A, chacun des côtés AB et AC peut être reconnu comme une hauteur, la base étant alors l'autre côté de l'angle droit (AC et AB respectivement). L'aire "S" du triangle est par conséquent égale à S = (AB * AC) / 2.

A titre d'exemple, on a un triangle rectangle en A avec AB = 4cm, AC = 3cm, et l'hypoténuse BC = 5 cm. On a S = (4 * 3) / 2 = 6, par conséquent l'aire du triangle rectangle est de 6cm².

Remarque : On pourrait évidemment utiliser aussi le troisième côté, l'hypoténuse BC, comme base, et trouver le même résultat, mais la hauteur associée à BC devrait être calculée, elle n'est pas directement un côté.

Théorème de Pythagore

Article détaillé : Théorème de Pythagore.

Le Théorème de Pythagore précise que :

si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit : BC2 = AC2 + AB2 Réciproquement, tout triangle ABC vérifiant l'égalité précédente est un triangle rectangle en A.

Ce théorème est une conséquence de la définition de la distance entre deux points à partir du carré scalaire de leur vecteur. En effet

 BCˆ2 = \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC}\right)
 BCˆ2=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}+2 \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AC}\overrightarrow{AC}=ABˆ2+ACˆ2

puisque \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=0 car les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.

Voir l'article Théorème de Pythagore pour d'autres démonstrations.

Théorème de la médiane

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle

Pour un triangle rectangle, le théorème de la médiane s'énonce ainsi

si M est le milieu de l'hypoténuse, alors AM=½BC. On peut aussi dire que le point A est localisé sur le cercle de diamètre [BC]. Réciproquement, si A est un point quelconque du cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC est rectangle en A

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. Le sens direct peut se montrer de manière purement géométrique : par définition M est le milieu de [BC]. Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD. Un rectangle est un parallélogramme, par conséquent ses diagonales se coupent en leur milieu, par conséquent M, milieu de [BC], est aussi celui de [AD]. Les diagonales d'un rectangle sont de longueur identiques, par conséquent AD = BC et AM = AD / 2 = BC / 2.

On peut aussi faire appel aux vecteurs :

\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}, d'où : \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}),

Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc : AM² = (AB² + AC²) /4

D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient : BC² = AB² + AC². Et finalement : AM = BC / 2

On peut aussi appliquer le théorème de l'angle au centre, qui permet en outre de démontrer la réciproque. Considérons le cercle circonscrit au triangle ABC et notons O son centre. Selon le théorème de l'angle au centre l'angle BOC est le double de l'angle BAC. Donc

\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = \pi

Ainsi les points B, O et C sont alignés. Comme de plus BO=OC on voit que O est le milieu de [BC] par conséquent O=M.

Réciproquement, si on sait que A est un point du cercle de diamètre [BC]. Selon le théorème de l'angle au centre, l'angle BAC est la moitié de l'angle BOC, par conséquent il vaut π/2. Ainsi le triangle BAC est rectangle en A.

Ce théorème se généralise dans un triangle quelconque. Voir à ce propos l'article théorème de la médiane.

Centre de gravité

Avec les notations précédentes (ABC rectangle en A et M le milieu de [BC])  : le centre de gravité G vérifie

\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

(voir Triangle > Médianes et centre de gravité), et M se projette aux milieux de [AB] et de [AC] (ABM et ACM sont des triangles isocèles). Le point G se projette par conséquent au tiers de [AB] et de [AC] :

\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).

Autres propriétés

Pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 3, on peut toujours trouver un triangle rectangle dont la longueur d'un côté de l'angle droit est n et la longueur des deux autres côtés sont des nombres entiers. En effet :

Voir aussi

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