Triangle

En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, constituée par trois points et par les trois segments qui les relient.



Catégories :

Mathématiques élémentaires - Géométrie du triangle - Polygone

Recherche sur Google Images :


Source image : maths.ac-aix-marseille.fr
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Définitions :

  • (Géométrie) En géométrie euclidienne, polygone qui a trois côtés, et par conséquent trois sommets; Objet de forme triangulaire; Instrument à ... (source : fr.wiktionary)
Un triangle.

En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, constituée par trois points et par les trois segments qui les relient. L'expression de «triangle» est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux constitués par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle, les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles.

Le triangle est une figure géométrique élémentaire, à l'instar du point, de la droite ou du cercle. Il forme depuis l'Antiquité une réserve inépuisable de propriétés, d'exercices et de théorèmes mathématiques de difficultés variées. La majorité des propriétés et définitions énoncées dans cet article étaient déjà énoncées, à peu près 300 ans avant Jésus-Christ, dans les Éléments d'Euclide.

Pour l'étude du triangle dans d'autres géométries, voir Triangle (géométries non euclidiennes) .

Conventions d'écriture

Un triangle appelé ABC

Les points intéressants d'une figure géométrique, tels que les sommets d'un polygone, sont généralement désignés par des lettres latines majuscules :''A, B, C, ... Un triangle est alors appelé, comme tout autre polygone, en donnant successivement le nom de ses sommets, par exemple ABC. L'ordre de citation des sommets n'a pas d'importance, car l'ensemble des segments dont ces sommets sont les extrémités sont des côtés du triangle.

Les côtés du triangle, précisément, sont dénommés, comme l'ensemble des segments, par leurs extrémités : AB, BC, et AC dans notre exemple. Pour nommer la longueur d'un côté, on utilise généralement le nom du sommet opposé, converti en minuscule latine : a pour BC, b pour AC, c pour AB.

La notation générale pour l'angle entre deux segments OP et OQ partageant l'extrémité O est \widehat{POQ} .\,

On peut aussi utiliser une lettre minuscule, grecque le plus fréquemment, surmontée d'un accent circonflexe (en toute rigueur, les grandeurs devraient être désignées par des majuscules et leur mesure par des minuscules, mais on recourt fréquemment aux mêmes noms pour les deux afin d'alléger les notations). Dans le cas d'un triangle, l'angle entre deux côtés peut toujours, par tolérance et en l'absence d'ambiguïté, être désigné par le nom du sommet commun surmonté d'un accent circonflexe. Bref, dans notre exemple, nous pouvons noter les angles :

\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,

Si on tolère de confondre un angle et sa mesure dans les énoncés ou les calculs, la notation correcte est par exemple :

( \widehat{ABC} ) = 40 °.

Nous utiliserons ces notations dans cet article.

Propriétés élémentaires

Un quadrilatère, avec ses diagonales
Un tétraèdre

Un triangle peut être défini comme un polygone à trois côtés, ou encore comme un polygone à trois sommets.

Après le point et le segment, le triangle est la figure polygonale la plus simple. C'est l'unique polygone qui ne possède pas de diagonale propre. Dans l'espace, trois points non alignés définissent un triangle (et un plan). A contrario, si quatre points coplanaires forment un quadrilatère, quatre points non coplanaires ne définissent pas un polygone, mais un tétraèdre :

D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une triangulation de ce polygone. Le nombre minimal de triangles indispensable à ce découpage est n − 2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est principale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du théorème de Pick.

Longueurs des côtés et inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. C'est à dire, dans un triangle ABC, les trois inégalités suivantes sont vérifiées :

BC\leqslant BA+AC ,\ AB\leqslant AC+CB \ \ et \ \ AC\leqslant AB+BC

Cette propriété est caractéristique des triangles. Réciproquement, étant donnés trois nombres réels positifs a, b et c, si les trois inégalités :

a\leqslant b+c ,\ b\leqslant a+c \ \ et \ \ c\leqslant a+b

sont vérifiées, alors il existe un triangle dont les côtés mesurent a, b et c.

Inversement, pour vérifier qu'il existe un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c, il suffit en pratique de vérifier une seule des trois inégalités, celle où le plus long côté est à gauche de l'inégalité (ainsi, si max (a, b, c) = a , alors l'unique inégalité à vérifier est :  a\leqslant b+c ).

Le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire sert à caractériser les points d'un segment : M est un point du segment [AB] si et uniquement si : AM + MB = AB.

Enfin, la somme des longueurs des trois côtés d'un triangle est son périmètre.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle est 180°.

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° ce qui équivaut à π radians.

Euclide avait démontré ce résultat dans ses Éléments (proposition I-32) de la manière suivante : traçons la parallèle à la droite (AB) passant par C. Étant parallèles, cette droite et la droite (AB) forment avec la droite (AC) des angles égaux, codés en rouge sur la figure ci-contre (angles alternes-internes). De la même façon, les angles codés en bleu sont égaux (angles correspondants). D'autre part, la somme des trois angles de sommet C est l'angle plat. Par conséquent la somme des mesures d'un angle rouge, d'un angle vert et d'un angle bleu est 180° (ou π radians). La somme des mesures des angles du triangle est par conséquent 180°.

Cette propriété est un résultat de géométrie euclidienne. Elle n'est pas vérifiée généralement en géométrie non euclidienne.

Typologie des triangles

Quand les trois sommets d'un triangle sont alignés, on parle de triangle aplati. Il est équivalent de dire qu'un angle du triangle est plat (il mesure alors 180°) ou que deux angles du triangle sont nuls (ils mesurent 0°).

Les triangles admettant deux angles droits (de 90°) et un angle nul (de 0°) sont qualifiés de triangles en aiguille (cas spécifique de triangle aplati). C'est un cas limite, car les angles droits ne sont pas correctement définis.

Dans tous ces cas, on parle de triangles dégénérés. Dans la suite de cet article, on suppose que les triangles ne sont pas dégénérés. Dans le cas des triangles dégénérés, de nombreuses propriétés usuelles des triangles sont fausses ou triviales.

Classement selon le type d'angles

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, un triangle ne peut pas comporter deux angles droits (mesurant 90°) ou obtus (mesurant plus de 90°). Il a par conséquent au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :

Classement suivant les symétries

Les triangles peuvent se classer suivant plusieurs types de symétries :

En réalité, tous ces classements sont équivalents.

Le triangle isocèle

Triangle isocèle

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

Dans ce cas le triangle est dit isocèle. (On peut aussi dire isoangle). Isocèle du grec iso = même et scèle = jambe

Quand un triangle ABC est tel que AC = AB (les deux côtés d'extrémité A sont égaux), alors on dit que le triangle est isocèle de sommet A et que A est le sommet principal du triangle. Le côté [BC], opposé à A, est nommé base du triangle.

Quand un triangle est isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi la médiatrice et la médiane du côté [BC] et la bissectrice de l'angle en A.

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui, quand il est «coupé» en deux par la bissectrice d'un de ses angles, forme deux triangles isocèles eux aussi. Il n'y a que deux cas de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle[1].

Un triangle isocèle peut aussi se trouver dans la figure constituée par un parallélogramme et ses diagonales : dans un rectangle, dans un losange ou dans un parallélogramme où la longueur d'un des côtés est la même que celle de la moitié d'une des diagonales.

Triangle équilatéral ou régulier

Article détaillé : Triangle équilatéral.
Triangle équilatéral

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

Dans ce cas le triangle est dit équilatéral, ou équiangle, ou isopleure.

Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°.

Pour déterminer un triangle équilatéral, on peut :

D'autre part, l'ensemble des droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.

Le rapport entre la hauteur et le côté d'un triangle équilatéral est égal à \frac{\sqrt{3}}{2}, soit à peu près 0, 866.

Le triangle équilatéral est celui qui présente la plus grande aire pour un périmètre donné. Ainsi, le triangle de plus grande aire et de périmètre égal à 3 est le triangle équilatéral de côté 1. Cette propriété est analysée dans l'article Isopérimétrie.

Triangle scalène ou irrégulier

Triangle scalène

Un triangle scalène (du grec skalenos : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique... ) est un triangle dont :

Les trois définitions ci-dessus sont équivalentes. Un tel triangle n'est évidemment ni isocèle ni équilatéral, mais il peut être rectangle.

Triangle rectangle

Article détaillé : Triangle rectangle.

Quand un triangle présente un angle droit (mesurant 90°) on parle de triangle rectangle.

Parmi les nombreuses propriétés du triangle rectangle, citons le fameux Théorème de Pythagore : «Un triangle admet un angle droit si et uniquement si le carré de la longueur d'un de ses côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.»

Triangle 3-4-5

Le'triangle 3-4-5 est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés forment une progression  ( 3 , 4 , 5 ) \,. On peut remarquer que 5² = 3² + 4² (soit 25 = 9 + 16)  : comme ce triangle vérifie la relation du théorème de Pythagore on peut en déduire qu'il est rectangle.

Ce cas spécifique d'un triangle rectangle est connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser avec une corde à treize nœuds : on l'utilisait pour tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi «triangle des arpenteurs».

Triangle de l'écolier.

Le triangle 30-60-90 est un triangle rectangle dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°, c'est-à-dire forment une progression ( 1 , 2 , 3 ) \,. Les longueurs des côtés forment quant à eux une progression ( 1 , \sqrt{3} , 2 ) \,.

Ce triangle est quelquefois aussi nommé «triangle de l'écolier» : les équerres d'écolier ont quelquefois cette forme. On parle aussi de «triangle hémi-équilatéral». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

Triangle rectangle isocèle.

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle. Dans ce cas, il l'est au même sommet. Ses deux angles aigus mesurent 45° (ou π/4 rad).

C'est le triangle obtenu en divisant un carré en deux suivant une diagonale, d'où le nom du triangle : «demi-carré».

Éléments remarquables du triangle

Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiquées ci-dessous, mais également les segments de ces droites intérieurs au triangle.

Médianes et centre de gravité

Article détaillé : Médiane (géométrie) .

On nomme médiane d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires identiques.

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection G est appelé centre de gravité du triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant précisément sur ce point G.

Médianes et centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité du triangle est aussi l'isobarycentre de ses sommets A, B et C, défini par la relation vectorielle :

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.

Si I sert à désigner le milieu du côté [BC] on a la relation vectorielle :

\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AI}.

En effet, si I est l'isobarycentre de B et de C pondérés par des masses unité, alors par associativité G est le barycentre de I pondéré d'une masse 2 et de A pondéré d'une masse 1.

Cette relation s'applique aussi aux deux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu de leur côté opposé.

Si I, J et K désignent respectivement les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB], alors le triangle IJK est nommé triangle médian du triangle ABC.

Médiatrices et cercle circonscrit

Article détaillé : Cercle circonscrit à un triangle.
Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

On nomme médiatrice d'un triangle chacune des médiatrices de ses côtés [AB], [AC] et [BC].

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point Ω équidistant des trois sommets. Le cercle de centre Ω et de rayon ΩA passe par chacun des trois sommets du triangle : c'est le cercle circonscrit au triangle. Tout triangle est par conséquent un polygone inscriptible.

Remarques :

Propriété :

Bissectrices et cercle inscrit

Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.

Les bissectrices d'un triangle sont les trois bissectrices intérieures de ses angles.

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point O. Le cercle inscrit au triangle est l'unique cercle tangent aux trois côtés du triangle et tout entier inclus dans le triangle. Il a pour centre le point O qui est par conséquent le centre du cercle inscrit au triangle.

Hauteurs et orthocentre

Article détaillé : Hauteurs d'un triangle.
Hauteurs et orthocentre d'un triangle

On nomme hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. L'intersection de la hauteur et du côté opposé se nomme «pied» de la hauteur. Ces 3 hauteurs se coupent en un point unique H nommé orthocentre du triangle.

Remarques :

Droite et cercle d'Euler

Articles détaillés : Droite d'Euler et Cercle d'Euler.

Les trois points H, G et Ω sont alignés sur une droite nommée droite d'Euler du triangle et vérifient la relation d'Euler :

 \Omega H = 3 \Omega G \,

D'autre part les milieux des trois côtés, les trois pieds des hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler ou cercle des neufs points du triangle.

Droite et cercle d'Euler d'un triangle.

Propriétés métriques du triangle

Aire d'un triangle

Article détaillé : Aire d'un triangle.

L'aire d'un triangle est l'aire de la portion du plan qu'il enferme. Il existe plusieurs manières de la calculer, selon les informations dont on veut partir.

Calcul à partir d'une hauteur

L'aire d'un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle il est immédiat que son aire est

S = \dfrac{ah}{2},

a est la longueur d'un côté différent de l'hypoténuse et h la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).

À partir des longueurs des trois côtés

Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c et p le demi-périmètre [p=\dfrac{a+b+c}{2}], on peut utiliser la formule de Héron :

Aire = \dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

À partir des coordonnées des sommets

L'aire d'un triangle est calculé à partir d'un parallélogramme.

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} est la norme de leur produit vectoriel :

 S_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\| .

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

 S = \dfrac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|.

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par A (xA, yA) , B (xB, yB) et C (xC, yC) , alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

S=\dfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| = \dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)( y_C-y_A) - (x_C-x_A) (y_B-y_A)|.

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

S=\dfrac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \dfrac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.

Cette méthode se généralise en trois dimensions. L'aire du triangle ABCA = (xA, yA, zA) , B = (xB, yB, zB) et C = (xC, yC, zC) s'exprime comme

S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)ˆ2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)ˆ2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)ˆ2 }.

Relations métriques dans un triangle

Article détaillé : Résolution d'un triangle.

Notations :

p sert à désigner le demi-périmètre du triangle :  p = \dfrac12 (a+b+c) ;
S sert à désigner l'aire de la surface du triangle ;
R sert à désigner le rayon du cercle circonscrit ;
h sert à désigner la hauteur relative au côté BC de longueur a ;
r sert à désigner le rayon du cercle inscrit ;
Avec \hat A + \hat B + \hat C = \pi, les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation en géodésie et astronomie.

Triangles isométriques, triangles identiques

On dit que deux triangles sont isométriques quand il existe une isométrie (c'est-à-dire une translation, une rotation, une symétrie ou une composée de telles transformations) qui transforme l'un en l'autre. Cela correspond à des triangles «superposables». Cette première définition est équivalente à chacune des trois suivantes :

Deux triangles sont qualifiés de semblables quand il existe une similitude (qui est la composée d'une isométrie et d'une homothétie) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à :

ou encore à :

Deux triangles isométriques sont toujours identiques. Deux triangles équilatéraux (non obligatoirement isométriques) aussi.

Dans l'espace

polyèdres à faces triangulaires
Polyèdres à faces triangulaires

Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces qui sont des triangles équilatéraux, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit faces, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...

Histoire

Problèmes R49->R55 du papyrus Rhind

Aucun document mathématique de l'Ancien Empire ne nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale des IIIe et IVe dynastie forme une preuve remarquable que les égyptiens de cette époque détenaient des connaissances assez élaborées en géométrie, et surtout dans l'étude des triangles.

figure du triangle représentée dans le problème R51 du papyrus Rhind

Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du papyrus Rhind, M4, M7 et M17 du papyrus de Moscou et datant tous du Moyen Empire. Le problème R51 forme, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

Énoncé du problème R51 du papyrus Rhind[2] 
«Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit : Un triangle de 10 khet sur son mryt et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie.»

Le terme mryt veut dire certainement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution[3]. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle constitué par ce côté et la hauteur, soit

A = \frac{base}{2}{mryt}

équivalente à la formule générale utilisée aujourd'hui :

S = \frac{ah}{2}

Le fait qu'un triangle de côtés 3-4-5 soit rectangle était aussi connu des anciens Égyptiens et Mésopotamiens.

Euclide, dans le livre I de ses Éléments, vers 300 av. J. -C, décrit la propriété sur la somme des angles du triangle et les trois cas d'égalité des triangles (voir ci-dessus le paragraphe sur les triangles isométriques).

Bibliographie

Notes

  1. démonstration
  2. A. Buffum Chace, Rhind papyrus, pl. 73.
  3. C. Marshall, Ancient Egyptian Science, p. 70

Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu