Transformée de Stieltjes

En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie hors de cet intervalle par la formule ...



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En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie hors de cet intervalle par la formule :

S_{\rho}\left(z\right)=\int_I\frac{\rho\left(t\right)}{z-t} \, \mathrm dt.

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. A titre d'exemple, si la densité ρ est continue sur I, on aura au sein de cet intervalle :

\rho\left(x\right)=\lim_{\varepsilon \to 0ˆ{+}}\, \frac{S_{\rho}\left(x-i\varepsilon\right)-S_{\rho}\left(x+i\varepsilon \right)}{2i\pi}

Relations avec les moments de la mesure

Si la mesure de densité ρ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier par l'égalité :

c_n = \int_I tˆn \cdot \rho\left(t\right)\,\mathrm dt,

alors la transformée de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'illimité :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{k=0}ˆ{n}\frac{c_k}{zˆ{k+1}}+o\left(\frac{1}{zˆ{n+1}}\right).

Sous certaines conditions on obtient le développement en série entière :

S_{\rho}\left(z\right)=\sum_{n=0}ˆ{\infty}\frac{c_n}{zˆ{n+1}}.

Relations avec les polynômes orthogonaux

Article détaillé : Mesures secondaires.

La correspondance \left(f,g\right) \mapsto \int_I f\left(t\right)g\left(t\right) \, \mathrm dt définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.

Si n \mapsto P_n sert à désigner une suite orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, on lui associe la suite des polynômes secondaires définis par la relation :

Q_n\left(x\right)=\int_I \frac{P_n \left(t\right)-P_n \left(x\right)}{t-x}\rho\left(t\right)\, \mathrm dt.

On montre tandis que la fraction F_n\left(z\right)=\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)} est un approximant de Padé de S_{\rho}\left(z\right) au voisinage de l'infini, au sens que :

S_\rho\left(z\right)-\frac{Q_n\left(z\right)}{P_n\left(z\right)}=O\left(\frac{1}{zˆ{2n}}\right)

Les deux suites de polynômes satisfaisant à une même relation de récurrence à trois termes successifs, on peut en déduire aisément un développement en fraction continue de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn (z) .

La transformée de Stieltjes se révèle aussi un outil précieux pour construire à partir de ρ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.

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