Transformée de Stieltjes
En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie hors de cet intervalle par la formule ...
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- Si on considère H l'espace des fonctions de classe C2 sur [0, 1], d'intégrale nulle sur cet intervalle, et la transformée de Stieltjes S définie par :, ... (source : pagesperso-orange)
- Montrer qu'alors Sν = Lm, puis que le logarithme de la transformée de Stieltjes, lnSν est aussi une fonction convexe.... (source : mmfai.ens)
En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure de densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie hors de cet intervalle par la formule :
.
Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. A titre d'exemple, si la densité ρ est continue sur I, on aura au sein de cet intervalle :
Relations avec les moments de la mesure
Si la mesure de densité ρ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier par l'égalité :
,
alors la transformée de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'illimité :
.
Sous certaines conditions on obtient le développement en série entière :
.
Relations avec les polynômes orthogonaux
La correspondance définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.
Si sert à désigner une suite orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, on lui associe la suite des polynômes secondaires définis par la relation :
.
On montre tandis que la fraction est un approximant de Padé de
au voisinage de l'infini, au sens que :
Les deux suites de polynômes satisfaisant à une même relation de récurrence à trois termes successifs, on peut en déduire aisément un développement en fraction continue de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn (z) .
La transformée de Stieltjes se révèle aussi un outil précieux pour construire à partir de ρ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.
Voir aussi
- Polynômes orthogonaux ;
- Polynômes secondaires ;
- Mesures secondaires ;
- Approximant de Padé.
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