Topologie

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues.



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Définitions :

  • Classification de l'espace, même si ce n'est qu'un plan ou une droite, et étude de ses déformations; Ensemble des ouverts d'un espace... (source : fr.wiktionary)
  • étude des propriétés géométriques se conservant par déformation continue; généralisation aux notions de limite et de voisinage; Suite en ... (source : villemin.gerard.free)
un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie.

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).

Pour la structure formelle de topologie, voir Espace topologique.

Étymologie

Le mot «topologie» vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement «lieu» et «étude». Littéralement, la topologie veut dire l'«étude du lieu». Elle s'intéresse par conséquent à définir ce qu'est un lieu (appelé aussi «espace») et quelles peuvent en être les propriétés. Une ancienne appellation fut analysis situs, c'est-à-dire «l'étude du lieu».

La topologie s'intéresse plus exactement aux espaces topologiques ainsi qu'aux applications qui les lient, dites «continues».

Elle sert à classer ces espaces, surtout les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être autant nulle qu'illimitée).

Elle s'intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu'elle apporte sur l'espace reconnu, elle permet d'obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d'équations différentielles, surtout).

Les espaces métriques mais aussi les espaces vectoriels normés sont des exemples d'espaces topologiques.

Principes fondateurs

Le concept central en topologie est la notion de limite. Prenons l'exemple d'une surface fermée, un disque par exemple. D'un strict point de vue ensembliste, il y a les points qui sont dans le disque et ceux qui ne sont pas dedans. Pourtant, ce point de vue n'est pas satisfaisant géométriquement. Les points qui sont sur le cercle délimitant le disque ont un statut spécifique, ils sont à la limite. D'ailleurs, au moment de la définition d'un disque, on a un choix à faire : Lorsque on parle du disque, considère-t-on la totalité des points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon ou considère-t-on la totalité des points dont la distance au centre est strictement inférieure au rayon ? Dans le premier cas, on dit que le disque est fermé, dans le second cas, on dira que le disque est ouvert. D'une façon plus générale, on dira qu'une surface est fermée quand elle contient tous ses points limites et qu'elle est ouverte si elle n'en contient aucun.

Cette idée de limite est particulièrement visuelle. La topologie va chercher à formaliser cette notion. Il y a plusieurs moyens d'y parvenir. La façon la plus simple est de définir une distance. Dans notre exemple, on utilise la bonne vieille distance euclidienne. Les points limites sont ceux qui sont proches (c'est-à-dire à une distance aussi faible que désirée) à la fois de points dans notre surface et de points qui ne sont pas dedans. Définir une distance sur un ensemble lui confère une structure d'espace métrique. Cette façon de voir est suffisante pour résoudre de nombreux problèmes. Cependant, utiliser une distance passe par l'intermédiaire des nombres réels et introduit par conséquent une contrainte qu'il a fallu dépasser. Pour cela, on a été amené de définir le concept de proximité de façon plus abstraite, sans faire appel à un argument numérique, c'est le concept de voisinage. Pour des raisons techniques, il est équivalent et plus simple de définir directement les ouverts avant les voisinages, c'est par conséquent mais aussi on définit habituellement une topologie : en décidant quelles sont les parties ouvertes.

La notion de limite n'est pas uniquement statique mais également dynamique. La topologie permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites. Regardons la suite des inverses des nombres entiers à partir de 1 : 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/n, ...∼. A la limite, cette suite va tendre vers 0. Cela rejoint plus ou moins le fait que 0 est un point limite de la totalité des 1/n∼.

Il est important de noter que la majorité des notions de topologie, surtout la continuité sont des conséquences de la notion de limite. C'est le cas surtout de la notion de dérivée qui se conçoit comme limite du taux d'acroissement, de la tangente qui est la limite des cordes.

La topologie est par conséquent une théorie particulièrement unificatrices : elle explique avec particulièrement peu d'axiomes initiaux la plupart de phénomènes.

Branche de la topologie

La topologie générale étudie les notions principales de la topologie. On y recherche la plus grande simplicité et la plus grande généralité. Cela oblige à une certaine abstraction.

Pour comprendre les notions abstraites de la topologie générale, il est indispensable de connaitre déjà de nombreux exemples issus de la géométrie ou de l'analyse. Limite d'une suite, limite d'une fonction, convexité, distance sont des notions qui permettent d'entrer dans la théorie.

L'idée de la topologie algébrique consiste à associer à différents espaces des invariant de façon à pouvoir les classifier. Les premiers invariants découverts étaient numériques. Actuellement ces invariants sont des structures algébriques, groupes, anneaux, le plus fréquemment. Les correspondances entre espaces et objets sont des foncteurs et la théorie des catégorie simplifie quelquefois la compréhension de celles-ci.

Voici entre autres, le groupe essentiel et l'homologie singulière.

La géométrie différentielle étudie les variétés différentielles mais aussi leurs plongements dans des espaces euclidiens.

Histoire

Leonhard Euler, en 1736, étudia le problème des sept ponts de Königsberg. Ce fut le point de départ de la topologie moderne.

L'origine de la topologie est l'étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est reconnu comme l'un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d'aucune mesure, c'est-à-dire l'un des premiers résultats topologiques.

Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie.

Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d'autres, introduit le concept d'espace métrique en 1906.

En 1914, Felix Hausdorff, généralementisant la notion d'espace métrique, inventa le terme d'«espace topologique» et définit ce qui se nomme actuellement l'espace scindé ou espace de Hausdorff.

Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique.

Le terme «topologie», fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie.

Voir aussi

Glossaire

Voir l'article annexe : Glossaire topologique.

Lien externe

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