Théorie des nombres

Habituellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs,...



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Habituellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient énormément de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. D'une façon plus générale, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place spécifique en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Jürgen Neukirch  :

«La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position parfaitisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences.»[1]

Le terme «arithmétique» est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu — c'est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des dispositifs formels.

La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude suivant les méthodes utilisées et des questions traitées.

Les diverses branches de la théorie des nombres

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; mais aussi les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci.

Énormément de questions en principe élémentaire des nombres apparaissent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches, tels les exemples suivants :

La théorie des équations diophantiennes a même été montrée comme étant indécidable.

Article détaillé : problèmes de Hilbert.

La théorie analytique des nombres

La théorie analytique des nombres emploie l'outillage du calcul illimitétésimal et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c'est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc. ), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver une illimitété de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Alors que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être retirés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs envisageables de polynômes à cœfficients entiers évalué à , disons, e; ils sont aussi reliés résolument au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche «de quelle façon correcte» un nombre réel donné peut être approché par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans la théorie algébrique des nombres, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des cœfficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c'est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres.

Énormément de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour l'ensemble des nombres premiers p.

Article détaillé : corps fini.

Ceci est nommé localisation et mène à la construction des nombres p-adiques ; ce champ d'étude est nommé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Habituellement nommée géométrie des nombres, la théorie géométrique des nombres incorpore l'ensemble des formes de la géométrie. Elle débute avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et particulièrement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie combinatoire des nombres

La théorie combinatoire des nombres s'occupe des problèmes de théorie des nombres qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. Paul Erdős est le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent le dispositif de couverture, les problèmes à somme zéro, diverses sommes d'ensembles restreintes et des progressions arithmétiques dans la totalité des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie surtout les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Les algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est , de fait, un sujet particulièrement sensible.

Histoire de la théorie des nombres

Civilisation védique

Les mathématiciens de l'Inde se sont intéressés à la recherche de solutions intégrales solutions d'équations diophantiennes depuis la période védique. L'usage géométrique le plus ancien des équations diophantiennes peut être retracé dans les Sulba Sutras, qui ont été écrits entre le VIIIe et le VIe siècle av. J. -C. Baudhayana (env. 800 avant JC) trouva deux ensembles de solutions intégrales positives à un dispositif d'équations diophantiennes, et utilisa aussi les dispositifs d'équations diophantiennes à quatre inconnues. Apastamba (env. 600 avant JC) utilisa les dispositifs d'équations diophantiennes à cinq inconnues.

Époque jaïna

En Inde, les mathématiciens de l'époque jaïna développèrent une théorie des nombres systématique du IVe siècle av. J. -C. jusqu'au IIe siècle av. J. -C. Le texte Surya Prajinapti (env. 400 avant JC) classe l'ensemble des nombres en trois ensembles : énumérables, non énumérables et illimité. Chacun de ces trois ensembles était divisé plus avant en trois ordres :

Les mathématiciens de l'époque jaïna furent les premiers à écarter l'idée que l'ensemble des illimités sont les mêmes ou égaux. Ils reconnurent cinq types différents d'illimité : illimité dans une ou deux directions (une dimension), illimité en surface (deux dimensions), illimité partout (trois dimensions), et illimité perpétuellement (dans un nombre illimité de dimensions).

Le nombre énumérable le plus haut N des ouvrages jaïnas correspond au concept moderne de aleph-zéro \aleph_0 (le nombre cardinal de la totalité illimité des entiers 1, 2, ... ), le plus petit nombre transfini cardinal. Les mathématiciens de cette époque ont défini aussi un dispositif entier de nombres cardinaux transfinis, dans lequel notre \aleph_0 est le plus petit.

Dans le travail sur la théorie des ensembles, deux types de nombres transfinis de base ont été distingués. Pour des raisons à la fois physiques et ontologiques, une distinction fut faite entre asmkhyata et ananata, entre illimité rigidement lié et illimité pauvrement lié.

Civilisation grecque

La théorie des nombres fut une étude favorite parmi les mathématiciens grecs d'Alexandrie, Égypte à partir du IIIe siècle av. J. -C. , qui eurent conscience du concept d'équation diophantienne dans de nombreux cas spécifiques. Le premier mathématicien hellène à étudier ces équations fut Diophante.

Diophante a aussi recherché une méthode pour trouver les solution entières pour les équations indéterminées linéaires, équations pour lesquelles il manque une information suffisante pour produire un ensemble unique de réponses discrètes. L'équation x + y = 5\, est une telle équation. Diophante a découvert que énormément d'équations indéterminées peuvent être ramenées à une forme où une certaine catégorie de solutions est connue tandis qu'une solution spécifique ne l'est pas.

L'époque classique en Inde

Les équations diophantiennes furent étudiées de manière intensive par les mathématiciens indiens de la période médiévale, qui furent les premiers à chercher toujours des méthodes pour la détermination de solutions intégrales d'équations diophantiennes. Aryabhata (en 499) donna la première description explicite de la solution intégrale générale de l'équation diophantienne linéaire ay + bx = c\,, qui apparaît dans son texte Aryabhatiya. Cet algorithme kuttaka est reconnu comme étant l'une des contributions les plus significatives d'Aryabhata en mathématiques pures, qui trouva les solutions d'équations diophantiennes en termes de fractions continues. La technique fut appliquée par Aryabhata pour donner les solutions intégrales d'un dispositif d'équations diophantiennes linéaires, un problème avec d'importantes applications en astronomie. Il trouva aussi la solution générale de l'équation linéaire indéterminée en utilisant cette méthode.

Brahmagupta en 628 manipula des équations diophantiennes plus complexes. Il utilisa la méthode chakravala pour résoudre les équations diophantiennes quadratiques, incluant des formes de l'équation de Pell-Fermat, telle que 61xˆ2 + 1 = yˆ2\,. Son Brahma Sphuta Siddhanta fut traduit en arabe en 773 et fut traduit plus tard en Latin en 1126. L'équation 61xˆ2 + 1 = yˆ2\, fut plus tard posée comme un problème en 1657 par le mathématicien français Pierre de Fermat. La solution générale de cette forme spécifique d'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 70 ans plus tard par Leonhard Euler, alors que la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut trouvée plus de 100 ans plus tard par Joseph Louis Lagrange en 1767. En attendant, il y a énormément de siècles de cela, la solution générale de l'équation de Pell-Fermat fut enregistrée par Bhaskara II en 1150, utilisant une version modifiée de la méthode chakravala de Brahmagupta, qu'il utilisa aussi pour trouver la solution générale d'autres équations quadratiques intermédiaires indéterminées et des équations diophantiennes quadratiques. La méthode chakravala de Bhaskara pour trouver la solution générale de l'équation de Pell-Fermat était plus simple que la méthode utilisée par Lagrange 600 ans plus tard. Bhaskara trouva aussi des solutions pour d'autres équations indéterminées quadratiques, cubique, quartique et des équations polynômiales de degré plus élevés. Narayana Pandit peaufina toujours la méthode chakravala et trouva plus de solutions générales pour les autres indéterminées quadratiques mais aussi pour les équations polynômiales de degré plus élevés.

La civilisation islamique

À partir du IXe siècle, les mathématiciens islamiques portèrent un vif intérêt a la théorie des nombres. Le premier de ces mathématiciens fut le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra, qui découvrit un théorème qui permettait de trouver des paires de nombres amiables, c'est-à-dire deux nombres qui sont chacun la somme des diviseurs propres de l'autre.

Au Xe siècle, Al-Baghdadi découvrit une légère variante du théorème de Thabit ibn Qurra. Al-Haitham semble avoir été le premier à tenter de classer l'ensemble des nombres parfaits pairs (nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres) comme ceux de la forme 2ˆ{k-1}(2ˆk - 1)\,2ˆk - 1\, est premier. Al-Haytham est aussi la première personne à avoir établi le théorème de Wilson, concrètement que si p est premier alors 1+(p-1)!\, est divisible par p\,. Le fait n'est pas éclairci s'il savait comment démontrer ce résultat. Ce théorème porte le nom de théorème de Wilson à cause d'un commentaire fait par Edward Waring en 1770 dont John Wilson avait noté le résultat. John Wilson indique à Waring qu'il ne sait pas démontrer ce résultat, Waring ne trouve pas non plus de preuve. Néenmoins la première démonstration connue provient de Leibniz, qui ne juge pas utile de la publier, et Euler en avait publié une preuve.

Les nombres amiables ont joué un grand rôle dans les mathématiques islamiques. Au XIIIe siècle, le mathématicien perse Al-Farisi donna une nouvelle démonstration du théorème de Thabit ibn Qurra, introduisant de nouvelles idées concernant la décomposition et les méthodes combinatoires. Il donna aussi la paire de nombre amiables 17 296, 18 416 qui ont été attribués à Euler, mais nous savons que ceux-ci étaient connus plus tôt que Al-Farisi, peut-être même par Thabit ibn Qurra lui-même. Au XVIIe siècle, Muhammad Baqir Yazdi donna la paire de nombres amiables 9 363 584 et 9 437 056 toujours bien avant avant la contribution d'Euler.

Début de la théorie des nombres en Europe

La théorie des nombres en Europe débute aux XVIe et XVIIe siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac et en particulier Fermat. Au XVIIIe siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798) et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticæ (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres débute.

Tchebychev (1850) donna des limites particulièrement utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros.

L'arithmétique modulaire a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticæ de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant :

a \equiv b \pmod c \;

et explora la plus grande partie de ce domaine. Il généralise la théorie à d'autres anneaux de celui des entiers relatifs et découvre le premier ensemble d'entiers algébriques : les entiers de Gauss. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa.

A côté du travail résumé auparavant, Legendre établit les premiers cas d'application loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer).

On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par des formes quadratiques binaires. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith, on doit une avancée remarquable dans la théorie des formes généralement. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith.

Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, à cause des efforts énormes, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant :

xˆn+yˆn=zˆn\,\!.

Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas spécifique n = 4. Euler, en 1753, le démontra presque pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain (cf Démonstrations du dernier théorème de Fermat). Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Ces différents cas sont résolus avec structure d'anneaux euclidien de la même nature que les entiers de Gauss, ce sont les anneau d'entiers d'Eisenstein et d'entiers de Dirichlet. Kummer en 1847 prouve le théorème quand l'exposant n est un nombre premier régulier, et ouvre la théorie de idéaux. À la fin du XIXe et au début du XXe siècle, les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, le japonais Taniyama émet l'hypothèse d'un lien profond entre les courbes elliptiques rationnelles et les formes modulaires, deux domaines a priori particulièrement éloignés des mathématiques. Ribet, prouvant une conjecture de Serre, montre que cette conjecture de Shimura-Taniyama-Weil a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera une portion suffisante de cette conjecture en 1994, avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème.

Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre George B. Mathews, sa'Théorie des nombres (Part I, 1892) 'est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Bibliographie

Références

  1. Introduction à l'ouvrage Cohomology of number fields. «Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.»

Voir aussi

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