Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.



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La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.

La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est reconnue comme une théorie principale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un «paradis» créé par Cantor pour les mathématiciens.

En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et surtout l'idée qu'il existe plusieurs types d'illimité qu'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux).

À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée. Cantor ne l'avait pas vraiment formalisée, et au début du XXème siècle, la découverte de paradoxes tels que le paradoxe de Russell semblait en remettre en cause les principes. Pour résoudre ces problèmes, on adopta une approche formelle qui conduisit à plusieurs dispositifs axiomatiques, le plus connu étant les axiomes de ZF, mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russell.

Les origines de la théorie des ensembles

Génèse

Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles qu'il a introduite au début des années 1880. C'est en œuvrant sur des problèmes de convergence des séries trigonométriques, dans les années 1870, qu'il a été amené à définir une notion de dérivation des ensembles de nombres réels : étant donné un ensemble X de réels, son dérivé X' est X duquel on a supprimé l'ensemble des points isolés. Par exemple si on prend la totalité X = \{1/n, n\in\mathbb{N}ˆ*\}\cup\{0\} alors chaque nombre 1 / n est isolé dans X si bien que X' est simplement {0}. Ce dernier ensemble peut à son tour se dériver et son dérivé est la totalité vide.

Si désormais on prend Y = \{1/n + 1/p, n<p\in\mathbb{N}ˆ*\}\cup\{1/n,n\in\mathbb{N}ˆ*\}\cup\{0\} alors chaque 1 / n + 1 / p est isolé dans Y si bien que le dérivé Y' est X. On voit par conséquent que cet ensemble Y peut se dériver trois fois.

En itérant ce procédé on peut ainsi construire un ensemble X de réels qui se dérive une illimitété de fois au sens suivant : si on note X (n) le n-ième dérivé de X alors les X (n) forment une suite décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles ; le dérivé illimité de X est l'intersection de l'ensemble des X (n) qu'on note Xˆ{(\infty)}. Mais cela ne s'arrête pas là : Cantor a découvert l'existence d'ensembles de réels tels que Xˆ{(\infty)} contient des points isolés, par conséquent est toujours dérivable. Il y a ainsi des ensembles qu'on peut dériver une illimitété + 1 fois, une illimitété + 2 fois, ..., 2 illimitétés de fois, etc. Il semblait par conséquent exister une arithmétique de l'infini et c'est en explicitant celle-ci que Cantor a développé la théorie des ensembles.

L'idée principale a été de définir l'équipotence : deux ensembles A et B sont équipotents, ou ont même cardinalité (même nombre d'éléments lorsqu'il s sont finis), s'il existe un moyen d'associer à chaque élément de A un et un seul élément de B et vice versa. On peut ainsi démontrer que la totalité \mathbb{N}\, des entiers naturels a la même cardinalité que la totalité \mathbb{Q}\, des nombres rationnels, quoique \mathbb{N}\, soit un sous-ensemble propre de \mathbb{Q}\,. Ces deux ensembles sont dits illimités dénombrables. D'un autre côté, la totalité \mathbb{R}\, des nombres réels n'a pas la même cardinalité que \mathbb{N}\, ou \mathbb{Q}\,, mais une cardinalité supérieure qu'on nomme la puissance du continu. Cantor a donné deux preuves que \mathbb{R}\, n'est pas dénombrable, et la seconde, qui utilise un argument connu sous le nom d'argument de la diagonale de Cantor, a été extragénéralement influente et a eu de nombreuses et diverses applications en logique et en mathématiques.

Cantor a approfondi la théorie et a construit des hiérarchies illimitées d'ensembles illimités, les nombres ordinaux et les nombres cardinaux. Ces constructions étaient controversées à son époque, l'opposition étant conduite par le finitiste Léopold Kronecker ; mais actuellement elles sont acceptées par la majorité des mathématiciens.

Et développement

La notion de cardinal d'un ensemble a conduit Cantor a poser une question qui devait devenir fondatrice : existe-il des ensembles de réels qui sont non dénombrables (ils ont strictement plus d'éléments que \mathbb{N}) mais n'ont pas non plus la puissance du continu (ils ont strictement moins d'éléments que \mathbb{R})  ? Cette question connue sous le nom de l'hypothèse du continu n'a pas obtenu de réponse du vivant de Cantor (il a fallu attendre Gödel en 1938 pour avoir une première demi-réponse) mais a suscité de nombreux travaux et surtout le développement de la théorie axiomatique des ensembles.

La théorie de Cantor est reconnue comme «naïve» parcequ'elle n'emploie pas encore une axiomatique précise, et parce que pour lui il n'y avait qu'une seule théorie des ensembles, un seul univers ensembliste attendu, tandis que les théoriciens des ensembles d'aujourd'hui jonglent avec des univers différents.

Après coup, on a pu simplifier, assez injustement pour Cantor, en résumant sa théorie à un usage tacite de l'axiome d'extensionnalité, et d'une version trop forte du schéma d'axiomes de compréhension, qui en substance permettrait d'associer à toute propriété la totalité des objets vérifiant cette propriété. Une telle théorie, qu'on n'attribuera pas à Cantor, est contradictoire. Elle mène à deux familles de paradoxes. Les uns, comme le paradoxe de Berry ou le paradoxe de Richard, se rattachent au fait que le langage n'est pas bien défini, les autres, comme le paradoxe de Russell à un usage trop large de la compréhension : lorsque on essaie de construire la totalité S = {A | A n'appartient pas à A} de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes on tombe sur une contradiction. L'actuel schéma d'axiomes de compréhension, proposé par Zermelo, est restreint afin d'éviter ce paradoxe.

Cantor connaissait, avant la découverte du paradoxe de Russell, des paradoxes plus complexes, mais de même nature, comme le paradoxe de Burali-Forti ou le paradoxe du plus grand cardinal[1]. Énormément de théoriciens des ensembles s'entendent pour dire que l'axiomatisation la plus correcte à la théorie développée par Cantor est la théorie ZFC avec axiome de fondation (voir ci-dessous), ou la théorie des classes de von Neumann, Gödel et Bernays, qui lui est , en un certain sens (qui peut être rendu précis), équivalente.

Au tournant du siècle, Cantor est de plus en plus handicapé par sa maladie nerveuse, mais ses solutions aux paradoxes circulent par sa correspondance et sont connues, à la fin du XIXe siècle, de Richard Dedekind et , à Göttingen, de David Hilbert et de Ernst Zermelo. Cependant, pour énormément de mathématiciens de l'époque, les paradoxes jettent un doute sur la validité de la théorie des ensembles, les solutions proposées par Cantor sont trop informelles pour convaincre ceux qui les connaissent. Certains s'orientent vers la méthode axiomatique, illustrée à la même époque par Hilbert pour les fondements de la géométrie (1899).

Ainsi, en 1908, Ernst Zermelo construit un dispositif d'axiomes pour la théorie des ensembles. En dehors de l'axiome d'extensionnalité, on peut voir ces axiomes comme une restriction de la version contradictoire du schéma d'axiomes de compréhension aux cas spécifiques utiles, qui ne permettent pas de dériver les paradoxes. Dans ce dispositif, il inclut aussi l'axiome du choix (qui n'a rien à voir avec la compréhension), un axiome à l'époque particulièrement controversé, avec lequel il a montré (en 1904) le théorème du bon ordre, et qui a aussi été utilisé implicitement par Cantor. Le dispositif de Zermelo a été complété dans les années 1920 par Abraham Adolf Frænkel et Thoralf Skolem, qui ajouteront le schéma d'axiomes de remplacement (autre cas spécifique de la compréhension non restreinte), donnant la théorie connue actuellement sous le nom de ZF (sans axiome du choix) ou ZFC (avec axiome du choix). D'autres auteurs ont depuis travaillé sur le problème de l'axiomatisation de la théorie des ensembles, surtout John Von Neumann qui a défini une alternative particulièrement intéressante à ZF : la théorie des classes.

Le problème de l'axiome du choix

L'axiome du choix est apparu explicitement dans une publication de Ernst Zermelo de 1904, c'est-à-dire avant la parution de son axiomatisation de la théorie des ensembles. L'axiome du choix est en effet d'une nature différente des autres axiomes de la théories des ensembles énoncés ultérieurement, et qui résultent pour la majorité d'une analyse soignée de la compréhension non restreinte. En effet l'axiome du choix ne donne pas de définition explicite de la totalité construit (ensemble de choix ou fonction de choix suivant les versions). D'autre part, dans son article de 1904, Zermelo démontre avec l'axiome du choix son fameux théorème qui décrit que tout ensemble peut être bien ordonné, proposition qui n'a rien d'intuitivement évident, ne serait-ce que pour la totalité des réels. L'axiome du choix était utilisé tacitement au moins par Georg Cantor, mais la publication de Zermelo déclenche des débats passionnés chez les mathématiciens de l'époque[2].

L'axiome du choix est d'autre part particulièrement lié à l'infini mathématique, en effet l'axiome du choix est intuitivement vrai pour un nombre fini de choix, et d'ailleurs particulièrement démontrable dans ce cas à partir des autres axiomes de la théorie des ensembles. Or nous sommes autour de 1904 en plein dans la controverse déclenchée par la découverte des paradoxes[3]. Diverses conceptions de l'infini mathématique s'affrontent alors. Cela ira jusqu'à la remise en cause radicale des fondements des mathématiques par Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fondateur de l'intuitionnisme, qui écarte le principe du tiers exclu, qui se situe bien en amont de l'axiome du choix. Cependant à l'époque, certains mathématiciens qui ne vont pas aussi loin et acceptent certaines formes de raisonnement non constructif, se méfient de l'axiome du choix. Emile Borel écrit toujours en 1950[4] : C'est déjà un résultat important obtenu par les adversaires de l'axiome de Zermelo que tous ceux qui admettent cet axiome prennent le soin, quand ils obtiennent un théorème nouveau, de spécifier si la démonstration de ce théorème exige ou non l'utilisation de l'axiome de Zermelo. Cet axiome a ainsi créé une branche scindée des mathématiques ; l'importance et l'intérêt de cette branche décideront de son sort. . On peut quand même dire qu'aujourd'hui, vu précisément son utilisation dans des branches importantes des mathématiques, l'axiome du choix est beaucoup accepté.

Ceci d'autant plus qu'on sait selon les travaux de Gödel[5] que d'admettre l'axiome du choix n'est pas plus «risqué», au sens où il montre que si la théorie ZFC était incohérente la théorie ZF le serait aussi (voir ci-dessous la section sur les résultats d'indépendance en principe des ensembles).

On a identifié d'autre part des restrictions de l'axiome du choix, comme l'axiome du choix dénombrable (qui permet par exemple de montrer qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable), lui-même conséquence de l'axiome du choix dépendant (qui permet par exemple de montrer l'existence d'une suite illimitée décroissante pour une relation non bien fondée). Ainsi Robert Solovay a publié en 1970 la cohérence de la théorie ZF + axiome du choix dépendant + tout sous-ensemble des réels est Lebesgue-mesurable, théorie contredisant par conséquent l'axiome du choix dans toute sa généralité, assez à la la théorie ZF + il existe un cardinal inaccessible (un renforcement de la théorie ZF qui sert à montrer la cohérence de ZF) [6]. Cependant, l'axiome du choix dénombrable est insuffisant en géométrie algébrique, car le traitement des corps algébriquement clos requiert le lemme de Zorn équivalent à l'axiome du choix ; par conséquent le théorème selon lequel tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos est fondé sur l'axiome du choix général. [7]

Un des meilleurs exemples des étrangetés auquel conduit l'axiome du choix est sans doute le paradoxe de Banach-Tarski, publié en 1924[8] qui, en utilisant l'axiome du choix, affirme qu'on peut découper une sphère en un nombre fini de morceaux, les déplacer par une suite de mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces d'en traverser d'autres et de les rassembler en formant deux copies de la sphère d'origine. Ceci semble contredire l'intuition physique que nous avons de la notion de volume, mais le paradoxe de Banach-Tarski fait intervenir des parties non mesurables.

Les axiomes de la théorie ZF

Les dispositifs axiomatiques pour la théorie des ensembles, ZF, Théorie des classes, Théorie des types sont équivalents au moins au sens où ils permettent tous de représenter la majeure partie des mathématiques. Parmi eux ZF est le plus courant et c'est pourquoi on en fait une description informelle ici.

La théorie qui se base sur les axiomes originaux de Zermelo est nommée théorie de Zermelo ou théorie Z. Si on la complète par l'axiome de remplacement de Frænkel, on obtient la théorie de Zermelo-Frænkel, ou plus simplement la théorie ZF, quoique la forme finale des axiomes soit due à Skolem. Quand on lui adjoint l'axiome du choix on obtient alors la théorie ZFC («C» pour «choix»).

Un aspect important de la théorie ZF est que tous les objets dont elle traite sont des ensembles et ne peuvent être que des ensembles. Surtout, chaque élément d'un ensemble est lui-même un ensemble. D'autres objets mathématiques familiers, tels que les nombres, doivent par conséquent donc être définis en termes d'ensembles.

Strictement parlant, les axiomes de ZF sont simplement des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit par conséquent uniquement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes. Qui plus est , l'axiome de séparation (ou compréhension) et l'axiome de remplacement sont en fait des schémas illimités d'axiomes.

  1. Axiome d'extensionnalité : Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.
  2. Axiome de la totalité vide : Il existe un ensemble sans élément. On le note \varnothing (ou plus rarement {}). Cet axiome ne fait pas à proprement parler partie de l'axiomatisation de ZF, du moins dans sa version actuelle, formalisée en calcul des prédicats du premier ordre. On peut le déduire d'une propriété générique du calcul des prédicats, qui est qu'un modèle d'une théorie est non vide. Dans le cas de la théorie des ensembles, cela revient à dire qu'il existe au moins un ensemble, et cette propriété ne nécessite pas d'axiome spécifique : elle se démontre en logique pure. On en déduit par le schéma d'axiomes de compréhension l'existence de la totalité vide. On trouve cependant cet axiome dans des variantes de la théorie des ensembles, ou dans des présentations plus anciennes ou semi-formelles de la théorie ZF comme celle de Paul Halmos[9].
  3. Axiome de la paire : Si x et y sont deux ensembles, alors il existe un ensemble contenant x et y et eux seuls comme éléments. Cet ensemble se note {x, y}. À noter que x et y ne sont pas obligatoirement différents. Cet axiome est conséquence du schéma de remplacement mais pas du schéma de compréhension, aussi on peut l'omettre dans la théorie ZF mais il est indispensable dans la théorie Z.
  4. Axiome de la réunion : Pour tout ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments sont exactement ceux des éléments de X et eux seuls.
  5. Axiome de la totalité des parties : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble dont les éléments sont exactement les sous-ensembles de E. Cet ensemble se note généralement P (E) .
  6. Axiome de l'infini : Il existe un ensemble W dont \varnothing est élément et tel que pour tout x appartenant à W, x \cup \{x\} appartient aussi à W. On peut ensuite définir par compréhension l'intersection de l'ensemble des ensembles contenant \varnothing et clos par cette opération : il s'agit de la totalité des nombres entiers tels que définis par von Neumann.
  7. Schéma d'axiomes de compréhension ou de séparation : pour tout ensemble A et toute propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont les éléments sont les éléments de A vérifiant P. Le schéma de compréhension est conséquence du schéma de remplacement qui suit.
  8. Schéma d'axiomes de remplacement : Pour tout ensemble A et toute relation fonctionnelle P, formellement définie comme une proposition P (x, y) et telle que P (x, y) et P (x, z) impliquent que y = z, il existe un ensemble contenant exactement les images par P des éléments de la totalité d'origine A.
  9. Axiome de fondation : Tout ensemble X non vide contient un élément y tel que X et y sont des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun), ce qui se note X \cap y = \varnothing. Cet axiome n'est pas forcément ajouté à Z ou ZF. On peut construire assez aisément comme sous-classe d'un modèle quelconque de ZF, un modèle de ZF vérifiant l'axiome de fondation. Les ensembles utiles au développement des mathématiques usuelles appartiennent à cette sous-classe, et par conséquent cela a peu d'importance d'ajouter ce dernier ou non à la théorie pour ces développements. L'axiome de fondation n'est par exemple pas mentionné dans le livre de Halmos[9], dont l'objectif est de présenter les aspects de la théorie des ensembles utiles pour le mathématicien non spécialiste de ce domaine. L'axiome de fondation est par contre particulièrement utile dans le domaine spécialisé de la théorie des ensembles, il sert à hiérarchiser l'univers ensembliste, de définir un rang ordinal (voir l'article axiome de fondation)... Des théories des ensembles, extensions de ZF sans fondation, ont d'autre part été développées, qui introduisent un axiome d'anti-fondation (il en existe plusieurs variantes) qui contredit directement l'axiome de fondation. L'anti-fondation est une idée assez ancienne (Dimitri Mirimanoff 1917, Paul Finsler 1926), mais ces théories ont connu un regain d'intérêt pour leur lien avec l'informatique théorique[10].
  10. Axiome du choix : (version de Zermelo) Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble y (la totalité de choix pour X) contenant précisément un élément pour chaque membre de X.
    L'axiome du choix reste controversé pour une minorité de mathématiciens. Des formes faibles existent, comme l'axiome du choix dépendant, particulièrement utile pour le développement de l'analyse réelle.

Les résultats d'indépendance en principe des ensembles

Modèles intérieurs

Les premiers résultats d'indépendance notables en principe des ensembles sont ceux de Kurt Gödel qui démontre que l'axiome du choix est compatible avec la théorie ZF, c'est à dire si la théorie ZFC est contradictoire, alors la théorie ZF est contradictoire. Il montre aussi le même résultat pour l'hypothèse du continu vis à vis de ZF ou ZFC. Gödel utilise la méthode nommée depuis la méthode des modèles intérieurs, elle revient à construire, par exemple dans un modèle de ZF ne satisfaisant pas obligatoirement l'axiome du choix, une sous-classe de ce dernier qui possède une nouvelle relation d'appartenance satisfaisant l'axiome du choix. Une contradiction de la théorie ZFC entraîne par conséquent une contradiction de la théorie ZF.

Forcing

Paul Cohen, en 1963, démontre que la négation de l'hypothèse du continu (HC) est compatible avec la théorie ZFC : si la théorie ZFC + (non HC) est contradictoire, alors la théorie ZFC est contradictoire. La méthode qu'il introduit, le forcing, devait avoir un énorme succès en principe des ensembles. Reformulée, étendue, itérée... elle a permis de montrer de nombreux résultats d'indépendance.

Second théorème d'incomplétude

Les résultats d'indépendance qui ont précédé reposent sur des résultats d'équicohérence (ou équiconsistance, par exemple la cohérence de la théorie ZF entraîne la cohérence de ZF+AC (la réciproque est évidente). Mais pour d'autres axiomes, comme les axiomes de grands cardinaux, ce n'est pas le cas : dans la théorie ZFC + «il existe un cardinal inaccessible» on peut montrer l'existence d'un modèle de ZFC, c'est-à-dire la cohérence de cette théorie. Le second théorème d'incomplétude de Gödel permet d'en déduire que l'existence d'un cardinal inaccessible n'est pas démontrable dans ZFC (en supposant bien-sûr que cette dernière théorie est cohérente). Le second théorème d'incomplétude permet par conséquent aussi de démontrer des résultats d'indépendance. Il est utilisé plus largementpour comparer des théories, une théorie étant «plus forte» qu'une autre si elle sert à démontrer sa cohérence.

Notes

  1. il ne considère d'ailleurs pas ceux-ci comme des paradoxes, voir le §2.2 de , Akihiro Kanamori (2008), Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in : Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press 2008.
  2. On trouve dans les leçons sur la théorie des fonctions d'Emile Borel Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entre René Baire, Jacques Hadamard, Henri Lebesgue et Borel lui-même ; les lettres apparaissent dans la note IV introduite à partir de la seconde édition).
  3. le paradoxe de Russell et d'autres, est paru dans les principles of mathematics du dit Russell en 1903, le paradoxe de Richard est publié en 1905...
  4. Préface de la 4ème édition des leçons sur la théorie des fonctions
  5. Kurt Gödel. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press. ISBN 0691079277.
  6. Robert M. Solovay A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable, Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.
  7. Ouvrage collectif Penser les mathématiques (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 ISBN 2 02 006061 2 note 7 p. 35
  8. Stefan Banach and Alfred Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicæ, 6, (1924), 244–277. Review at JFM
  9. Halmos, P. R. , Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6. trad. Française Introduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.
  10. voir le livre de Peter Aczel, Non-Well-Founded Sets, CSLI Lecture Notes, Vol. 14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.

Voir aussi

Bibliographie

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