Théorie Dempster-Shafer

La Théorie Dempster-Shafer est une théorie mathématique basée sur la notion de preuves utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible.



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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Théorie de Dempster - Shafer. sModéliser l'incertitude. – Confiance et ignorance. – [Confiance, plausibilité]. – Pl (H) =1-conf (Comp H)... (source : eisti)
  • The Dempster - Shafer theory, also known as the theory of belief functions, ... theory to expert systems. Dempster - Shafer degrees of belief resemble the... (source : glennshafer)
  • Utilisation de la théorie de Dempster - Shafer pour la fusion d'informations = Use of the Dempster - Shafer theory in data fusion... (source : cat.inist)

La Théorie Dempster-Shafer est une théorie mathématique basée sur la notion de preuves[1] utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible. L'objectif de cette théorie est de permettre de combiner des preuves différentes pour calculer la probabilité d'un évènement. Cette théorie a été développée par Arthur P. Dempster et Glenn Shafer.

Formalisme mathématique

Soit X\,\! l'univers, c'est-à-dire la totalité contenant l'ensemble des éléments. Le power set (ou l'ensemble des parties d'un ensemble), \mathcal{P}(X)\,\!, est la totalité de l'ensemble des sous parties de X\,\!, incluant l'ensemble vide \varnothing. A titre d'exemple, si :

X = \left \{ a, b \right \} \,\!

alors

\mathcal{P}(X) = \left \{ \varnothing, \left \{ a \right \}, \left \{ b \right \}, X \right \}. \,\!

Les éléments du power set peuvent être interprétés comme des propositions, un élément représentant les états qu'il contient. A titre d'exemple, on peut interpréter l'élément \left \{ a \right \} comme "la proposition a est vérifiée" ou "on est dans l'état a", ou encore \left \{ a,b \right \} comme "on est soit dans l'état a, soit dans l'état b".

Notion de masse

On définit la masse de la manière suivante :

m(\varnothing) = 0. \,\!
\sum_{A \in \mathcal{P}(X)} m(A) = 1. \,\!


La masse m(A) \,\! d'un élément donné A\,\! du power set exprime la proportion de l'ensemble des preuves disponibles affirmant que l'état actuel est A\,\! et pas un autre état ou un sous état de A\,\!. La valeur de m(A)\,\! concerne par conséquent uniquement l'état A\,\! et n'apporte aucun crédit aux sous ensembles de A\,\!, chacun ayant, par définition, sa propre masse.

A partir de la valeur de la masse d'un état, on peut définir un intervalle de probabilité. Cet intervalle contient la valeur précise de la probabilité de l'état, et est borné par deux mesures nommées croyance (belief ou support) et plausibilité (plausibility)  :

\operatorname{bel}(A) \le P(A) \le \operatorname{pl}(A).\,\!


La croyance \operatorname{bel}(A)\,\! d'un ensemble A\,\! est définie comme la somme des masses de tous ses sous ensembles (pas obligatoirement propres)  :

\operatorname{bel}(A) = \sum_{B \mid B \subseteq A} m(B).

La plausibilité \operatorname{pl}(A)\,\! est définie comme la somme des masses de l'ensemble des ensembles B\,\! qui intersectent A\,\! :

\operatorname{pl}(A) = \sum_{B \mid B \cap A \ne \varnothing} m(B)


Ces deux mesures sont liées : \operatorname{pl}(A) = 1 - \operatorname{bel}(\overline{A}).\,\!

Par conséquent, la connaissance d'une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausabilité) suffit à déduire les deux autres.

Combinaison de preuves et de masses

Le problème qui se pose désormais est de savoir comment combiner deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue comme Règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l'accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L'utilisation de ce théorème pose ainsi problème quand des conflits signifiants ont lieu entre différentes sources d'information.

Ici, la combinaison (masse jointe, joint mass) est calculée à partir des deux masses m_1\,\! et m_2\,\! de la manière suivante :

m_{1,2}(\varnothing) = 0 \,\!
m_{1,2}(A) = \frac {1}{1 - K} \sum_{B \cap C = A \ne \varnothing} m_1(B) m_2(C) \,\!

K = \sum_{B \cap C = \varnothing} m_1(B) m_2(C). \,\!

K\,\! est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation 1-K\,\! permet d'ignorer ces conflits et d'attribuer toute masse impliquée dans le conflit à la totalité nul. Par conséquent, cette opération donne des résultats contre-intuitifs face à des conflits significatifs, dans certains contextes

Notes et références

  1. Shafer, Glenn; A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, 1976

Voir aussi

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