Théorie de la percolation

Le modèle mathématique de la percolation a été introduit par John Hammersley en 1957. Il s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus exactement aux ensembles de sommets connectés dans un graphe aléatoire.



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  • théorie de la percolation. 1 Présentation heuristique du mod`ele... Les atomes parcourent la totalité des points de Rd `a coordonnées enti`eres noté :... la probabilité d'avoir un amas `a l'origine de taille... (source : umpa.ens-lyon)
  • We finish by showing that the invasion percolation measure and the incipient... Loi exacte ; 62E15 ; 60K35 ; Théorie probabilité ; Amas ouvert ; Point... (source : cat.inist)
  • bution de C (x) est indépendante du point x. Nous choisirons par conséquent l'amas C (0)...... la percolation a aussi donné lieu a une jolie théorie mathématique... (source : hal.archives-ouvertes)

Le modèle mathématique de la percolation a été introduit par John Hammersley en 1957. Il s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus exactement aux ensembles de sommets connectés dans un graphe aléatoire.

Informellement, imaginons qu'on place de l'eau au sommet d'une pierre spongieuse. S'il y a assez de petits canaux, il est alors envisageable qu'il y ait un chemin du centre de la pierre vers l'extérieur. Ce modèle sert à répondre à ce genre de question.

Différents types de percolation

Cette théorie s'applique à la science des matériaux, dans le domaine de la percolation.

Soit p un paramètre compris entre 0 et 1. Deux points (ou sommets) à distance euclidienne 1 du réseau d-dimensionnel Zd (deux tels points sont dits voisins) sont alors reliés avec probabilité p par une arête. Le résultat est un graphe aléatoire illimité.

La probabilité de percolation de ce graphe, notée θ (p) est la probabilité que ce graphe admette une composante connexe (aussi nommée amas) de taille illimitée.

Par des arguments de couplage, on montre que θ est une fonction croissante de p. On montre aussi qu'il existe un point critique pc tel que θ (p) est nulle si p < pc et strictement positive si p > pc. Harry Kesten a montré qu'en dimension 2, pc = 1 / 2.

Le régime sous-critique p < pc

Dans ce régime, il n'y a pas de chemin illimité dans le graphe. Les composantes connexes (appelé aussi amas) finis sont le plus souvent de petite taille. Plus exactement la probabilité que l'amas contenant le point x ait une taille qui dépasse n décroît exponentiellement vite avec n. Surtout, la taille moyenne d'un amas est finie.

Le régime critique p = pc

Ce régime est toujours mal connu (à l'exception notable de la dimension 2). On conjecture que θ (pc) = 0, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de percolation au point critique, mais ceci n'est pour le moment démontré qu'en dimension deux ou en grande dimension d > 18. Surtout, le cas de la dimension trois, dont la pertinence physique est évidente, demeure non prouvé.

Le régime sur-critique p > pc

Dans la phase surcritique, il y a une unique composante illimitée de points connectés. Cependant, les amas finis sont le plus souvent de petite taille. L'amas illimité rencontre tout l'espace; plus exactement la proportion de points d'une boîte de taille n qui appartiennent à l'amas illimité tend vers θ (pc) > 0 quand n tend vers l'infini. On sait aussi que l'amas illimité est particulièrement rugueux : la proportion des points d'une boîte de taille n qui sont à la frontière de l'amas illimité parmi la totalité des points de l'amas illimité qui sont dans cette boîte tend vers 1 − p quand n tend vers l'infini.

Modèle continu

La théorie de la percolation s'étends aux milieux continus, comme par exemple les schémas booléens de sphères. Si les seuils de percolation sont différents de ceux observées dans les réseaux, les exposants critiques appartiennent à la même classe d'universalité que dans les réseaux.

Autres modèles

En physique

En général, les exposants critiques observés pour les champs (expérimentalement ou avec modèle, par exemple dans les problèmes de conductivité, de mécanique, permittivité) sont différents des exposants géométriques. Ces phénomènes traduisent l'effet de corrélations des champs dû aux intéractions physiques (ou du point de vue mathématique, aux équations différentielles associées). Surtout, les exposants sont différents dans les réseaux et dans les milieux continus, de par l'existence de distances illimitément faibles entre interfaces, qui ne peuvent être limités par la taille des liens. [1].

On peut distinguer généralemente deux types de percolation de premier et second ordre. Le premier cas regroupe les transitions de champs continues et se rencontrent surtout dans les cas où le potentiel d'énergie possèdent un unique minimum. Au contraire, quand plusieurs minimaux locaux se développent, une transition discontinue peut apparaître. Ces phénomènes ne peuvent avoir lieu en principe de la percolation standard.

Livres de références

Notes et références

  1. Application of Percolation Theory, Taylor and Francis, Muhammad Sahimi.

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