Théorème des nombres premiers

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la densité asymptotique des nombres premiers.

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... théorème des nombres premiers est trop gros pour que la méthode utilisée dans le présent exposé pour minorer D (x, z) reste opérationnelle telle quelle.... (source : books.google)

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la densité asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π (x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante :

Théorème des nombres premiers — Quand $x \rightarrow +\infty$ , on a

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}.$

(ln (x) sert à désigner le logarithme naturel de x ; pour la signification de $\sim$ , voir l'article sur les notations de Landau).

Une meilleure approximation, avec une estimation de l'erreur, est donnée par la formule :

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x eˆ{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right)$

pour de grandes valeurs de x (Li est la fonction logarithme intégral).

Le tableau suivant illustre les écarts entre $π (x)$ et ses approximations, $π (x)$ et $Li (x)$ :

x	π (x)	π (x) - x / ln (x)	Li (x) - π (x)	x / π (x)
10¹	4	0	2	2, 500
10²	25	3	5	4, 000
10³	168	23	10	5, 952
10⁴	1 229	143	17	8, 137
10⁵	9 592	906	38	10, 430
10⁶	78 498	6 116	130	12, 740
10⁷	664 579	44 159	339	15, 050
10⁸	5 761 455	332 774	754	17, 360
10⁹	50 847 534	2 592 592	1 701	19, 670
10¹⁰	455 052 511	20 758 029	3 104	21, 980
10¹¹	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24, 280
10¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26, 590
10¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28, 900
10¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31, 200
10¹⁵	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33, 510
10¹⁶	279 238 341 033 925	7 804 289 844 392	3 214 632	35, 810
4 ·10¹⁶	1 075 292 778 753 150	28 929 900 579 949	5 538 861	37, 200

Le théorème des nombres premiers permet d'obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du nième nombre premier p (n) :

$p(n)\sim n\ln(n).$

Histoire

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé par Gauss en 1792 tandis qu'il avait uniquement 15 ans et par Adrien-Marie Legendre en 1798, puis démontré indépendamment par Jacques Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 avec méthodes d'analyse complexe, surtout la fonction ζ de Riemann.

À cause de la relation entre la fonction ζ de Riemann et π (x), l'hypothèse de Riemann a une importance énorme en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré plus exactement, que si l'hypothèse de Riemann était vraie, le terme d'erreur dans la relation mentionnée ci-dessus pourrait être perfectionné en :

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)$

La constante sous la notation grand O est inconnue.

On est toujours loin d'un tel terme d'erreur. Par contre, on sait que toute amélioration de la région sans zéro de la fonction $ζ$ de Riemann perfectionne de facto le terme d'erreur du théorème des nombres premiers. La meilleure région sans zéro aujourd'hui connue a été obtenue en 1958 par Korobov et Vinogradov [Cette région était légèrement trop "optimiste", et n'a jamais été rigoureusement établie, ni par Vinogradov, ni par Korobov, ni par personne d'autre. Elle a été finalement remplacée par une région plus petite (mais établie par une preuve) par H. -E. Richert en 1967]. La région de Richert implique le résultat suivant : quand $x \rightarrow \infty$ , on a

$\pi(x) = {\rm Li(x)} + O \left ( x \exp \left \{-c (\ln x)ˆ{3/5} (\ln \ln x)ˆ{-1/5} \right \} \right ),$

où $c > 0$ est une constante absolue.

En ce qui concerne des majorations explicites, mentionnons les travaux de Rosser et Schœnfeld (1962, 1975, 1976), puis ceux de Dusart (1998). Avec ordinateurs de plus en plus puissants, ces chercheurs ont pu déterminer de plus en plus de zéros non triviaux de la fonction $ζ$ sur la droite critique. Cette connaissance de plus en plus approfondie implique de bonnes estimations des fonctions usuelles de nombres premiers, avec ou sans l'hypothèse de Riemann. Ainsi, en 1976, Schœnfeld a-t-il pu établir que, si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors on a, pour tout réel $x \geq 2657$ :

$\left | \pi(x) - {\rm Li(x)} \right | < \frac {1}{8 \pi} \sqrt {x} \ln x,$

tandis que, sans condition, Dusart a démontré que, pour tout réel $x \geq 59$ , on a :

$\left | \pi(x) - {\rm Li(x)} \right | < 2 K \frac {x}{(\ln x)ˆ{3/4}} \exp \left ( - \sqrt { \frac {\ln x}{R}} \right ),$

où $R \approx 9,645908801...$ et $K \approx 0,2196$ .

Pour une autre classe des sommes le théorème des nombres premiers peut être généralisé (Weyl)

∑	(p^k) ˜Li (x^{k + 1})
p

où $L i (x)$ la fonction intégrale est logarithmique et k>0

Ce qu'il advint de la «profondeur»

Il est convenu de distinguer plusieurs types de démonstrations mathématiques, selon le degré de sophistication des théories mathématiques auxquelles on fait appel ; le théorème des nombres premiers apporte un prototype pour ce genre de considérations.

On a longtemps cru, au début du XX^e siècle, et surtout G. H. Hardy, que toute démonstration du théorème des nombres premiers devait nécessairement faire appel à des théorèmes d'analyse complexe ; ce qui d'autre part pouvait paraître frustrant pour un énoncé semblant porter principalement sur les nombres entiers (quoique nécessitant les nombres rationnels, ou alors les nombres réels pour pouvoir être énoncé). C'était par conséquent un défi pour les mathématiciens d'essayer de trouver une démonstration élémentaire de ce théorème - élémentaire ne voulant pas dire simple, ni peu particulièrement élaborée, mais uniquement faisant au minimum appel à des méthodes externes, à l'arithmétique dans notre cas - ou bien de comprendre exactement pourquoi certains énoncés ne sont accessibles qu'avec des méthodes plus évoluées que ce à quoi on pouvait s'attendre. Hardy parlait par conséquent de «profondeur» des théorèmes et pensait que le théorème des nombres premiers faisait partie des énoncés dont la «profondeur» ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe.

Une première brèche dans cette conception fut la découverte d'une démonstration basée uniquement sur le théorème taubérien de Norbert Wiener ; mais il n'était pas clair qu'on ne puisse pas attribuer à ce théorème une «profondeur» équivalente aux théorèmes issus de l'analyse complexe.

Le débat fut tranché en 1949, lorsque Paul Erdős et Atle Selberg donnèrent chacun une démonstration indéniablement élémentaire du théorème des nombres premiers. Quelle que soit la valeur du concept de «profondeur», celle du théorème des nombres premiers n'exigeait pas d'analyse complexe. De manière plus générale, la découverte de ces démonstrations élémentaires provoqua un regain d'intérêt pour les méthodes de crible, qui trouvèrent ainsi toute leur place dans l'arithmétique.

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