Théorème des milieux

Le théorème des milieux est un cas spécifique de la réciproque du théorème de Thalès.

Théorème direct

Deux énoncés

Voici les deux théorèmes principaux, mais il existe des théorèmes connexes.

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Formulation graphique

Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :

Démonstration

Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu'on veut prouver parallèle à (BC).

Soit K le symétrique de J comparé à I, on a alors I milieu de [JK] et $IJ = \dfrac {KJ} 2$ .

Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, par conséquent AJBK est un parallélogramme.
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est par conséquent de même pour [JC] et [KB].

KBCJ n'est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan comparé à (KJ), B comme symétrique de A comparé à I, C comme symétrique de A comparé à J).

Or si un quadrilatère non-croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Donc KBCJ est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est par conséquent parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : $IJ = \dfrac {BC} 2$ .

Remarque : on évite la complication du quadrilatère croisé avec une preuve vectorielle : $\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JC}$

Théorème réciproque

C'est un cas spécifique du théorème direct de Thalès.

Théorème — Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

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