Théorème des milieux
Le théorème des milieux est un cas spécifique de la réciproque du théorème de Thalès.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- theoreme des milieux et paralleles (niveau quatrieme) a telecharger.... Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés... (source : mathovore)
- Théorème : La droite qui passe par le milieu d'un côté d'un triangle parallèlement à un second côté... (source : fr.wikibooks)
- Deuxième théorème des milieux (théorème réciproque). Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu... (source : maths.ac-aix-marseille)
Le théorème des milieux est un cas spécifique de la réciproque du théorème de Thalès.
Théorème direct
Deux énoncés
Voici les deux théorèmes principaux, mais il existe des théorèmes connexes.
- Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
- La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Formulation graphique
Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :

Démonstration

Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu'on veut prouver parallèle à (BC).
Soit K le symétrique de J comparé à I, on a alors I milieu de [JK] et .
Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, par conséquent AJBK est un parallélogramme.
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est par conséquent de même pour [JC] et [KB].
KBCJ n'est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan comparé à (KJ), B comme symétrique de A comparé à I, C comme symétrique de A comparé à J).
- Or si un quadrilatère non-croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
Donc KBCJ est un parallélogramme.
Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est par conséquent parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : .
Remarque : on évite la complication du quadrilatère croisé avec une preuve vectorielle :
Théorème réciproque
C'est un cas spécifique du théorème direct de Thalès.
Théorème — Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

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