Théorème de Wilson

En mathématiques, et plus exactement, en arithmétique élémentaire, le Théorème de Wilson décrit une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier.



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  • Ainsi le théorème de Wilson est plutôt anecdotique. Notation 1. Nombre premier.... Première démonstration : théorème de Lagrange et relation cœfficients- racines.... Le produit est par conséquent égal à 1 = −1. Quand p est impair, ... (source : people.math.jussieu)
  • Le théorème de Wilson est un simple résultat qui... Nous le faisons par une simple démonstration par l'absurde.... Supposons qu'il existe une autre solution, x = d, et d n'est pas égal à 1 ou -1.... (source : fr.wikibooks)
  • Un parfait I est égal à A si et uniquement si il contient un élément inversible)...... Le bon vieux théorème de Wilson est tout aussi immédiat si on... (source : ac-grenoble)
Alhazen (965 - 1039) est le premier mathématicien réputé pour avoir énoncé le théorème de Wilson.

En mathématiques, et plus exactement, en arithmétique élémentaire, le Théorème de Wilson décrit une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier.

Il est utilisé pour résoudre des équations diophantiennes. Un exemple est donné par Leonhard Euler (17071783) dans sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat.

Ce théorème doit son nom à John Wilson (17411793) qui a conjecturé ce résultat à la fin du XVIIIe siècle.

Le théorème de Wilson donne une définition d'un nombre premier. Cependant, ce théorème ne peut pas être utilisé en pratique pour vérifier si un nombre est premier car il utilise la fonction factorielle qui est particulièrement difficilement calculable.

Énoncé et exemples

Énoncé

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1, est un nombre premier si et uniquement s'il divise (p - 1) ! + 1, c'est-à-dire si et uniquement si :

(p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p \;

Ici, le symbole ! sert à désigner la fonction factorielle et le symbole \cdot \equiv \cdot \pmod \cdot sert à désigner la congruence sur les entiers.

Remarque : La formule précédente est équivalente à :

(p-1)! \equiv p-1 \pmod p \;

car :  -1\equiv p-1 \pmod p \;

Exemples

  • Si p est égal à 3, alors (p - 1) ! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
  • Si p est égal à 4, alors (p - 1) ! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
  • Si p est égal à 5, alors (p - 1) ! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
  • Si p est égal à 6, alors (p - 1) ! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
  • Si p est égal à 17, alors (p - 1) ! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 x 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Histoire

Le premier texte à faire référence[1] à ce résultat est énoncé par le mathématicien arabe Alhazen (965 - 1039) , démontrant une remarquable avance sur les sciences occidentales. Ce théorème est connu à partir du XVIIe siècle en Europe. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) fait référence à ce résultat. Euler le prouve[2] et l'utilise [3] pour sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Leibniz ne semble pas avoir jugé indispensable de publier une preuve.

John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring (17361798) qui publie ce résultat[4] en 1770. Une démonstration est présentée[5] comme nouvelle l'année suivante, elle est due à Joseph-Louis Lagrange (17361813) .

La formalisation[6] des techniques de l'arithmétique modulaire de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) permet une démonstration plus simple[7]. C'est elle , ou une analogue qui est désormais le plus souvent présentée.

Démonstrations

Arithmétique modulaire

Une démonstration moderne se fonde sur les propriétés de l'arithmétique modulaire[8]. Si p est un nombre premier, le corps Z/pZ a une structure connue, c'est celle d'un corps fini.

Le principe consiste, à regrouper deux à deux dans Z/pZ*, les éléments avec leurs inverses. Cette technique n'est envisageable que si un élément α de Z/pZ* est différent de son inverse, c'est à dire si, et uniquement si, α2 est différent de 1. Les éléments différents de leurs inverses sont racine du polynôme X2 - 1. Ce polynôme est à cœfficients dans un corps et est égal à l'expression suivante (X - 1) (X + 1), ce qui revient à dire que les deux seuls éléments qui sont leurs propres inverses sont la classe de 1 et celle de -1, toujours égal à p - 1. C'est à dire, il existe précisément (p - 3) /2 couples différents composés d'un élément de Z/pZ* et de son inverse différent du premier élément du couple. Il existe aussi deux classes, celle de 1 et celle de p - 1, qui sont leurs propres inverses. Dans Z/pZ*, le calcul de la classe du produit de l'ensemble des éléments de Z/pZ*, qui correspond à la classe de (p - 1) ! est le produit des produits des deux membres des (p - 3) /2 couples, égal à 1, par 1 puis par p-1, qui est bien congru à -1 modulo p. Ce qui démontre le résultat.

Si p n'est pas un nombre premier, la démonstration ne nécessite pas l'usage de l'arithmétique modulaire. Soit p n'est pas un carré parfait et il existe deux entiers différents a et b, strictement plus petits que p, tels que le produit de a et de b soit égal à p. Comme a et b sont deux facteurs de (p - 1) !, cette valeur est un multiple de p, ce qui montre que (p - 1) ! est un multiple de p et que l'égalité du théorème ne peut pas être vérifiée. Si p est un carré parfait différent de 1 et de 4, noté a2, alors a et 2. a sont deux facteurs différents de (p - 1) ! et on conclut comme auparavant. Il ne reste que le cas où p est égal à 4, qui se vérifie manuellement.

Principe de la démonstration de Gauss

Gauss raisonne de manière légèrement plus astucieuse[7]. Il remarque que le groupe multiplicatif Z/pZ* est cyclique, c'est-à-dire génèré par une classe a spécifique. Ainsi, Z/7Z* est génèré par 3, car les puissances de 3 ont pour classes respectives 3, 2, 6, 4, 5, 1. Calculer la congruence de (p - 1) !, c'est-à-dire le produit de l'ensemble des éléments de Z/pZ*, revient par l'isomorphisme de groupe de (Z/pZ*, . ) dans (Z/ (p-1) Z, +) à calculer la somme de 1 à p - 1.

Pour calculer la somme de 1 à p - 1, on remarque qu'il est envisageable d'ajouter 0 en première position, alors l'ième terme s'annule avec le p - 1 - ième.

\sum_{i=0}ˆ{p-1}\overline i \ = \ \overbrace{\overline 0+\underbrace{\overline 1+\cdots + \overline {(p-1)/2} + \cdots + \overline {p-2}}_{\overline {p-1}} + \overline {p-1} }ˆ{\overline {p-1}}

Comme p est impair, la somme contient un nombre impair de termes, il ne reste plus que (p - 1) /2, l'unique élément d'ordre deux. Dans Z/pZ*, l'unique élément d'ordre 2 est -1, ce qui termine la démonstration.

Gauss ne raisonne pas précisément ainsi, il remarque qu'il existe un élément a générateur du groupe Z/pZ*, ce qui revient à dire que les p - 1 premières puissances de a forment les éléments du groupe et par conséquent que la congruence de (p - 1) ! est égal à celle des produits de ces différentes puissance, toujours égal à une puissance de a. Plus exactement :

(p-1)! \equiv aˆ{\frac{p(p-1)}2} \pmod p

Il remarque ensuite que a (p-1) /2 est un nombre dont le carré est congru à 1 modulo p car ap-1 est congru à 1 modulo p. En effet, a génère un groupe multiplicatif d'ordre p - 1. Comme l'ordre du groupe génèré par a est p - 1, a (p-1) /2 ne peut être congru à 1, sinon a serait d'ordre (p - 1) /2. L'unique congruence différente de 1 et dont le carré est congru à 1 est -1, par conséquent a (p-1) /2 est congru à -1, modulo p. Si p est un nombre impair, la valeur a (p-1) /2 à la puissance p est aussi congru à -1. Si p est un nombre pair, il est égal à 2 car c'est l'unique nombre pair premier et on vérifie manuellement que le théorème est toujours vérifié. Ce qui termine le raisonnement de Gauss.

Démonstration manuelle

Alhazen, Leibniz ou Euler ne disposent pas de ce savoir. Ils connaissent la division euclidienne, le théorème des restes chinois et son équivalent algébrique le théorème de Bachet-Bézout enfin des propriétés décrites dans l'article Congruence sur les entiers à l'exception du dernier paragraphe.

Une démonstration est toujours envisageable, elle est par contre plus longue et plus astucieuse. L'abstraction de l'approche modulaire est remplacée par une complexité plus grande. Celle présentée ici dérive de l'approche de Gauss[9]

Généralisation

Dans un groupe abélien fini le produit des éléments est égal

Pour le groupe ((\mathbb Z/p\mathbb Z)ˆ*, \cdot), avec p premier impair, on retrouve le version classique.

En effet, l'ordre, qui est égal à p − 1, est pair et l'unique involution est p − 1.

Notes et références

Notes

  1. Alhazen Opuscula
  2. Leonhard Euler Opusc. Anal. Tome 1 p 329
  3. G. Van Brummelen M. Kinyon Mathematics and the Historian's Craft Springer New York 2005
  4. Edward Waring Edward Waring Meditationes Cambridge J. Archdeacon 1770
  5. Joseph-Louis Lagrange Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers Nouv. Mem. de l'Académie des sciences et belles lettres S 125-137 1771
  6. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticæ, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier 1807
  7. Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p 55 1807
  8. Celle proposée ici s'inspire de : S. Mehl Démonstration du théorème de Wilson par le site Chronomath. com
  9. La démonstration proposée ici est classique, on la trouve posée sous forme d'exercice avec la correction par le site maths-express. com

Liens externes

Références

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