Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle.



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  • Thalès a montré qu'à chaque triangle on pouvait faire correspondre un cercle, ... Dans ce cas, AH=côté/2 et l'application du théorème de Thales est aisée.... (source : math93)
  • ... Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, ... dorénavant : «théorème de Thalès») avec deux triangles partageant un même sommet, ... (source : scribd)

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. Deux théorèmes portent le nom de théorème de Thalès. Voir théorème de Thalès pour triangles identiques pour l'autre théorème de Thalès.

Un cercle de Thalès est un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Une sphère de Thalès est une demi-sphère dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Theoreme de Thales.svg

Histoire

Ce théorème est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet.

Démonstration

Dans la figure, les triangles (OAB) et (OBC) sont isocèles de sommet O, par conséquent nous pouvons écrire les égalités suivantes : \widehat{OAB}=\widehat{OBA} et \widehat{OBC}=\widehat{OCB}

(rem : cette propriété est aussi une propriété démontrée par Thalès)

En sommant ces deux égalités, il vient :

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}=\widehat{ABC}

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}+\widehat{ABC} = 2\widehat{ABC}=180°

puis en divisant par 2 la dernière égalité, on obtient

\widehat{ABC}= 90°

Le triangle est par conséquent bien rectangle en B.

Réciproque

Il existe aussi une réciproque à cette version du théorème de Thalès :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre [AC]

Démonstration : on trace la droite passant par le milieu O de [AC] et le milieu A'de [BC]. Comme droite des milieux, elle est parallèle à (AB). Comme (AB) et (BC) sont perpendiculaires, il en est de même de (A'O) et (BC). (A'O) est par conséquent une droite passant par le milieu de [BC] et perpendiculaire à [BC], c'est par conséquent la médiatrice de [BC]. Il suffit de faire le même raisonnement pour la droite passant par O et par C'milieu de [AB] pour prouver que cette droite est la médiatrice de [AB]. Ces deux médiatrices se coupent en O qui est par conséquent le centre du cercle circonscrit au triangle. Comme O est le milieu de [AC], le cercle a bien pour diamètre [AC]

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