Théorème de Moivre-Laplace

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable X n suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p, alors pour n suffisamment grand la variable



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Théorème de mathématiques - Probabilités

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Moivre, du théorème de Bernoulli. Dans son Essai, Laplace écrit :..... théorèmes de Bernoulli et de De Moivre - Laplace. N. Meusnier 1987 : Traduction de ... (source : dma.ens)
  • Le théorème de Moivre - Laplace donne l'approximation en loi de la loi binomiale : (V∼ ----------) B (dès que n > 50 et p pas trop voisin de 0 ou de 1.... (source : www-irem.univ-fcomte)
  • In probability theory, the de Moivre – Laplace theorem is a normal approximation to the binomial distribution. It is a special case of the central limit... (source : en.wikipedia)
Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale.

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable Xn suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p < 1, alors pour n suffisamment grand la variable

Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite \mathcal{N}(0,1).

Abraham de Moivre fut le premier à l'établir dans le cas spécifique p = 1 / 2 en 1733, alors que Pierre-Simon Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de p en 1812. C'est un cas spécifique du théorème de la limite centrale.

C'est à dire, si Xn suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus x succès est donné par :

\operatorname{P}(X_n \le x) = \sum_{k=0}ˆ{\lfloor x \rfloor}{n \choose k}pˆk (1-p)ˆ{n-k}

Et si Φ est la fonction de répartition de \mathcal{N}(0,1) on a alors :

\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(X_n \le x) = \Phi \left( \frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)

Cette convergence est bonne généralement pour np (1 − p) > 9.

Quasiment, il faut cependant faire attention au fait que les variables Xn sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p) sont proches de la courbe de densité de la loi normale \mathcal{N}(np,\sqrt{npq}). On peut obtenir une valeur approchée de P (Xn = x) par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abcisse x − 1 / 2 et x + 1 / 2.

\operatorname{P}(X_n = x)\approx\operatorname{P}\left(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} < N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)
\operatorname{P}(X_n \leq x)\approx\operatorname{P}\left(N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)

On nomme cette procédure la «correction de continuité».

Exemple

X_n \sim \mathcal{B}(50,\, 0,3) ; np = 15 ; nq = 35

D'après les tables, la valeur exacte pour P (Xn = 10) = 0, 038619.

La formule d'approximation avec une loi \mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) = \mathcal{N}(15,\sqrt{10,5}) donne le résultat :

\operatorname{P}\left(\frac{9,5-15}{\sqrt{10,5}} < N < \frac{10,5-15}{\sqrt{10,5}}\right)

soit

\operatorname{P}(-1,7 < N < -1,39) = \operatorname{P}( 1,39 < N < 1,67) = 0,9554-0,9177 = 0,0377

L'erreur d'approximation est faible.

Pour \mathrm{P}(X_n) \leq 10 = 0,0789 l'approximation normale apporte 1 − P (N < 1,39) = 0,0823.

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :

\operatorname{P}\left(N \leq \frac{10-15}{\sqrt{10,5}}\right) = \operatorname{P}(N \leq -1,54)= 1-\operatorname{P}(N \leq 1,54)= 0,0618.

Cette dernière valeur est assez imprécise.

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