Théorème de Moivre-Laplace

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable X n suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p, alors pour n suffisamment grand la variable

Catégories :

Théorème de mathématiques - Probabilités

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Moivre, du théorème de Bernoulli. Dans son Essai, Laplace écrit :..... théorèmes de Bernoulli et de De Moivre - Laplace. N. Meusnier 1987 : Traduction de ... (source : dma.ens)
Le théorème de Moivre - Laplace donne l'approximation en loi de la loi binomiale : (V∼ ----------) B (dès que n > 50 et p pas trop voisin de 0 ou de 1.... (source : www-irem.univ-fcomte)
In probability theory, the de Moivre – Laplace theorem is a normal approximation to the binomial distribution. It is a special case of the central limit... (source : en.wikipedia)

Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale.

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable $X n$ suit une loi binomiale d'ordre $n$ et de paramètre $0 < p < 1$ , alors pour $n$ suffisamment grand la variable

$Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Abraham de Moivre fut le premier à l'établir dans le cas spécifique $p = 1 / 2$ en 1733, alors que Pierre-Simon Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de $p$ en 1812. C'est un cas spécifique du théorème de la limite centrale.

Démonstration du théorème de Moivre-Laplace

Soit $X n$ une suite de variables binomiales $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ .

La fonction caractéristique de $X n$ est :

$\varphi_{X_n}(t) = (peˆ{it} + q)ˆn$ . Celle de $Z_n= \frac{X_n - np}{\sqrt{npq}}$ est : $\varphi_{Z_n}(t) = (peˆ{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)ˆ{n}eˆ{\frac{-itnp}{\sqrt{npq}}}$

Calculons le logarithme de cette fonction :

$\ln\varphi_{Z} = n\ln [(peˆ{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = n\ln [(p(eˆ{\frac{it}{\sqrt{npq}}}-1) + 1)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :

$\ln\varphi_{Z} \approx n\ln[1+p(\frac{it}{\sqrt{npq}}-\frac{tˆ2}{2npq})]- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :

$\ln\varphi_{Z} \approx n(\frac{pit}{\sqrt{npq}} -\frac{ptˆ2}{2npq} + \frac{pˆ2tˆ2}{2npq})- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = \frac{tˆ2}{2q} + \frac{ptˆ2}{2q} = \frac{tˆ2}{2q}(p-1) = -\frac{tˆ2}{2}$ .

On a démontré que :

$\ln\varphi_{Z} \approx \frac{-tˆ2}{2}$ et on déduit que $\varphi_{Z} \approx eˆ{\frac{-tˆ2}{2}}$ .

C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

C'est à dire, si $X n$ suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus $x$ succès est donné par :

$\operatorname{P}(X_n \le x) = \sum_{k=0}ˆ{\lfloor x \rfloor}{n \choose k}pˆk (1-p)ˆ{n-k}$

Et si $Φ$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ on a alors :

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(X_n \le x) = \Phi \left( \frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$

Cette convergence est bonne généralement pour $n p (1 - p) > 9$ .

Quasiment, il faut cependant faire attention au fait que les variables $X n$ sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ sont proches de la courbe de densité de la loi normale $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq})$ . On peut obtenir une valeur approchée de $P (X n = x)$ par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abcisse $x - 1 / 2$ et $x + 1 / 2$ .

$\operatorname{P}(X_n = x)\approx\operatorname{P}\left(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} < N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$ $\operatorname{P}(X_n \leq x)\approx\operatorname{P}\left(N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$

On nomme cette procédure la «correction de continuité».

Exemple

$X_n \sim \mathcal{B}(50,\, 0,3)$ ; $n p = 15$ ; $n q = 35$

D'après les tables, la valeur exacte pour $P (X n = 10) = 0, 038619$ .

La formule d'approximation avec une loi $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) = \mathcal{N}(15,\sqrt{10,5})$ donne le résultat :

$\operatorname{P}\left(\frac{9,5-15}{\sqrt{10,5}} < N < \frac{10,5-15}{\sqrt{10,5}}\right)$

soit

$\operatorname{P}(-1,7 < N < -1,39) = \operatorname{P}( 1,39 < N < 1,67) = 0,9554-0,9177 = 0,0377$

L'erreur d'approximation est faible.

Pour $\mathrm{P}(X_n) \leq 10 = 0,0789$ l'approximation normale apporte $1 - P (N < 1,39) = 0,0823$ .

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :

$\operatorname{P}\left(N \leq \frac{10-15}{\sqrt{10,5}}\right) = \operatorname{P}(N \leq -1,54)= 1-\operatorname{P}(N \leq 1,54)= 0,0618$ .

Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Moivre-Laplace.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.