Théorème de Moivre-Laplace
En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable X n suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p, alors pour n suffisamment grand la variable
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Moivre, du théorème de Bernoulli. Dans son Essai, Laplace écrit :..... théorèmes de Bernoulli et de De Moivre - Laplace. N. Meusnier 1987 : Traduction de ... (source : dma.ens)
- Le théorème de Moivre - Laplace donne l'approximation en loi de la loi binomiale : (V∼ ----------) B (dès que n > 50 et p pas trop voisin de 0 ou de 1.... (source : www-irem.univ-fcomte)
- In probability theory, the de Moivre – Laplace theorem is a normal approximation to the binomial distribution. It is a special case of the central limit... (source : en.wikipedia)

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable Xn suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p < 1, alors pour n suffisamment grand la variable

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite .
Abraham de Moivre fut le premier à l'établir dans le cas spécifique p = 1 / 2 en 1733, alors que Pierre-Simon Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de p en 1812. C'est un cas spécifique du théorème de la limite centrale.
Soit Xn une suite de variables binomiales .
La fonction caractéristique de Xn est :



Calculons le logarithme de cette fonction :
.
On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :
.
On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :
.
On a démontré que :


C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite .
C'est à dire, si Xn suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus x succès est donné par :

Et si Φ est la fonction de répartition de on a alors :

Cette convergence est bonne généralement pour np (1 − p) > 9.
Quasiment, il faut cependant faire attention au fait que les variables Xn sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale sont proches de la courbe de densité de la loi normale
. On peut obtenir une valeur approchée de P (Xn = x) par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abcisse x − 1 / 2 et x + 1 / 2.


On nomme cette procédure la «correction de continuité».
Exemple
; np = 15 ; nq = 35
D'après les tables, la valeur exacte pour P (Xn = 10) = 0, 038619.
La formule d'approximation avec une loi donne le résultat :

soit

L'erreur d'approximation est faible.
Pour l'approximation normale apporte 1 − P (N < 1,39) = 0,0823.
Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :

Cette dernière valeur est assez imprécise.
Voir aussi
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.