Théorème d'Euler
En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Théorèmes de Lagrange, Euler et Fermat. Page 5. G. COSTANTINI http ://bacamaths. net/. 2.4. Théorème d'Euler. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.... (source : pagesperso-orange)
- Théorème d'Euler. La formule générale donnant l'expression de la dérivée particulaire d'une intégrale de volume... On obtient ainsi le Théorème d'Euler :... (source : enpc)
En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que
Théorème d'Euler — Soit n un entier naturel et a un entier premier avec n, alors
où est la fonction indicatrice d'Euler et mod sert à désigner la congruence sur les entiers.
Comme , la totalité des éléments inversibles de
, est la totalité des générateurs de
, il a pour ordre
. Pour plus de détails voir l'article Anneau Z/nZ.
Soit a un entier premier avec n, la classe de a dans
est alors génératrice de
, par conséquent appartient à
. On en déduit que l'ordre de
(noté m) dans
divise
selon le théorème de Lagrange, d'où l'existence d'un entier k tel que
.
Ainsi comme (par définition de m), on a
ce qui s'écrit aussi,
Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.
Ce théorème permet simplement la réduction modulo n de puissance. A titre d'exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quoi est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que . Le théorème d'Euler nous indique par conséquent que
On en déduit que
Le chiffre recherché est par conséquent 9.
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