Théorème d'Euler

En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que

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Arithmétique modulaire - Théorème de mathématiques

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En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que

Théorème d'Euler — Soit $n$ un entier naturel et $a$ un entier premier avec $n$ , alors

$aˆ{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.$

où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler et mod sert à désigner la congruence sur les entiers.

Démonstration

Comme $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})ˆ*$ , la totalité des éléments inversibles de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times)$ , est la totalité des générateurs de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ , il a pour ordre $\varphi(n)$ . Pour plus de détails voir l'article Anneau Z/nZ.

Soit $a$ un entier premier avec $n$ , la classe $\overline{a}$ de $a$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est alors génératrice de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , par conséquent appartient à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})ˆ*$ . On en déduit que l'ordre de $\overline{a}$ (noté $m$ ) dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})ˆ*$ divise $\varphi(n)$ selon le théorème de Lagrange, d'où l'existence d'un entier $k$ tel que $\varphi(n)= k\times m$ .

Ainsi comme $\overline{a}ˆ{m}=\overline{1}$ (par définition de m), on a

$\overline{a}ˆ{\varphi(n)}=\overline{a}ˆ{k\times m}=(\overline{a}ˆ{m})ˆ{k}=\overline{1}ˆ{k}=\overline{1};$

ce qui s'écrit aussi,

$aˆ{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.$

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où $n$ est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.

Ce théorème permet simplement la réduction modulo $n$ de puissance. A titre d'exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de $7222$ , c'est-à-dire trouver à quoi est congru $7222$ modulo $10$ , il suffit de voir que $7$ et $10$ sont premiers entre eux, et que $\varphi(10)=4$ . Le théorème d'Euler nous indique par conséquent que

$7ˆ4 \equiv 1 \pmod{10}.$

On en déduit que

$7ˆ{222} \equiv 7ˆ{4\times 55 + 2} \equiv (7ˆ4)ˆ{55}\times 7ˆ2 \equiv 1ˆ{55}\times 7ˆ2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}.$

Le chiffre recherché est par conséquent $9$ .

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