Tétraèdre

Le tétraèdre, est un polyèdre composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, qui appartient en outre comme celles-ci à la famille des cônes.



Catégories :

Polyèdre

Définitions :

  • Solide régulier dont la surface est constituée de quatre triangles égaux et équilatéraux (source : fr.wiktionary)
Tétraèdre
Tétraèdre

Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
4
6
4
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 3
Isométries
Dual Tétraèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un polyèdre composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, qui appartient en outre comme celles-ci à la famille des cônes.

Le tétraèdre régulier, constitué de quatre triangles équilatéraux, fait partie des cinq polyèdres réguliers, ou solides de Platon. C'est l'unique d'entre eux à avoir quatre faces.

Le squelette du tétraèdre régulier, la totalité de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe nommé graphe tétraédrique.

Un tétraèdre est dit orthocentrique quand ses quatre hauteurs sont concourantes. Le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.

Le tétraèdre est un simplexe de degré 3.

Le volume d'un tétraèdre est égal à si B est la surface d'une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base.

Coordonnées cartésiennes du tétraèdre régulier

Les coordonnées cartésiennes du tétraèdre régulier sont :

(1, 1, 1)
(-1, -1, 1)
(-1, 1, -1)
(1, -1, -1)

La longueur des arêtes est , ici, de 2/√2.

Compound of two tetrahedra.png

L'octaèdre étoilé peut être vu comme un tétraèdre régulier imbriqué avec deux sommets alternés du cube.

La bimédiane, c'est-à-dire, ici la hauteur, est le segment qui joint les centres des deux arêtes de longueur a, opposées et perpendiculaires, de longueur a/√2.

Tétraèdre régulier

Si a est la longueur d'une arête :

Dualité du tétraèdre régulier

Le tétraèdre est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres des faces d'un tétraèdre régulier, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique \mathfrak{S}_4. Le groupe des isométries positives ayant cette même propriété est quant à lui isomorphe au groupe alterné \mathfrak{A}_4. Une démonstration est proposée dans l'article Groupe alterné.


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Boule - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution

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