Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus.

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Nombre hypercomplexe - Algèbre

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Tessarine - VisWiki. The tessarines are a mathematical idea introduced by James Cockle in 1848.... où w et z peuvent être des nombres complexes quelconques... (source : ancient-rome)
Complexified algebras : Tessarine, biquaternion, and conic sedenion... Tessarines offer a commutative and associative multiplication, biquaternions are... (source : en.wikilib)
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En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

$\begin{pmatrix} w & z \\ z & w\end{pmatrix}$ ,

où w et z peuvent être des nombres complexes quelconques.

Isomorphismes avec les autres dispositifs de nombres

Nombres complexes

Quand z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes fendus

Quand w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La tessarine spécifique

$j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de l'ensemble des tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine spécifique mais aussi le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternion / octonion / sédénion coniques, nombres bicomplexes

Quand w et z sont à la fois des nombres complexes

$w :=∼a + ib\,$

$z :=∼c + id\,$

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques $a + bi + c \varepsilon + d i_0\,$ , de base $\{ 1,∼i,∼\varepsilon ,∼i_0 \}\,$ , avec les identités suivantes :

$1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad \varepsilon \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad i_0 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}$

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base $\{ 1,∼i_1, i_2, j \}$ si une identité :

$1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i_1 \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad i_2 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad j \equiv \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Quand w et z sont à la fois des quaternions (de base $\{ 1,∼i_1,∼i_2,∼i_3 \}\,$ ), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; donnant la possibilité les octonions pour w et z (de base $\{ 1,∼i_1, ..., ∼i_7 \}\,$ ), l'algèbre résultante est semblable aux sédénions coniques.

Propriétés algébriques

Les tessarines, quand w et z sont des nombres complexes, forment un anneau quaternionique commutatif et associatif (bien que les quaternions ne soient pas commutatifs). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de $j \equiv \varepsilon\,$ , qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

$\begin{pmatrix} z & \pm z \\ \pm z & z \end{pmatrix} \equiv z (1 \pm j) \equiv z (1 \pm \varepsilon)\,$

a son déterminant / module 0 et donc ne peut pas être inversé multiplicativement. Qui plus est , l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

$\begin{pmatrix} z & z \\ z & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & -z \\ -z & z \end{pmatrix} \equiv zˆ2 (1 + j )(1 - j) \equiv zˆ2 (1 + \varepsilon )(1 - \varepsilon) = 0$ .

Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

Références

James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
- 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33 :435-9.
- 1849 On a New Imaginary in Algebra 34 :37-47.
- 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34 :406-10.
- 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37 :281-3.
- 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38 :290-2.

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