Temps d'arrêt

Définition — Une variable aléatoire est un temps d'arrêt comparé à une filtration si,

Définitions

Définition — Une variable aléatoire $T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \}$ est un temps d'arrêt comparé à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si,

$\forall n \in \mathbb N,\quad\{T=n\} \in \mathcal{F}_n,$

ou bien, de manière équivalente, si,

$\forall n \in \mathbb N,\quad\{T\le n\} \in \mathcal{F}_n.$

Interprétation

Imaginons que sert à désigner ici la tribu génèrée ensuite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et uniquement si il existe tel que

$\begin{align} A &= \left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B\right\} \\ &= \left\{\omega\in\Omega\ |\ \left(X_k(\omega)\right)_{0\le k\le n}\in B\right\}. \end{align}$

Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est par conséquent un temps d'arrêt si et uniquement si la décision d'arrêter est prise suivant les résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i. e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que :

$\{T=n\}\quad \Leftrightarrow\quad\left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B_n\right\}.$

L'instant où le joueur s'arrête est par conséquent un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, par conséquent sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Notations

Soient $(X_n)_n\ge 0\$ une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt comparé à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ . Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté $\ X_T(\omega),\$ et est défini par

$\begin{align}X_T(\omega)&=X_{T(\omega)}(\omega)\\ &=\sum_{n\ge 0}X_n(\omega)1_{T(\omega)=n}. \end{align}$

Sur la totalité $\{\omega\in\Omega\,|\,T(\omega)=+\infty\},\$ la définition de $\ X_T(\omega)\$ est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant $\ X_T(\omega)=0.\$

Soit un temps d'arrêt et soi
- $T \wedge N$ est la variable aléatoire définie par $(T \wedge N)(\omega)=\min(T(\omega),N)\,;$
- $T \vee N$ est la variable aléatoire définie par $(T \vee N)(\omega)=\max(T(\omega),N) \,$ .

Propriétés

Propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt, soit $N\in \mathbb N$ . Alors $S:= T \wedge N,\ Sˆ{\prime}:=T \vee N\$ et $\ Sˆ{\prime\prime}:=T+N\$ sont des temps d'arrêt.

Démonstration

On ne démontrera que le premier point, les deux autres étant identiques :

$\{ S =n \} = \{ T\wedge N =n \} = \{ T=n , n \le N \} \cup \{ n=N , T \ge N\}.$

$\{ T=n \} \in \mathcal{F}_n \ \text{ et } \{ T \ge N\} = \{ T \le N-1 \}ˆc \in \mathcal{F}_{N-1}\subset\mathcal{F}_{N}.$

Propriété — De même, si $S\ et \ T$ sont des temps d'arrêts, alors $S\wedge T$ en est un.

Définition et propriété — Soit $T\,$ un temps d'arrêt et $A \in \mathcal{F}_\infty\ :\ A\,$ est nommé évènement antérieur à $T\,$ si :

$\forall n \in \mathbb N \ A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.$

La totalité de ces évènements forme une sous-tribu de $\mathcal{F}_\infty$ nommée tribu antérieure à $T\,$ et notée $\mathcal{F}_T.$

Démonstration

$\mathcal{F}_T$ contient $\Omega \,$
$\mathcal{F}_T$ est stable par réunion dénombrable
Soit $n\in \mathbb N$ . On a $A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n\ et \ (T=n) \in \mathcal{F}_n.\$ D'où

$\mathcal{F}_n \ni (T=n) \cap (A \cap (T=n))ˆc = (T=n) \cap (Aˆc \cup (T\not\in n)) =\ldots =Aˆc \cap (T=n).$

Proposition — Soient $S\,$ et $T\,$ deux temps d'arrêts tels que $S\le T$ p. s.. On a alors $\mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T$ .

Démonstration

Soit $A \in \mathcal{F}_S$ , c'est-à-dire $\forall n\in \mathbb N\ ,\ A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ . Comme de plus $S\le T\,$ p. s., $(T\le n)\subset (S\le n)$ . Par suite,

$A\cap (T\le n) = A\cap (T\le n)\cap (S\le n).$

Or $A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ et $(T\le n)\in \mathcal{F}_n$ car $T\,$ est un temps d'arrêt. Donc

$A\cap (T\le n) \in \mathcal{F}_n.$

Lemme — Soit $Z\,$ une variable aléatoire $\mathcal{F}_\infty$ -mesurable. $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable ssi $\forall n\ ,\ 1_{(T=n)}\times Z$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

Démonstration

$\Rightarrow$ :

$Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable. $(1_{(T=n)}\times Z)ˆ{-1}(x)=Zˆ{-1}(x) \cap (T=n)$ avec $Zˆ{-1}(x)\in \mathcal{F}_T.$

Or $\mathcal{F}_T = \{ A \in \mathcal{F}_\infty / \forall n \ A\cap (T=n)\in \mathcal{F}_n \}.$

Donc $Zˆ{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.$

Finalement $1_{(T=n)}\times Z\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable.

$\Leftarrow$ :

$(1_{(T=n)}*Z)ˆ{-1}(x) = Zˆ{-1}(x) \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n$

avec de plus $Zˆ{-1}(x) \in \mathcal{F}_\infty$ . D'où $Zˆ{-1}(x)\in \mathcal{F}_T$ (d'après la définition de $\mathcal{F}_T$ ). Par conséquent $Z\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

Proposition — $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

Démonstration

$\begin{align} X_T&=\sum_n 1_{(T=n)}X_T + 1_{(T=\infty)}X_\infty \\ &=\sum_n 1_{(T=n)}X_n + 1_{(T=\infty)}X_\infty\end{align}$

avec $1_{(T=n)}\ et\ X_n$ qui sont $\mathcal{F}_n$ -mesurable, d'où $X_T\times 1_{(T=n)}\,$ est $\mathcal{F}_n$ -mesurable. Selon le lemme précédent, $X_T\,$ est $\mathcal{F}_T$ -mesurable.

Exemples et contrexemples

Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu génèrée ensuite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration :

Soit un élément de ; on nomme instant de premier retour en et on note la variable aléatoire définie ci-dessous :

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L'instant de -ème retour en noté et défini par récurrence par :

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