Temps d'arrêt
Définition — Une variable aléatoire est un temps d'arrêt comparé à une filtration si,
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Définitions
Définition — Une variable aléatoire est un temps d'arrêt comparé à une filtration
si,

ou bien, de manière équivalente, si,

Interprétation
Imaginons que sert à désigner ici la tribu génèrée ensuite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et uniquement si il existe tel que

Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est par conséquent un temps d'arrêt si et uniquement si la décision d'arrêter est prise suivant les résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i. e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que :

L'instant où le joueur s'arrête est par conséquent un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, par conséquent sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.
Notations
- Soient
une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt comparé à une filtration
. Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté
et est défini par

- Sur la totalité
la définition de
est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant
- Soit
un temps d'arrêt et soi
est la variable aléatoire définie par
est la variable aléatoire définie par
.
Propriétés
Propriété — Soit un temps d'arrêt, soit
. Alors
et
sont des temps d'arrêt.
On ne démontrera que le premier point, les deux autres étant identiques :

Or

Propriété — De même, si sont des temps d'arrêts, alors
en est un.
Définition et propriété — Soit un temps d'arrêt et
est nommé évènement antérieur à
si :

La totalité de ces évènements forme une sous-tribu de nommée tribu antérieure à
et notée
contient
est stable par réunion dénombrable
- Soit
. On a
D'où

Proposition — Soient et
deux temps d'arrêts tels que
p. s.. On a alors
.
Soit , c'est-à-dire
. Comme de plus
p. s.,
. Par suite,

Or et
car
est un temps d'arrêt. Donc

Lemme — Soit une variable aléatoire
-mesurable.
est
-mesurable ssi
est
-mesurable.
:
est
-mesurable.
avec
Or
Donc
Finalement est
-mesurable.
:
avec de plus . D'où
(d'après la définition de
). Par conséquent
est
-mesurable.
Proposition — est
-mesurable.

avec qui sont
-mesurable, d'où
est
-mesurable. Selon le lemme précédent,
est
-mesurable.
Exemples et contrexemples
Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu génèrée ensuite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration :
- Soit un élément de ; on nomme instant de premier retour en et on note la variable aléatoire définie ci-dessous :

- L'instant de -ème retour en noté et défini par récurrence par :
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