Temps d'arrêt

Définition — Une variable aléatoire est un temps d'arrêt comparé à une filtration si,



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Processus stochastique - Probabilités

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  • Simulation d'une variable aléatoire discr`ete `a partir d'un jeu de pile ou face.... que l'espérance d'un tel temps d'arrêt est supérieure ou égale... (source : www-fourier.ujf-grenoble)
  • ... Un temps d'arrêt est en fait une façon de décider un instant, sachant que la... On peut aussi prendre des variables aléatoires X_i... (source : les-mathematiques)

Définitions

Définition — Une variable aléatoire T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \} est un temps d'arrêt comparé à une filtration (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} si,

\forall n \in \mathbb N,\quad\{T=n\} \in \mathcal{F}_n,

ou bien, de manière équivalente, si,

\forall n \in \mathbb N,\quad\{T\le n\} \in \mathcal{F}_n.

Interprétation

Imaginons que sert à désigner ici la tribu génèrée ensuite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et uniquement si il existe tel que

\begin{align}
A
&=
\left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B\right\}
\\
&=
\left\{\omega\in\Omega\ |\ \left(X_k(\omega)\right)_{0\le k\le n}\in B\right\}.
\end{align}

Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est par conséquent un temps d'arrêt si et uniquement si la décision d'arrêter est prise suivant les résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i. e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que :


\{T=n\}\quad \Leftrightarrow\quad\left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B_n\right\}.

L'instant où le joueur s'arrête est par conséquent un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, par conséquent sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Notations

\begin{align}X_T(\omega)&=X_{T(\omega)}(\omega)\\
&=\sum_{n\ge 0}X_n(\omega)1_{T(\omega)=n}.
\end{align}
Sur la totalité \{\omega\in\Omega\,|\,T(\omega)=+\infty\},\ la définition de \ X_T(\omega)\ est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant \ X_T(\omega)=0.\

Propriétés

Propriété — Soit T\, un temps d'arrêt, soit N\in \mathbb N. Alors S:= T \wedge N,\ Sˆ{\prime}:=T \vee N\ et \ Sˆ{\prime\prime}:=T+N\ sont des temps d'arrêt.

Propriété — De même, si S\ et \ T sont des temps d'arrêts, alors S\wedge T en est un.

Définition et propriété — Soit T\, un temps d'arrêt et A \in \mathcal{F}_\infty\ :\ A\, est nommé évènement antérieur à T\, si :

\forall n \in \mathbb N \ A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.

La totalité de ces évènements forme une sous-tribu de \mathcal{F}_\infty nommée tribu antérieure à T\, et notée \mathcal{F}_T.

Proposition — Soient S\, et T\, deux temps d'arrêts tels que S\le T p. s.. On a alors \mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T.

Lemme — Soit Z\, une variable aléatoire \mathcal{F}_\infty-mesurable. Z\, est \mathcal{F}_T-mesurable ssi \forall n\ ,\ 1_{(T=n)}\times Z est \mathcal{F}_n-mesurable.

Proposition — X_T\, est \mathcal{F}_T-mesurable.

Exemples et contrexemples

Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu génèrée ensuite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration  :

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