Techniques de calcul mental

Le calcul mental est une pratique visant à effectuer des calculs sans l'aide d'aucun support autre que son imagination. Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles...



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Calcul mental - Mathématiques élémentaires

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  • Sur vos vidéos, le champion japonais additionne 10 nombres à 4 chiffres en 3s, ... Peut-être peut il écrire le résultat plus rapidement, mais je ne suis pas sur ... Généralités, Techniques spécifiques de calcul mental et arithmétique... (source : ffcalculmental)

Le calcul mental est une pratique visant à effectuer des calculs sans l'aide d'aucun support autre que son imagination. Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles et ne transforment pas quelqu'un qui ne sait pas compter en une calculatrice humaine en un clin d'œil ; il faut pour se les approprier s'entraîner, et les pratiquer régulièrement. La pratique de l'abaque, du boulier et plus exactement du boulier japonais, nommé soroban, permet d'augmenter les effets de manière spectaculaire par le biais de l'anzan.

Remarque préalable : mémorisation et conséquence sur la technique

Le calcul mental utilise

Un entrainement régulier permet d'augmenter la quantité de résultats déjà connus, et de renforcer la mémoire à court terme.

Addition et soustraction

L'addition est associative (a + (b + c) = (a + b) + c) et commutative (a + b = b + a)  : on peut par conséquent associer et commuter les termes entre eux :

Remodeler les entiers pour la soustraction

On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que

ab = (a + c) (b + c) = (a - d) (b - d) .

Au contraire de l'algorithme courant, on calcule plutôt des puissances élevées vers les unités (ce n'est pas obligatoire mais c'est plus commode pour la mémoire). Exemple :

1462 - 295

Quand le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre dont on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :

1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95

Quand le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui sert à matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :

1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105

Mais quelquefois il y a toujours plus simple, car l'objectif est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire

1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100
1267 - 100 = 1167

On peut ainsi, généralement, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction : 872 − 91 = 881 − 100 = 781 (on a ajouté 9). 8192 − 732 = 8160 − 700 = 7460 (on a retiré 32).

Remodeler les entiers pour l'addition

Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou quelquefois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.

a + (b + c) = (a + c) + b

ou

(a + c) + b = a + (b + c)

Ici encore on calcule plutôt des puissances élevées vers les unités. Exemple :

1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95
1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757

Calcul d'un produit : ab × cd (théorie)

multiplier les unités

   ab x cd = .....
    |    |
    b x  d = bd

multiplier les dizaines

   ab x cd = .....
   |    |
   a  x c  = ac

additionner les produits croisés

   ab x cd = .....
   ac   bd
   ad + bc = ef  

Attention à bien faire ad + bc et pas ac + bd ! ceci n'est vrai que dans le cas particulièrement spécifique ou b=c (33, 22, 55 par exemple)

placer le résultat sous les produits qui ont précédé

   ab x cd = .....
    ac bd
     e f

tracer des lignes verticales

   ab x cd = .....
   a|c b|d
    |e f|

additionner les nombres entre les lignes

   ab x cd = .....
   a|c b|d
    |e f|
   -------
   a c b d
     + +
     e f

nous obtenons le résultat

   ab x cd = a ( c + e ) ( b + f ) d

Calcul d'un produit : 45 × 34 (exemple)

multiplier les unités

   45 x 34 = .....
    |    |
    5 x  4 = 20

multiplier les dizaines

   45 x 34 = .....
   |    |
   4  x 3  = 12

additionner les produits croisés

   45 x 34 = .....
   12   20
   4 5
   3 4 donne (on "croise" 4 avec 4 , 3 avec 5) : 4x4 + 5x3 = 16 + 15 = 31 

(on peut aussi "retourner" le nombre du haut : faire passer ab en ba, ici 45 en 54, et réitérer la méthode du début en n'oubliant pas d'additionner. C'est bien de axd + cxb dont il s'agit)

placer le résultat sous les produits qui ont précédé

   45 x 34 = .....
    12 20
     3 1

tracer des lignes verticales

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|

additionner les nombres entre les lignes

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|
   -------
   1 2 2 0 
     + +
     3 1

nous obtenons le résultat

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|
   -------
   1 2 2 0
     + +
     3 1
   -------
   1 5 3 0 

On prendra soin de vérifier à la calculatrice le résultat, au moins jusqu'à ce que la méthode soit acquise.

Calcul d'un produit : a × b

Multiplier par 10

Une multiplication par 10 consiste seulement à rajouter un 0 à droite du nombre ; c'est par conséquent une opération particulièrement élémentaire (s'il s'agit d'un nombre décimal, on décale la virgule d'une position vers la droite).

Multiplier par 2

C'est un cas spécifique de multiplication, où on peut travailler chiffre à chiffre : si retenue il y a, c'est nécessairement 1, elle n'impacte que le dernier chiffre trouvé et il n'y a que peu de risque de retenu en cascade car cela voudrait dire qu'on est parti d'un nombre rempli de 9. On calcule de gauche à droite, en commençant par les chiffres représentant les puissances élevées, et en incorporant progressivement les retenues si elles apparaissent

2 × 16817 =
16817,
26817 (multiplication du 1, pas de retenue, je pose 2)
32817 (multiplication du 6, =12, une retenue : le 2 devient 3, je pose le 2 de 12 ce qui donne 32)
33617 (multiplication du 8, =16, une retenue : le 32 devient 33, je pose le 6 de 16 ce qui donne 336)
33627 (multiplication du 1, =2 pas de retenue, 3362)
33634 multiplication du 7, =14, une retenue : le 3362 devient 3363, je pose le 4 de 14, c'est fini)

Multiplication par 5

Il s'agit d'une multiplication par 10 suivie d'une division par 2 ; par conséquent pour multiplier par 5, il suffit de savoir diviser par 2.

Diviser par 2

Il faut lire le nombre de gauche à droite, et diviser les chiffres par 2 arrondi à l'entier inférieur puis ajouter 5 au résultat de la division par 2 du chiffre suivant si le chiffre qu'on a divisé était impair. Par exemple

176 × 5 = 1760 ÷ 2,
1 divisé par 2 = 0 mais comme 1 est impair on ajoute 5 au résultat suivant
7 divisé par 2 = 3.5 on garde 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente par conséquent 3+5 = 8
6 divisé par 2 = 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente car 7 est impair par conséquent 3+5 = 8
0 divisé par 2 = 0

le résultat est 0880 soit 176x5 = 880

Multiplication par 9

Il suffit de remarquer que 9 = 10 – 1, par conséquent pour multiplier par 9, il suffit de multiplier le nombre par 10, et de le soustraire au résultat ; par exemple, 9 × 27 = 270 – 27 = 243. Il faut par conséquent savoir soustraire…

Autre technique : avec les doigts de la main. On place ses deux mains face à soi et on replie le doigt qu'on veut multiplier par 9.

exemple : 9 x 4; on replie le 4e doigt en partant de gauche. il reste 3 doigts à gauche et 6 à droite

9 x 4 = 36
9 x 7 ; on plie le 7e doigt et on a 6 et 3
9 x 7 = 63

Multiplication : {6 – 10} × {6 – 10}

Cette technique sert à multiplier un nombre entre 6 et 10 par un autre entre 6 et 10.

Cette technique utilise les dix doigts des deux mains, face à face :

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Deux exemples :

haut :
      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
bas :
--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 4 + 1 = 5 dizaines)  :

--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

Les unités (on multiplie le nombre de doigts en haut à gauche par ceux en haut à droite, soit 1 x 4 = 4 unités)  :

      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--

résultat : 9 × 6 = 50 + 1 x 4 = 54


haut :
-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--
bas :
--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 1 + 3 = 4 dizaines)  :

--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les unités (on multiplie le nombre de doigts du haut à gauche par ceux en haut à droite, 4 x 2 = 8 unités)  :

-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--

résultat : 6 × 8 = 40 + 4 x 2 = 48


-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Le fonctionnement : chaque doigt représente un chiffre (entre 6 et 10). On joint les deux doigts dont on veut multiplier les chiffres correspondants (x et y). Les doigts en bas indiquent les dizaines, on en a (x – 5) + (y – 5). Les doigts à gauche en haut indiquent (10 – x) et ceux à droite en haut (10 – x).

Et :
  [(x – 5) + (y – 5)] × 10 + (10 – x) × (10 – y)
= (x + y - 10) × 10 + (100 - 10y - 10x + x × y) 
= 10x + 10y - 100 + 100 - 10y - 10x + x × y
= x × y

Calcul du carré d'un entier ayant «5» comme chiffre des unités

Pour calculer un tel carré, il suffit de calculer le produit du nombre qu'on forme en effaçant ce chiffre «5» par le nombre entier suivant et de faire suivre l'écriture obtenue des deux chiffres «25». Par exemple pour calculer 85², on calcule le produit 8 × 9 = 72 et on trouve mais aussi 85² = 7 225.

Calcul du produit de deux entiers dans la même dizaine et dont les chiffres des unités se complètent

Commencer par multiplier les deux chiffres des unités entre eux puis faire précéder l'écriture obtenue, au niveau des centaines, par l'écriture du produit de ce nombre commun de dizaines par le nombre entier suivant.

Exemples :

Cette technique est une généralisation de la technique Calcul du carré d'un entier ayant «5» comme chiffre des unités. Sa validité provient du calcul suivant, où a sert à désigner le nombre entier commun de dizaines et b l'une des deux unités complémentaires :

(10a + b) (10a + (10 − b) ) = 100a2 + 10a (b + 10 − b) + b (10 − b) = 100a (a + 1) + b (10 − b)

Calcul du produit de deux entiers dans la même dizaine

Pour cela il suffit de prendre le 1er nombre et d'y ajouter le chiffre des unités de l'autre puis de multiplier le résultat par les dizaines du 2nd nombre puis d'additionner à ce résultat la multiplication des unités des deux nombres.

Exemples :

et on ajoute 7 × 4 = 28 soit 2040+28 = 2068

Multiplication d'un nombre par 11

Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 11

Une astuce consiste à faire la somme du premier chiffre avec le second, puis de l'ajouter entre les deux

Si la somme est inférieure à 10.

Exemples :

17 × 11 = 1 (1+7) 7 = 187

35 × 11 = 3 (3+5) 5 = 385


Si la somme est supérieure à 10, on place le chiffre des unités de la somme entre les deux chiffres et on ajoute 1 aux centaines.

Exemples :

58 × 11 = 5 (5+8) 8 = 5 (13) 8 = (5+1) 3 8 = 638

93 × 11 = 9 (9+3) 3 = 9 (12) 3 = (9+1) 2 3 = 1023

Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 11

La technique est environ la même que pour les nombres à deux chiffres.

  1. On garde le premier chiffre,
  2. On ajoute juste après la somme des 2 premiers chiffres qui doit être inférieure à 10,
  3. On ajoute la somme des 2 derniers chiffres qui doit être inférieure à 10,
  4. On ajoute enfin le dernier chiffre.

Ainsi on a 123 x 11 = 1353, avec le premier chiffre 1, suivi de 3 (1+2 =3), puis 5 (2+3=5), puis le dernier chiffre 3.

Deuxième technique avec toujours le nombre 123 :

1) On conserve toujours le premier chiffre et le dernier chiffre (c'est-à-dire le 1 et le 3) du nombre 123 qui maintiendrons leur place d'origine pour le résultat final.

2) On garde les deux premiers chiffres (12) du nombre 123 et les deux derniers chiffres (23) du nombre 123 pour les additionner : 12+23=35

3) Résultat final donne le 1 3 et on ajoute au milieu la somme qu'on a trouvé ci dessus (35) cela donne 1353 par conséquent 123 x 11 = 1353

Remarquons que cet exemple ne change pas trop du premier, l'addition chiffre à chiffre étant simplement transformée en addition de nombres à deux chiffres.

Si une des deux additions donne un résultat supérieur à 10, il est plus facile de commencer à l'envers :

  1. On garde le dernier chiffre,
  2. On ajoute juste avant la somme des 2 derniers chiffres,
  3. On ajoute aussi avant la somme des 2 premiers chiffres incrémentée de 1 si l'opération 2 a donné un résultat supérieur à 10.
  4. On ajoute enfin le premier chiffre incrémenté de 1 si l'opération 3 a donné un résultat supérieur à 10.

Modulo 11 d'un nombre à 3 chiffres

Voici une technique pour calculer le modulo 11 d'un nombre à trois chiffres :

  1. On additionne le premier et le dernier chiffre,
  2. On soustrait le chiffre central du résultat de l'opération précédente,
  3. Si le résultat de la soustraction est positif, on a le modulo, s'il est négatif, on lui ajoute 11 pour avoir le modulo.

Exemples :

Cas général : Le modulo 11 d'un nombre correspond à la somme alternée des chiffres de ce nombre.

Multiplication de deux nombres entiers compris entre 10 et 19

Pour multiplier les deux nombres, la technique est la suivante :

  1. on additionne le premier nombre et les unités du deuxième nombre puis on ajoute un zéro (on multiplie par 10)
  2. on additionne au nombre obtenu le produit des unités des deux nombres

Exemple avec 17 × 18 :

  1. 17 + 8 = 25, on ajoute 0, ce qui donne 250
  2. 7 × 8 = 56 et 250 + 56 = 306, par conséquent 17 × 18 = 306

Exemple avec 14 × 17 :

  1. 14 + 7 = 21, on ajoute 0, ce qui donne 210
  2. 4 × 7 = 28 et 210 + 28 = 238, par conséquent 14 × 17 = 238

Démonstration :

Méthode du train inverse

Soit à multiplier, par exemple, 709801 (multiplicande) par 58 (multiplicateur).

L'étape préliminaire est d'écrire le multiplicateur dans l'ordre inverse, 58 devient 85. 
La méthode consiste ensuite de faire glisser le multiplicateur retourné le long des chiffres du multiplicande, 
comme un train longeant un quai, puis de faire la somme des produits.

Étape 1 
   709801
  85       on calcule 5x7 = 35,        on conserve : 35  <-- ligne d'ordre 'zéro'

Étape 2
   709801
   85      on calcule 8x7 + 5x0 = 56,  on conserve : 356
                                                      5  <-- ligne d'ordre 'un' (retenues des dizaines - 56 est écrit en diagonal)
Étape 3
   709801
    85     on calcule 8x0 + 5x9 = 45,  on conserve : 3565
                                                      54  
Étape 4
   709801
     85    on calcule 8x9 + 5x8 = 112, on conserve : 35652
                                                      541  
                                                       1   <-- ligne d'ordre 'deux' (retenues des centaines - 112 est écrit en diagonal)
Étape 5
   709801
      85   on calcule 8x8 + 5x0 = 64,  on conserve : 356524
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 6
   709801
       85  on calcule 8x0 + 5x1 = 5,   on conserve : 3565245
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 7
   709801
        85 on calcule 8x1 = 8,         on conserve : 35652458
                                                      5416  
                                                       1   
Dernière étape : on additionne les lignes des retenues ce qui donne :
   35652458
  + 5416  
  +  1   
  =41168458


Remarque : un certain nombre de méthodes spécifique de calcul mental s'explique par cette méthode générale (qui n'est qu'une autre façon de poser la multiplication). Par exemple la multiplication par'11' : on remarque immédiatement que la multiplication par'11's'effectue en conservant le premier et le dernier chiffres et les chiffres intermédiaires sont la somme de deux chiffres successifs.

Une méthode pour le calcul d'un carré

L'identités remarquable a² -b² = (a + b) x (a - b) nous permet d'écrire a² = (a + b) x (a - b) + b². Avec cette formule on diminué le calcul du carré à une multiplication simple (par exemple un multiple de 10) ainsi qu'à l'addition d'un carré énormément plus petit. Par exemple 89² = (89+11) x (89-11) + 11² = 100 x 78 + 11² = 7800 +121 = 7921, autre exemple : 57²= 50x64 + 49 = 3200 +49 = 3249.

Utiliser les carrés

On peut utiliser les carrés des entiers, pour calculer des produits pour les petits nombres ; par exemple, pour calculer 13 × 17, on peut remarquer qu'on est en train de calculer (15 – 2) × (15 + 2), par conséquent 152 – 22, selon l'une des identités remarquables, c'est-à-dire 225 – 4 = 221, ce qui donne le résultat particulièrement rapidement, puisque l'opération devient une simple soustraction.

Cela demande néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés :

  • 12 = 1
  • 22 = 4
  • 32 = 9
  • 42 = 16
  • 52 = 25
  • 62 = 36
  • 72 = 49
  • 82 = 64
  • 92 = 81
  • 102 = 100
  • 112 = 121
  • 122 = 144
  • 132 = 169
  • 142 = 196
  • 152 = 225
  • 162 = 256
  • 172 = 289
  • 182 = 324
  • 192 = 361

Il faut néanmoins remarquer que si on ne connaît que certains de ces carrés, les identités remarquables permettent de calculer les autres facilement…

Remodeler les entiers

Le calcul à effectuer ne fait pas nécessairement intervenir des nombres qui se prêtent aux techniques précédentes, néanmoins, on peut forcer le passage de diverses manières :

27 × 9 = 243, puis 243 × 2 = 486, 486 × 2 = 972, et finalement 972 × 2 = 1944.
10 × 18 = 10 × 10 + 10 × 8 = 100 + 80 = 180 et 3 × 18 = 3 × 10 + 3 × 8 = 30 + 24 = 54 ; au final on a 180 + 54 = 234 (cette technique nécessite seulement d'avoir de la mémoire et marche pour n'importe quel type de multiplication).

Multiplication croisée

Cette technique est particulièrement répandue dans les compétitions de calcul mental. En voici un exemple d'utilisation :

Soit à multiplier 8397 par 5621. On écrit les deux nombres l'un au-dessus de l'autre.

La première colonne montre un schéma correspondant à l'étape de calcul. La seconde colonne montre le calcul correspondant. La troisième colonne indique le nombre posé (écrit) et la quatrième colonne montre la retenue.

Schéma Calcul Posé Retenu
(7\times1) = 7 7 0
(9 \times 1) + (7 \times 2) + 0= 23 3 2
 (3 \times 1) + (9 \times 2) + (7 \times 6) + 2 = 65 5 6
 (8 \times 1) + (3 \times 2) + (9 \times 6) + (7 \times 5) + 6 = 109 9 10
(8 \times 2) + (3 \times 6) + (9 \times 5) + 10 = 89 9 8
(8 \times 6) + (3 \times 5) + 8 = 71 1 7
(8 \times 5) + 7 = 47 7 4


Remarque : dans les étapes de calcul, la retenue peut quelquefois être supérieure à 9.

On écrit la dernière retenue puis l'ensemble des résultats posés dans l'ordre inverse de celui où ils ont été calculés : soit : 4, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 7. 8397 \times 5621 = 47199537.

Vérifier son résultat

Ordre de grandeur

Si en multipliant deux nombres plus petits que 100 on trouve plus de 10 000, il y a assurément un problème ! Ces considérations sont particulièrement empiriques et ne repèrent que les erreurs grossières, mais c'est la méthode la plus rapide. Ainsi la relativité, art complexe s'il en est , est là pour nous raisonner.

Chiffre des unités

Si vous multipliez les chiffres des unités de a et b, le chiffre des unités du résultat est le chiffre des unités de a × b ; exemple : 27 × 72 doit finir par un 4. Cette vérification sert à vérifier un chiffre avec certitude.

Calcul d'un quotient : a ÷ b

Pour calculer un quotient, on peut diviser le dividende et le diviseur par le même nombre :

Calcul approximatif (Ordre de grandeur)

Commencer les produits par la partie gauche et simplifier : 117 × 34 = ?

Toutes les méthodes exposées dans l'article peuvent se combiner.

117 × 34 ≠ 120 × 35 = 120 × 70 ÷ 2 = 60 × 70 = 4200
117 × 34 ≠ 120 × (100 ÷ 3) = 4000

Calcul approché

La connaissance du développement limité d'une fonction au voisinage d'un point (0 surtout) sert à calculer des valeurs approchées.

Exemple
\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}ˆn xˆi + o(x) par conséquent \frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03 car 0, 97 = 1 − 0, 03, en considérant que 0, 03 est proche de zéro. On peut affiner le calcul : \frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03 + 0,03ˆ2, soit 1, 0309.

Calcul approximatif d'une racine carrée

Cette technique permet d'obtenir à peu près trois bonnes décimales par opération. On doit savoir que (ab) 2 = a2 – 2ab + b2 Il suffit de choisir un b tellement petit que le terme b2 est négligeable. A titre d'exemple, si on a la racine de 15 à calculer, on sait que la racine de 16 est 4. On doit prendre un b qui fait que (4 – b) 2 = 15 ou presque. Puisque (4 – b) 2 = 16 – 2 × 4 × b à peu près, on prend b = (16 – 15) ÷ (2 × 4), c'est-à-dire 1/8 ou 0, 125. La racine carrée de 15 vaut par conséquent à peu près 4 – 0, 125 ou 3, 875. Si on veut plus de précision, on redébute. Puisque notre 4 d'origine était à notre choix, on peut recommencer avec 3, 88 au lieu, si on trouve que 3, 875 est trop précis. Nous avons par conséquent (3, 88 – b) 2 = 15. b = (3, 882 - 15) ÷ (2 × 3, 88) = (15, 054 – 15) ÷ (7, 76) = à peu près 0, 054 ÷ 8 par conséquent à peu près 0, 00675. La racine de 15 est désormais évaluée à 3, 88 – 0, 00675 ou 3, 87325. La valeur donnée par une calculatrice est 3, 8730.

Calcul exact d'une racine carrée

Cette technique permet d'obtenir tout autant de décimales que indispensable, en combinant additions et soustractions. Le procédé est itératif et présente l'avantage d'apporter un chiffre exact de la racine à chaque itération.

Explication (et exemple avec le calcul de la racine de 5337)  :

Ainsi en première approximation, il est envisageable de trouver que la racine de 5337 est 73, 05.



Méthode de calcul des carrés

Cette méthode se base sur une démonstration mathématique alliant suites et sommes. Elle n'est valable, évidemment, que pour des carrés entiers, positifs, ou négatifs. En effet, (-n) ² = n². D'où cette méthode permet aussi de calculer des carrés négatifs. Soit un entier n² à calculer.

1) Soit n² à calculer. Tout d'abord, choisissez un nombre entier p. Élevez p au carré et calculez le résultat qu'on nommera A.

2) Calculez désormais (p+1) ². On nommera ce résultat B. Il est important que ce soit le carré consécutif du nombre p que vous avez choisi en 1).

Vous avez alors :

p² = A

(p+1) ² = B


3) Considérez désormais l'expression B-A. Soit B-A = d (D pour différence de B-A)

Vous avez alors :

p² = A

(p+1) ² = B

B-A = d


4) Considérons désormais e tel que e = n- (p+1). Il est vital que ce soit (p+1) et pas (p+1) ². e représente alors la différence entre le carré de n a calculer (ou n²) avec le carré consécutif du nombre choisi p.


Ainsi vous avez :

p² = A

(p+1) ² = B

B-A = D

e = n- (p+1)

Vous n'avez plus qu'a utiliser la formule suivante :

n² = B + e (e+1) + De

Exemple

Soit à calculer 25². D'où n = 25 puisque on veut le carré de 25.

on choisit un nombre p.

je choisis p =4

je calcule A = p² = 16

je calcule le carré consécutif de p qui est égal à B = (p+1) ² = (4+1) ² = 5² = 25

Je calcule D = B-A = 25-16 = 9

Je calcule e = n- (p+1) = 25- (4+1) = 25-5 = 20


j'ai donc : B = 25

D = 9

e= 20


or n² = 25² = B + e (e+1) + De

25² = 25 + 20x21 + 9x20

25² = 25 + 420 + 180

25² = 625.




Bibliographie

Liens externes

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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