Technique de la division dans l'Égypte antique

La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions principales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.



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La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions principales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

Méthode

La division chez les anciens Égyptiens était traitée comme l'inverse d'une multiplication.

Soit l'opération de division a÷ b. L'égyptien se demandait par quoi multiplier le diviseur b pour trouver le dividende a.

Division dont le résultat est un nombre entier

Prenons comme exemple l'opération à effectuer 264÷ 3. Par quoi doit-on multiplier 3 pour trouver 264 ? Pour cela l'une des méthodes à employer est d'établir, comme pour la multiplication, la table des puissances de deux. La première colonne de cette table consiste par conséquent à regrouper les puissances de deux alors que la seconde colonne regroupe les valeurs de 3, multipliées successivement par 2, 2 2, 2 3, 2 4, etc jusqu'à atteindre la plus grande valeur envisageable inférieure au dividende qu'est 264. Cette première étape se présente comme suit :

  • 1 : 3
  • 2 : 6 (3x2)
  • 4 : 12 (6x2)
  • 8 : 24 (12x2)
  • 16 : 48 (24x2)
  • 32 : 96 (48x2)
  • 64 : 192 (96x2)

La seconde étape consiste à recomposer le dividende 264 en additionnant les nombres de la seconde colonne, soit 192+48+24=264. Le résultat de la division est par conséquent 64+16+8=88.264÷3=88.

En résumé, l'égyptien notait :

1 3
2 6
4 12
? 8 24
? 16 48
32 96
? 64 192

88  264

Le résultat est 88.

Division dont le résultat est un nombre fractionnaire

L'exemple traité ci-dessus est simple et conduit à un résultat entier. Or, il se peut que le résultat de l'opération soit un nombre fractionnaire :

Exemple : 212÷6

? 1 6
? 2 12
4 24
8 48
16 96
? 32 192
? 1/3 2

35+1/3  212

La table des puissances de deux ne sert à recomposer comme valeur la plus proche du dividende que 210. Il reste par conséquent 2, représentant 1/3 de 6. Donc le résultat de la division est 35+1/3.

Cet autre exemple, autrement plus complexe que ceux présentés jusqu'alors, décrit la division de 1660 par 33 :

1 33
1? 2 66
4 132
8 264
2? 16 528
3? 32 1056
4? 1/4 8 1/4
5? 1/33 1
6? 1/44 1/2 1/4

50+1/4+1/33+1/44  1660
Explication 

L'addition des termes associés aux puissances de deux aboutit à 66 + 528 + 1056, soit 1650. À ce stade, il est impossible de continuer l'association aux puissances de deux sans pouvoir dépasser la valeur de 1660. Donc, il convient de chercher des fractions de 33 plus petites que dix, dix étant le reste à combler. Au niveau 4 de notre opération, l'addition de 1/4 * 33 permet d'atteindre la valeur 1658+1/4 (car 33/4 = 32/4 + 1/4 = 8 + 1/4). Il manque toujours 1+3/4 (soit 1+1/2+1/4). 1/33 de 33 incrémente notre grand nombre de 1. Nous atteignons 1659+1/4. Il ne manque plus que 3/4 (soit 1/2+1/4). 1/44 de 33 nous apporte les 3/4 manquant. 1660 étant atteint, le résultat de notre division est : 50+1/4+1/33+1/44, notée 50 1/4 1/33 1/44. Cette méthode de calcul dont le résultat est fractionnaire nous donne par conséquent un résultat rigoureusement exact.

Division dont l'un au moins des opérateurs est fractionnaire

Cette technique permettait aussi d'opérer avec des nombres fractionnaires.

Exemple : 121 ÷ 5 1/2 (soit 121÷5, 5)

1 5 1/2
? 2 11
? 4 22
8 44
? 16 88

22  121

Soit 121 ÷ 5 1/2 = 22


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