Symétrie axiale

En mathématiques élémentaires, la symétrie axiale ou symétrie d'axe (d) est la transformation du plan, qui au point M associe son symétrique comparé à la droite (d).

Le symétrique du point M comparé à la droite (d) peut être obtenu par simple pliage de la feuille de papier suivant la droite (d) mais il existe aussi une définition mathématique de cette notion et des méthodes géométriques de construction à la règle et/ou au compas.

La symétrie axiale porte aussi le nom de symétrie orthogonale d'axe (d) ou de réflexion d'axe (d).

Définition

Soit (d) une droite et M un point non localisé sur (d).

On dit que le point M' est le symétrique de M comparé à (d) si, et uniquement si, (d) est la médiatrice de [ MM' ].

On dit tandis que (d) est l'axe de symétrie du segment [ MM' ].

On convient de dire que tout point de (d) est son propre symétrique.

Constructions du symétrique d'un point comparé à une droite

A la règle graduée ainsi qu'à l'équerre

• Tracer la droite passant par M et perpendiculaire à (d).
• Soit H le point d'intersection de cette droite et de (d).
• Placer sur (MH) le point M' tel que MH = HM'.

Alors, M' est le symétrique de M comparé à (d).

Au compas seul

• Choisir deux points différents A et B sur la droite (d).
• Tracer l'arc de cercle de centre A et de rayon AM.
• Tracer l'arc de cercle de centre B et de rayon BM.
• Ces deux arcs de cercle se recoupent en un point M', qui est le symétrique de M comparé à (d).

Propriétés

NB : Ici, quand nous disons "symétrique", il faut comprendre symétrique comparé à une droite.

• Deux figures sont symétriques pa rapport à (d) quand elles se superposent après pliage le long de la droite (d) ;
• Si le point M' est le symétrique du point M comparé à (d) alors le point M est le symétrique du point M' comparé à (d). On dit que la symétrie axiale est involutive;
• Le symétrique d'une droite est une droite. Si la première droite coupe l'axe (d) en M, la seconde coupera l'axe (d) au même point. Si l'une des droites est parallèle à l'axe de symétrie, il en est de même de la seconde. Si une droite est perpendiculaire à l'axe de symétrie, elle est son propre symétrique;
• Le symétrique d'un cercle C de centre O et de rayon r est un cercle C'de centre O', le symétrique de O, et de même rayon r.
• Propriété "de conservation" : La symétrie axiale est une isométrie, elle conserve :
  • les longueurs;
  • les angles (le symétrique d'un angle est un angle de même mesure) ;

  et conserve par conséquent aussi :

  • les parallèles (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles) ;
  • les aires (le symétrique d'une figure est une figure de même aire) ;
  • les périmètres (le symétrique d'une figure est une figure de même périmètre).

Mais elle ne conserve pas l'orientation : lorsque le point M tourne autour de O dans le sens des aiguilles d'une montre, son symétrique M' tourne autour de O'dans le sens inverse.

Voir aussi

• Symétrie centrale (mathématiques élémentaires) ;
• Symétrie (transformation géométrique) .

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