Symétrie

Une symétrie géométrique est une transformation géométrique qui est involutive : quand on l'applique deux fois à un point ou à une figure on retrouve la figure de départ.



Catégories :

Transformation géométrique

Recherche sur Google Images :


Source image : educastream.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • L'image d'un point A par la symétrie de centre O (ou le symétrique de A comparé à O) est le ... Si le centre de la symétrie est sur la droite en question, ... Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont les médiatrices... (source : www4b.ac-lille)

Une symétrie géométrique est une transformation géométrique qui est involutive : quand on l'applique deux fois à un point ou à une figure on retrouve la figure de départ. Parmi les symétries courantes, on peut citer la réflexion, la symétrie centrale, etc.

Une symétrie géométrique est un cas spécifique de symétrie. Il existe plusieurs sortes de symétries dans le plan ou dans l'espace.

Remarque : Le terme de symétrie possède aussi un autre sens en mathématiques. Dans l'expression groupe de symétrie, une symétrie sert à désigner une isométrie quelconque. Ce terme sert à désigner soit une translation, soit un automorphisme orthogonal, soit la composée des deux.

Symétrie dans le plan

Symétrie comparé à un point

Présentation

La symétrie de centre O est la transformation qui, à tout point M, associe le point M'tel que O soit le milieu de [MM'].

Symcentre.png
Construction : Tracez la droite (d) passant par A et O. Prolongez l'au-delà de O. Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en A'.

Le seul point invariant de cette symétrie est le point O.

Une symétrie de centre O est aussi une rotation d'angle plat et une homothétie de centre O et de rapport -1

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie C si elle est invariante par la symétrie de centre C.

Exemples de centre de symétrie :

Parallélogramme.svg

Quand le centre de symétrie est à l'origine du repère, la fonction est dite impaire. Dans ce cas l'expression précédente se simplifie en : f (- h) = - f (h).

Groupe des symétries centrales-translations

La composée de deux symétries de centres O et O', sO' o sO est une translation de vecteur 2\overrightarrow{OO'}

Symetrie centre comp.png
Le théorème des milieux sert à remarquer que \overrightarrow{MM''}=2\overrightarrow{OO'}

Cette propriété sert à définir un premier groupe de transformations du plan : celui des symétries centrales-translations. En effet, en composant deux symétries centrales ou translations, on obtient une symétrie centrale ou une translation. Et, pour obtenir l'application semblable, il suffit de composer une translation de vecteur u par la translation de vecteur -u, ou de composer une symétrie centrale par elle-même.

La symétrie centrale conserve les distances et les angles orientés. C'est par conséquent une isométrie positive ou déplacement. Le groupe défini auparavant est par conséquent un sous-groupe du groupe des déplacements.

Symétrie orthogonale comparé à une droite

Présentation

On les nomme aussi des réflexions d'axe (d) . La réflexion d'axe (d) est la transformation du plan qui laisse l'ensemble des points de (d) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (d), associe le point M'tel que (d) soit la médiatrice de [MM']. Comme il existe deux définitions équivalentes de la médiatrice, on connaît ainsi deux constructions équivalentes du point M'.

Construction

Données : l'axe de symétrie (d), le point A.

Objectif : construire A'symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe (d).

Tracez une droite perpendiculaire à (d) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.
Avec le compas pointé en H et écarté jusqu'à A, recouper la droite (AH) en A'
Le point B étant donné, on cherche le point B'tel que l'axe (d) doit être la médiatrice de [BB'].
Pour construire le point B'nous allons utiliser la propriété suivante :Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Nous choisissons deux points quelconques c1 et c2 de (d) et nous allons déterminer un point B'tel que c1B=c1B'et c2B=c2B'.
Ainsi nous sommes certains que (c1c2), c'est-à-dire d, est la médiatrice de [BB'].
Choisissez c1 et c2 sur (d).
Placez la pointe sèche du compas sur c1 et écartez l'autre branche jusqu'à B. Tracez un arc.
Exécutez la même chose avec la pointe sèche en c2.
Les deux arcs se coupent en B et en B'.

Symetrie axe.png

Axe de symétrie

Une figure possède un axe de symétrie (d) si et uniquement si elle est invariante par la réflexion d'axe (d)

Exemples de figures usuelles :

Une figure possédant deux axes de symétrie perpendiculaires a pour centre de symétrie le point d'intersection des deux droites. A titre d'exemple, les lettres H, I, O, X dans des polices de caractère simples (non cursives et non italiques) possèdent fréquemment deux axes de symétrie perpendiculaires, par conséquent aussi un centre de symétrie, de même le rectangle, le losange et le carré.

Réflexion et groupe des isométries

La réflexion conserve les distances et les angles. C'est par conséquent une isométrie. Mais elle ne conserve pas l'orientation (voir chiralité). On dit que c'est un antidéplacement.

Composition des réflexions

La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation, de distance égale à deux fois la distance entre ces axes.

Dans l'image ci-contre, les propriétés vectorielles des milieux permettent de dire que
\overrightarrow{MM''} = 2 \overrightarrow{HH'} = 2 \vec{u}

Symetrie axe comp1.png

La composée de deux réflexions d'axes sécants est une rotation, d'angle égal au double de l'angle constitué entre les deux axes.

Dans l'image ci-contre, les propriétés sur les bissectrices permettent de dire que
\left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM''}\right) = 2 \left(\overrightarrow{OH}, \overrightarrow{OH'}\right) = 2 \alpha

Symetrie axe comp2.png

On remarque tandis que la totalité des réflexions génère tout la totalité des isométries.

Symétrie oblique

La symétrie comparé à une droite (d) suivant une direction (d') (non parallèle à (d) ) est la transformation qui laisse l'ensemble des points de (d) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (d) associe le point M' tel que la droite (MM') soit parallèle à (d') et le milieu de [MM'] soit sur (d)

Symetrie oblique.png

Cette symétrie est bien involutive : le symétrique de M' est bien M. Elle offre moins d'intérêt que ses cousines car elle ne conserve pas les distances : elle déforme les figures. Cependant, elle conserve les barycentres et fait par conséquent partie des transformations affines.

Symétrie dans l'espace

Symétrie centrale

Symetrie centrale espace2.png

On retrouve la même définition et les mêmes propriétés que pour la symétrie centrale dans le plan, à ceci près qu'une symétrie centrale ne conserve pas l'orientation dans l'espace.



Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main gauche.




Symétrie orthogonale comparé à une droite

Symetrie axe espace.png

On retrouve la même définition que dans le plan. Une symétrie orthogonale comparé à une droite est aussi une rotation d'axe (d) et d'angle plat.

Au contraire de ce qui se passe dans le plan, une telle symétrie dans l'espace conserve l'orientation.


Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main droite.


Symétrie orthogonale comparé à un plan

Symplan.png

La symétrie orthogonale comparé au plan (P) est la transformation qui laisse l'ensemble des points de (P) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (P), associe le point M' tel que (P) soit le plan médiateur de [MM']


Une telle symétrie conserve les distances et les angles mais ne conserve pas l'orientation. C'est pourquoi, lorsque vous levez la main droite devant votre miroir, votre image lève sa main gauche.

On démontre que la totalité des symétries comparé à des plans génère par composition tout la totalité des isométries de l'espace

Les symétries obliques

On peut tout autant définir des symétries d'axe (d) selon la direction (P) ou des symétries comparé à (P) suivant la direction (d), à condition que tout sous-espace égal ou parallèle à (P) ne contienne pas entièrement (d) ni ne soit entièrement contenu dans (d) et que leur intersection se diminue à un seul point (sinon ces transformations ne sont pas des symétries mais des projections).

Mais ces transformations ne sont pas des isométries si (d) et (P) ne sont pas orthogonaux. Ces transformations (de même que les projections) conservent cependant les barycentres et sont des cas spécifiques de transformations affines de l'espace.

Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique).
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu