Superficie

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on sert à désigner fréquemment cette mesure par le terme «surface» lui-même.



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Définitions :

  • Mesure d'une surface reconnue quant à sa longueur ainsi qu'à sa largeur, sans égard à sa profondeur, à son épaisseur; étendue; Surface des ... (source : fr.wiktionary)
La superficie du carré vaut ici 4.

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on sert à désigner fréquemment cette mesure par le terme «surface» lui-même (par exemple, on parle de la «surface d'un appartement» tandis qu'il faudrait parler de sa superficie). Le terme aire (du bas latin æra, espace plan) est utilisé en mathématiques, tandis que superficie lui est préféré dans les autres domaines.

En pratique, la superficie est utilisée pour déterminer les prix d'un appartement, le rendement d'un terrain agricole ou la quantité de peinture à utiliser pour colorer une surface. L'unité d'aire, dans le système international d'unités est le mètre carré (m²), quoique l'hectare (1 ha = 10 000 m²) lui soit fréquemment préféré pour les terrains.

La détermination de la surface de terrains agricoles puis de figures abstraites a été à l'origine de la géométrie et un moteur important du développement de cette science et des mathématiques généralement.

Du point de vue mathématique, l'aire d'une surface est un nombre réel positif qui répond à des propriétés d'additivité (si on partage une surface, la somme des aires de chaque morceau est égale à la surface d'origine) et de conservation par des isométries (déplacer une surface ne modifie pas son aire). L'aire des surfaces complexes est déterminée avec ces propriétés et du fait que l'aire d'un carré de côté 1 est égale à 1 avec un raisonnement par découpage, déplacement et collage peut-être complété par un passage à la limite ou d'autres méthodes, comme le calcul intégral.

Propriétés

Article détaillé : Théorie de la mesure.

La superficie S d'une surface suit quatre propriétés[1] :

  1. La superficie d'une surface est un nombre positif ou nul.
  2. Une unité de longueur étant choisie, la superficie du carré de côté 1 est égale à 1.
  3. La superficie est additive. Cela veut dire que, les superficies de deux surfaces disjointes A et B étant données, la superficie de leur union est la somme de leurs superficies :
    S (AB) = S (A) + S (B).
    Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on «découpe» une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.
  4. La superficie est invariante par isométrie. Cela veut dire qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie sa superficie.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A1, A2, ... An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S (A1), S (A2), ... S (An), alors

S (A1A2 ∪... ∪An) = S (A1) + S (A2) +... + S (An)

ce qui se note plus rigoureusement :

S\left(\bigcup_{k=1}ˆn A_k\right) = \sum_{k=1}ˆn S(A_k).

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est par conséquent étendue à une famille illimitée dénombrable de surfaces planes (An) nN deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

S\left(\bigcup_{k=1}ˆ\infty A_k\right) = \sum_{k=1}ˆ\infty S(A_k).

On parle alors de σ-additivité[2] («sigma-additivité»).

Calcul de l'aire

La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1, suivie du rectangle. Avec l'aire du rectangle, il est envisageable de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'un parallélogramme, puis celle d'un triangle et , par suite, d'un polygone quelconque.

La formule de l'aire d'un disque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est principale. Une surface qui peut être «correctement» approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.

Occasionnellemen, l'analyse vient au secours de la géométrie, quand les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certaines aires sont identiques à des intégrales qui peuvent quelquefois être calculées à partir de primitives d'une fonction.

D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.

Surfaces usuelles

Article détaillé : Aire de surfaces usuelles.

Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes[3] et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques fréquemment utilisés pour résoudre les problèmes d'aire[4] : «coupé-collé»[5], quelquefois en imaginant une illimitété de découpages par des considérations sur les limites.

Rectangle

Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient 5 × 4 = 20 carrés unité. Son aire est par conséquent égale à 20.

Aire d'un rectangle — L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

Démonstration

Un rectangle[6] dont la longueur et la largeur sont identiques à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est par conséquent égale à m × n.

Si les dimensions du rectangle sont des fractions mp et nq, on considère qu'on a «découpé» le rectangle de dimensions m et n en p parts identiques, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts identiques. Le rectangle de dimensions m et n contient par conséquent p × q fois celui de dimensions mp et nq. L'aire de ce dernier rectangle est par conséquent égale à mp × nq.

Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels[7].

Cas spécifique du carré

Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont identiques à un même nombre nommé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c2. Réciproquement, tout nombre de la forme c2 (où c est positif) peut être reconnu comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c2 se lit «c au carré» ou «le carré de c»[8].

Triangle

Article détaillé : Aire d'un triangle.

La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est[9] :

Aire d'un triangle — L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être reconnu comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est par conséquent égale à \frac{a \times b}{2}.

D'une façon plus générale, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est nommé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :

A = \frac{b \times h}{2}

D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et , par suite, de tout polygone en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles[10]. C'est surtout en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.

Disque

Théorème — L'aire d'un disque de rayon R est égale à π × R 2.

La démonstration de ce résultat[11] repose sur un passage à la limite en partageant le disque en une illimitété de triangles.

En considérant n points A1, A2, ... An régulièrement espacés sur un cercle de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles OA1A2, OA2A3, etc. Tous ces triangles ont une hauteur égale à R et les bases associées, pour tous ces triangles, sont identiques à la distance A1A2. L'aire de chaque triangle est par conséquent 12R × A1A2 et celle du polygone régulier A1A2... An est 12R × nA1A2. Quand le nombre n de points tend vers l'infini, le périmètre du polygone tend à se confondre avec celui du cercle dans lequel il est inscrit, par conséquent nA1A2 tend vers 2πR. Ainsi, 12R × nA1A2 tend vers 12R × 2πR ce qui donne bien le résultat annoncé.

Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour n allant de 3 à 10.

Intégrale

L'aire du domaine plan S est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a ; b].

Le plan étant pourvu d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique f positive et continue, l'intégrale de Riemann de f sur un intervalle [a ; b] est l'aire du domaine défini[12] par :

Cette intégrale est notée \int_aˆb f(x)\text{d}x.

Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes surtout. Occasionnellemen, un calcul de limite sert à déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement comparable à celui utilisé ci-dessus pour le disque[13].

Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel sert à prouver[14] que

\int_aˆb f(x)\text{d}x = F(b) - F(a),

F est une primitive de f sur [a ; b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir la totalité des aires calculables par «découpage» vues auparavant.

Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont par conséquent un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, surtout les probabilités ou les statistiques par le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.

Méthode de Monte Carlo

Article détaillé : Méthode de Monte Carlo.

Si le calcul d'aires permet de perfectionner la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est aussi vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dans S. On dénombre alors le nombre total nS de points et le nombre nL qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de nL sur nS. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points nS sera grand.

Problèmes d'aire

Quadrature du cercle

Article détaillé : Quadrature du cercle.

Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore[15] (Ve siècle av. J. -C. ) jusqu'à 1882, quand Ferdinand von Lindemann prouve que π est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

Confusion entre aire et périmètre

Article connexe : Périmètre.
Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.

Le périmètre est , avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Il est habituel de confondre ces deux notions[16] ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. A titre d'exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1 :10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 0002. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. A titre d'exemple, un rectangle possédant une aire égale à un mètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0, 5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais également 0, 001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (Ve siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés «équitablement» des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes[17], [18]. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et par conséquent une récolte) médiocre.

Isopérimétrie, surface minimale

Des yeux à la surface d'un bouillon.
Articles détaillés : Isopérimétrie et surface minimale.

L'isopérimétrie traite, surtout, la question de trouver la surface la plus vaste envisageable, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque[19]. Ceci explique pourquoi, surtout, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories particulièrement élaborées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie quelquefois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste envisageable, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. Généralement, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste envisageable pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. A titre d'exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, nommé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{pˆ2} \le 1

Le terme de gauche, est nommé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et uniquement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans[20], ce n'est qu'en 1895, avec méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique[21]. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est la sphère, ce qui entraîne surtout la forme des bulles de savon.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus particulièrement élaborés, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage de chacun de ses points. Cela veut dire qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande[22]. Pour un ensemble donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre[23] car de telles surfaces minimisent aussi les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est nommée en mathématiques problème de Plateau, elle nécessite des raisonnements de calcul différentiel[24].

Grande surface

Articles détaillés : surface spécifique et fractale.
Une feuille d'arbre, large et peu épaisse.

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie envisageable se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une surface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante verte est le plus souvent particulièrement peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface envisageable au soleil, pour faciliter la photosynthèse[25]. Mais une grande surface du limbe foliaire de la feuille facilite aussi la transpiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins, cactus... ) ont ainsi fréquemment des feuilles plus épaisses pour diminuer leur superficie et par conséquent lutter contre le dessèchement[26].

Premières étapes de la construction d'une éponge de Menger.

Une autre stratégie envisageable consiste à prendre une solide ainsi qu'à le percer de la plupart de trous. A titre d'exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'un cube qu'on partage trois tranches identiques suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet fractal qui possède une aire illimitée et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) identiques à celles du cube de départ[27]. Des formes particulièrement découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, quand il s'agit de faciliter les échanges entre deux milieux : par exemple les poumons de mammifères (pour maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit) [27], les branchies, intestins...

La surface spécifique d'un matériau est sa superficie par unité de masse[28] : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement, plus il est poreux. La surface spécifique est surtout une caractéristique physique importante d'un sol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs ainsi qu'à les échanger avec des plantes[29], [30].

Histoire

Haute Antiquité

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans l'obligation de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil[31]. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires[32].

À Babylone, l'aire A était calculée à partir du périmètre P d'un cercle suivant une procédure équivalente à la formule[31] :

A = \dfrac{Pˆ2}{12}.

Même quand ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante[33], comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était 1 + 23 :

Méthode babylonienne — Triple 1 + 23, le dessus de la bûche, et 5, la circonférence de la bûche, viendra. Prends le carré de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par 112, la constante, et 2 + 112, l'aire, viendra.

L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.

En Égypte[31], [32], le calcul s'effectuait à partir du diamètre D :

A =\left(\dfrac 8 9 D\right)ˆ2

Le raisonnement consistait certainement à inscrire un octogone et un cercle dans un carré[31], [32]. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

\dfrac 7 9 Dˆ2 = \dfrac{63}{81} Dˆ2.

L'aire du disque est reconnue comme un peu supérieure à celle de l'octogone, soit

A=\dfrac{64}{81} Dˆ2 = \left(\dfrac 8 9 D\right)ˆ2.

La Grèce antique

(a + b) 2 = a2 + b2 + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

Mathématiques arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Voir aussi

Bibliographie

Notes

  1. Zalgaller Kudryavtsev.
  2. Faraut 2006, Avant-propos.
  3. Ce sont par exemple les trois qui sont rappelées dans Faraut 2006, Avant-propos.
  4. Perrin.
  5. L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dans Christine Proust, «Hoyrup, 2002», dans Éducmath, 2007 [texte intégral] 
  6. On trouvera une démonstration des cas entiers et fractionnaires, basés sur des exemples, dans Tannery 1903, p.  93-94. Pour une version plus complète, voir Perrin, p.  9.
  7. Perrin, p.  9.
  8. Amiot 1870, p.  159.
  9. Amiot 1870, p.  160.
  10. Amiot 1870, p.  162-163.
  11. Donnée par exemple par Tannery 1903.
  12. D'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est surtout celle donnée par le Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p.  67)
  13. Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p.  67)
  14. Tannery 1903, p.  277 et suivantes pour un exposé complet avec démonstrations.
  15. Colette, tome 1, p.  55
  16. Dominique Barataud, «Aire et périmètre» sur http ://eduscol. education. fr/, dossier d'activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l'enseignement des mathématiques en systèmes relais. Consulté le 5 janvier 2010
  17. T. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. 2, Dover Publications, 1981, p 206 (ISBN 0486240746) .
  18. B. Teissier, Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre, Institut de Mathématiques de Jussieu. Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy p 2.
  19. Le problème isopérimétrique Irem d'Orléans p 2.
  20. Le problème isopérimétrique Irem d'Orléans p.  1.
  21. B. Teissier, Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre, Institut de Mathématiques de Jussieu. Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy p.  6
  22. Troyanov 2009, p.  318, 336.
  23. Voir Qu'est-ce qu'une surface minimale ?, vidéos du Palais de la Découverte.
  24. Troyanov 2009, p.  318, 336.
  25. Hopkins 2003, p.  159.
  26. Hopkins 2003, p.  148, 149.
  27. Versteegh et al. 2005, p.  73.
  28. Hopkins 2003, p.  78.
  29. Hopkins 2003, p.  78.
  30. Joseph et al. 2009, chap.  21.
  31. Dahan-Dalmedico et Pfeiffer, p.  120, 121
  32. Colette, tome 1, p.  41, 42
  33. Traduction libre et adaptation depuis Robson 2008, p.  65.
  34. Colette, tome 1, p.  95.

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