Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers particulièrement connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit...



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Suite d'entiers

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Suite de nombres introduite p a r le mathématicien italien Fibonacci..... Le ratio entre deux nombres successifs de la suite de Fibonacci tend vers le ... (source : villemin.gerard.free)
  • SUITE DE FIBONACCI - NOMBRE D'OR. TS. Dans ce devoir, on s'interesse aux suites (un) qui vérifient la relation de récurrence : un+2 = un+1 + un... (source : pagesperso-orange)

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers particulièrement connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d'une population de lapins :

«Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de l'ensemble des côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple génère l'ensemble des mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?»

Ce problème est à l'origine de la suite dont le n\,-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au n\,-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :

Présentation mathématique

Formule de récurrence

Notons \mathcal{F}_n le nombre de couples de lapins au début du mois n\,. Jusqu'à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note : \mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=1). Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il génère un autre couple de lapins. On note alors \mathcal{F}_3=2. Plaçons-nous désormais au mois n\, et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard (n + 2)\, : \mathcal{F}_{n+2} sert à désigner la somme des couples de lapins au mois n + 1\, et des couples nouvellement génèrés. Or, n'engendrent au mois (n + 2)\, que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existent deux mois jusque là. On a donc :

\mathcal{F}_{n+2}=\mathcal{F}_{n+1}+\mathcal{F}_n.

Nous obtenons ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes qui ont précédé ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes qui ont précédé… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, \mathcal{F}_1 et \mathcal{F}_2, qui sont connus.

Nombres de Fibonacci

Les termes de cette suite sont nommés nombres de Fibonacci (suite A000045 de l'ŒIS)  :

\mathcal{F}_0 \mathcal{F}_1 \mathcal{F}_2 \mathcal{F}_3 \mathcal{F}_4 \mathcal{F}_5 \mathcal{F}_6 \mathcal{F}_7 \mathcal{F}_8 \mathcal{F}_9 \mathcal{F}_{10} \mathcal{F}_{11} \mathcal{F}_{12} \mathcal{F}_{13} \mathcal{F}_{14} \mathcal{F}_{15} \mathcal{F}_{16} \mathcal{F}_{17} \mathcal{F}_{18} \mathcal{F}_{19} \mathcal{F}_{20} \mathcal{F}_{21} \mathcal{F}_{22} \mathcal{F}_{23} \mathcal{F}_{24} \mathcal{F}_{25} ... \mathcal{F}_{n}
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 ... \mathcal F_{n-1}+\mathcal F_{n-2}

Expression fonctionnelle

On souhaite établir une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci, c'est-à-dire une expression telle que le calcul du nombre de couples pour une valeur de n\, donnée ne présuppose la connaissance d'aucun nombre de couples pour une quelconque autre valeur de n\,, ce que ne permet pas la formule de récurrence. Comme la suite de Fibonacci est récurrente d'ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré : xˆ2 = x + 1\,

xˆ2 - x - 1 =0\,.

Le calcul du discriminant de cette équation donne les deux solutions du polynôme :

x_1 = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\, et x_2 = \varphi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}= -\frac{1}{\varphi}\,. (\varphi\, est le nombre d'or).

Les suites (\varphiˆn) et (\varphi'ˆn) génèrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant un + 2 = un + 1 + un. Il en résulte que :

\mathcal{F}_n = \alpha{}\varphiˆn+\beta\varphi'ˆn (\alpha\, et \beta\, sont des constantes à déterminer à partir de \mathcal{F}_0 et \mathcal{F}_1. )

Les conditions initiales \mathcal{F}_0=0 et \mathcal{F}_1=1 amènent au dispositif suivant :

\left\{\begin{matrix} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.

Ce qui donne le résultat suivant :

\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} et \beta = -\frac{1}{\sqrt{5}}.

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée, qui porte le nom de formule de Binet :

\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphiˆn-\varphi'ˆn).

Il existe d'autres démonstrations telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte cette formule se démontre aussi par récurrence.

La suite pour les nombres négatifs

En général, on n'étudie pas les nombres de Fibonacci pour des valeurs négatives de n, quoiqu'ils existent et soient aisément déterminables avec la formule récurrente. Il existe ainsi une règle particulièrement simple pour calculer ces nombres lorsque n < 0 :


Ainsi, autour de 0, la séquence est :

\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots

Limite des quotients

Comme l'a remarqué Johannes Kepler, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire \frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}, converge vers le nombre d'or, noté \varphi\,. Mathématiquement, le résultat s'obtient ainsi :

\lim_{n \to \infty}\frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n} =\lim_{n \to \infty}\frac{\varphiˆ{n+1}-\varphi'ˆ{n+1}}{\varphiˆn-\varphi'ˆn}
=\lim_{n \to \infty}\varphi\frac{1-(\varphi'/\varphi)ˆ{n+1}}{1-(\varphi'/\varphi)ˆn} (en simplifiant par \varphiˆn\,)
=\varphi\, (comme \varphi'/\varphi \in ]-1;1[, \lim_{n \to \infty}(\varphi'/\varphi)ˆn = 0)

Plus exactement, lorsque n\, tend vers l'infini, le second terme tend vers zéro car \varphi' \in ]-1 ; 1[, ainsi les nombres de Fibonacci se comportent comme une exponentielle multipliée par le facteur \frac{1}{\sqrt{5}}, soit \frac{\varphiˆn}{\sqrt{5}}.

En réalité, dès le rang n=1\,, le deuxième terme {\varphi'ˆn \over \sqrt{5}} est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus seulement à partir du premier terme, en arrondissant à l'entier le plus proche.

Bases et espaces vectoriels

Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci

Avec la formule de Binet

Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité particulièrement pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du dispositif utilisé. Généralement, on obtient les bonnes valeurs jusqu'à \mathcal{F}_{71} = 308061521170130, sur ordinateur ou sur calculatrice.

Notons qu'au-delà de \mathcal{F}_{79}, les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en notation scientifique. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.

Détail d'un exemple d'application faisable à partir d'une calculatrice : Calcul de \mathcal{F}_{50}.

Le nombre d'or vaut : \frac{1+\sqrt{5}}{2}\ = 1,61803398874989\dots

Appliquons la formule de Binet, (en ne retenant que le terme significatif) soit :

\mathcal{F}_{50} \approx \frac{(1,61803398874989)ˆ{50}}{\sqrt{5}} \approx 12586269024,9981

Arrondissons à l'entier le plus proche soit :

\mathcal{F}_{50} = 12586269025

Algorithme récursif naïf

L'implémentation récursive naïve qui suit la définition de la suite de Fibonacci est immédiate. En Python, cela donne :

def fibo(n):
    if (n <= 1):  # cas de base
        return n    # si n=0 return 0, si n=1 return 1 
    else:         # récurrence
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2)

Ce n'est cependant pas une façon judicieuse de calculer la suite de Fibonacci, car on calcule de nombreuses fois les mêmes valeurs (à moins d'employer une technique de mémoization). Le temps de calcul s'avère exponentiel.

Algorithme linéaire

Un moyen énormément plus efficace de calculer la suite de Fibonacci consiste à calculer simultanément deux valeurs consécutives de la suite, c'est-à-dire en commençant avec les deux premières valeurs 0 et 1, et en remplaçant répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux.

En Python, un tel algorithme itératif donne :

def fibo(n):
    f_n_1 = 1  # F_{-1} = 1
    f_n = 0    # F_0 = 0
    for i in range(n):  # n fois
        f_n_1, f_n = (f_n, f_n + f_n_1)
    return f_n

De manière équivalente, on peut écrire une fonction récursive terminale :

def fibo(n, f_n_1 = 1, f_n = 0):  # (n, F_{n-1}, F_n)
    if (n == 0):  # cas de base
        return f_n
    else:         # récurrence
        return fibo(n - 1, f_n, f_n + f_n_1)

Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à n et l'espace mémoire occupé constant.

Algorithme logarithmique

En utilisant la relation matricielle suivante, qu'on montre par récurrence :

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}ˆn =
       \begin{bmatrix} \mathcal F_{n+1} & \mathcal F_n \\
                       \mathcal F_n   & \mathcal F_{n-1} \end{bmatrix}

ou avec les #Propriétés de la suite de Fibonacci, on obtient :

\mathcal F_{2k} = 2\mathcal F_{k-1} \mathcal F_k + \mathcal F_kˆ2
= (2 \mathcal F_{k-1} + \mathcal F_k) \mathcal F_k
\mathcal F_{2k+1} = \mathcal F_{k+1}ˆ2 + \mathcal F_kˆ2

En prenant bien soin de ne pas calculer deux fois les mêmes éléments, on obtient alors un algorithme dont le temps de calcul est proportionnel au logarithme de n. Voici un exemple de programme en Python :

def fibo2(n):
    """Renvoie F_{n-1}, F_n"""
    if (n == 0):  # cas de base
        return 1, 0  # F_{-1}, F_0
    else:         # récurrence
        f_k_1, f_k = fibo2(n//2)        # F_{k-1}, F_k   avec k = n/2
        f2_k = f_k**2                   # F_k^2
        if n%2 == 0:  # n pair
            return f2_k + f_k_1**2,    f_k*f_k_1*2 + f2_k       # F_{2k-1}, F_{2k}
        else:         # n impair
            return f_k*f_k_1*2 + f2_k, (f_k + f_k_1)**2 + f2_k  # F_{2k},   F_{2k+1}
 
def fibo(n):
    """Renvoie F_n"""
    return fibo2(n)[1]

En reœuvrant les relations de récurrence pour le cas pair on obtient :

\mathcal F_{2k} = \mathcal F_{2k+1} - \mathcal F_{2k-1} = (\mathcal F_{k+1}ˆ2 + \mathcal F_kˆ2) - (\mathcal F_kˆ2 + \mathcal F_{k-1}ˆ2) = \mathcal F_{k+1}ˆ2 - \mathcal F_{k-1}ˆ2

Et donc :

\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal F_{n} = \mathcal F_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}ˆ2 - (-1)ˆn \mathcal F_{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}ˆ2


Curiosité algorithmique

Une façon spécifiquement curieuse d'obtenir la suite de Fibonacci est la suivante. On considère la liste de fractions [23/95, 57/23, 17/39, 130/17, 11/14, 35/11, 19/13, 1/19, 35/2, 13/7, 7]. Si on part d'un entier de la forme 2F (n − 1) 3F (n) et si on le multiplie itérativement par la première fraction qui redonne un résultat entier, alors le premier nombre entier de la suite ainsi obtenue qui n'aura que 2 et 3 comme facteurs premiers sera le nombre 2F (n) 3F (n + 1) .

A titre d'exemple, si on part de 18 = 2132, on obtient successivement :

18 \times 35/2 = 315
315 \times 13/7 = 585
585 \times 17/39 = 255
255 \times 130/17 = 1950
1950 \times 17/39 = 850
850 \times 130/17 = 6500
6500 \times 19/13 = 9500
9500 \times 23/95 = 2300
2300 \times 57/23 = 5700
5700 \times 23/95 = 1380
1380 \times 57/23 = 3420
3420 \times 23/95 = 828
828 \times 57/23 = 2052
2052 \times 1/19 = 108 = 2233

Si on itère le procédé, on verra défiler les nombres de Fibonacci dans les exposants des puissances de 2 et 3 décomposant les nombres ainsi obtenus.

Propriétés de la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci, ainsi définie, présente de remarquables propriétés. En voici quelques-unes, données avec leur démonstration (celles-ci font généralement appel au raisonnement par récurrence). Nous donnons aussi quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et les nombres de Lucas.

Propriété 1 : \forall (p,q)\in\mathbb{N}ˆ*\times\mathbb{N}, \mathcal{F}_{p+q} = \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_q + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+1}


Propriété 2 : \forall (k,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}ˆ*, \mathcal{F}_n{}|{}\mathcal{F}_{n\cdot k}

Corollaire : si n\,\neq\,4 et \mathcal{F}_n est premier, n\, est premier.
En effet, supposons n\, composé. Si m\, est un diviseur propre de n\,, on a selon la propriété 2 : \mathcal{F}_m{}|{}\mathcal{F}_{n}, au contraire de l'hypothèse que \mathcal{F}_n est premier. Par conséquent n\, est premier.
On peut écrire le corollaire comme suit, en désignant par \mathbb{P} la totalité des nombres premiers :
\forall n \in \mathbb{N}\setminus\{4\}, \mathcal{F}_n\in\mathbb{P}{}\Rightarrow{}n\in\mathbb{P}
La réciproque est fausse, car 2\in\mathbb{P},\mathcal{F}_2{}\not\in{}\mathbb{P}.


Propriété 3 : \forall (k,n)\in\mathbb{N}ˆ2{}/{}n{}\ge{}k{}\ge{}0, \mathcal{F}_n{}\mathcal{F}_{k+1}-\mathcal{F}_k\mathcal{F}_{n+1}=(-1)ˆk\mathcal{F}_{n-k}


Propriété 4 : \forall (p,q)\in\mathbb{N}ˆ2{}, \mathcal{F}_p{}\land{}\mathcal{F}_q = \mathcal{F}_{p{}\land{}q}

En particulier, \forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_n{}\land{}\mathcal{F}_{n+1}=1   c. -à-d. que \mathcal{F}_n \perp \mathcal{F}_{n+1}


Propriété 5 : \forall n\in\mathbb{N}ˆ*{}, \mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+1}

(Précision : les nombres de Lucas  \mathcal{L}_n ont même relation de récurrence mais ont pour initialisation  \mathcal{L}_0 = 2 et  \mathcal{L}_1 = 1)


Propriété 6 : \forall n\in\mathbb{N}-\{0,1,2\}{},2\mathcal{L}_n=\mathcal{F}_{n-3}+\mathcal{F}_{n+3}


Propriété 7 : \forall n\in\mathbb{N}{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_{n}\mathcal{L}_{n}


Propriété 8 : \forall n\in\mathbb{N}ˆ*{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n-1} = \mathcal{F}_{n-1}ˆ2+\mathcal{F}_{n}ˆ2

par application directe de la propriété 1 pour p = n et q = n -1


Propriété 9 : \forall n\in\mathbb{N}ˆ*{}, \mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1} -\mathcal{F}_nˆ2= (-1)ˆn   (identité de Cassini)


Propriété 10 : \forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}ˆn \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{n+2}


Propriété 11 : \forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}ˆn \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+1}


Propriété 12 : \forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_{n+1} = \sum_{k=0}ˆ{\infty} {n-k \choose k} où les  n-k \choose k sont des cœfficients binomiaux.

Cela veut dire que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes localisés sur une diagonale (du bas vers la droite)


Propriété 13 : \forall n\in\mathbb{N}ˆ*,\varphiˆn = \mathcal{F}_n{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_{n-1}


Propriété 14 : <img class=

Formules closes

\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal{F}_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\varphiˆn - \varphi'ˆn) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)ˆ{n} - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)ˆ{n} \right]
\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal{L}_{n} = \varphiˆn + \varphi'ˆn =  \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)ˆ{n} + \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)ˆ{n}

Bestiaire de formules

Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une illimitété de nombres de Fibonacci premiers. On sait que \mathcal{F}_n divise \mathcal{F}_{k{}\cdot{}n} (voir Propriétés, Propriété 2), et par conséquent que, pour tout <img class= est premier, alors n\, est premier, mais la réciproque est fausse. Le plus grand nombre de Fibonacci premier connu à ce jour (avril 2009) est \mathcal{F}_{1636007} qui possède 341905 chiffres.

Depuis 1964, on connait des suites (\mathcal{T}_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

Par exemple :

Applications

1 C → 1
2 CC, L → 2
3 CCC, CL, LC → 3
4 CCCC, CCL, CLC, , LCC, LL → 5
5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC → 8
Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n-1, ou L à une cadence de longueur n-2. Ainsi le nombre de cadences de longueur n est la somme des deux nombres qui ont précédé de la série. Ce problème est aussi équivalent au dénombrement des emballages de longueur n donnée, constitué d'articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans The Art of Computer Programming de Donald Knuth.
Carrés de Fibonacci en spirale.
pour les femelles, de \mathcal F_n mâles et \mathcal F_{n+1} femelles,
pour les mâles, de \mathcal F_{n-1} mâles et \mathcal F_n femelles.

Généralisations

Il existe plusieurs voies pour généraliser la suite de Fibonacci : on peut modifier les valeurs initiales, modifier les cœfficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence.

Suites de Fibonacci généralisées

On nomme suite de Fibonacci généralisée toute suite définie par la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci, mais dont les termes initiaux sont différents de 0 et 1. Sur le modèle de la démonstration donnée plus haut (voir section Expression fonctionnelle), une telle suite est une combinaison linéaire des deux suites géométriques (\varphi)ˆn et (1-\varphi )ˆn\varphi\, est le nombre d'or. Le quotient de deux termes consécutifs tend toujours vers \varphi\,.

Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation : \mathcal{L}_0 =2 et \mathcal{L}_1=1. Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … On trouve quelquefois une initialisation \mathcal{L}_0 =1 et \mathcal{L}_1=3 qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'équations diophantiennes. Ils sont particulièrement liés suite à Fibonacci, surtout par la relation suivante : \mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n-1}\, pour tout entier n strictement positif (voir Propriétés, Propriété 5).

Suites de Lucas

Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue

 U_{n+2} = P \cdot U_n + Q \cdot U_{n+1}

Elles sont de deux types selon que l'initialisation est de u0 = 0 et u1 = 1 ou qu'elle est v0 = 2 et v1 = P.

La suite de Fibonacci est alors une suite u de Lucas de paramètres P = 1 et Q = 1. La suite des nombres de Lucas est alors une suite v de Lucas de paramètres P = 1 et Q = 1.

Articles détaillés : Suite de Lucas et Nombre de Lucas.

Suites de k-bonacci

Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre k. Un terme est la somme des k termes qui le précèdent

 u_{n+k} \, = \, u_n + u_{n+1} + u_{n+2} + \dots +u_{n+k - 1}

Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.

Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à la totalité particulièrement général des suites à récurrence linéaire.

Voir aussi

N. Vorobiev, Caractères de Divisibilité, Suite de Fibonacci, coll. Initiation aux Mathématiques, Editions Mir, Moscou, 1973

La suite de Fibonacci dans la culture populaire

Littérature

Da Vinci Code de Dan Brown

Cinéma

Télévision

Liens externes

Recherche sur Amazone (livres) :



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