Suite

Intuitivement une suite réelle est une règle qui associe à chaque entier naturel n un certain nombre réel ; on dit tandis que ce nombre réel est indexé par l'entier.



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Mathématiques élémentaires - Suite

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Définitions :

  • En musique, ce nom sert à désigner une succession de morceaux, tous du même ton, généralement apparentés aux airs ou aux mouvements de danses, qui fut... (source : blogmusique0910.canalblog)
  • tirage à part de la totalité des gravures d'un ouvrage, d'une partie ou d'un état. (source : bouquinerie-gaspari)
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Intuitivement une suite réelle est une règle qui associe à chaque entier naturel n un certain nombre réel ; on dit tandis que ce nombre réel est indexé par l'entier. En fait une suite est un moyen d'indexer des nombres réels par des entiers naturels, et ce de manière ordonnée.

Une suite réelle est une application de la totalité des entiers naturels \mathbb N ou d'une partie A de \mathbb N à valeurs dans \mathbb R.
Soit u :A\rightarrow\mathbb R une suite réelle. Nous notons un, l'image u (n) de n par u et nous appelons un le terme d'indice n de la suite, c'est-à-dire le n-ième terme si l'indexation commence à 1. Nous notons l'application u : (u_n)_{n\in A} ou plus simplement (un) .

Quand A=\mathbb N, la suite u a pour ensemble d'indice la totalité des entiers naturels \mathbb N, nous obtenons la suite :

(u0, u1, …, un, …)

Les derniers trois petits points consécutifs signifient qu'il y a une illimitété de termes après.

Si A={1, 2, …, n} alors nous obtenons la suite finie, de n termes :

(u1, u2, …, un)

Remarquons que la notation (un) correspond à une application tandis que la notation un sert à désigner un nombre réel.

Dans la pratique, les suites sont fréquemment indexées sur \mathbb N.

Donnons quelques exemples de suites :

Les suites les plus étudiées en mathématiques élémentaires sont les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suite arithmético-géométriques

Variations d'une suite

Soit u=(u_n)_{n\in \mathbb N} une suite réelle, donnons les définitions suivantes :

Croissance

La suite u est dite croissante si pour tout entier naturel n, u_n \le u_{n+1}

On a par conséquent, u_0 \le u_1 \le \ldots \le u_n \le u_{n+1} La suite u est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, un < un + 1

Décroissance

La suite u est dite décroissante si pour tout entier naturel n, u_n \ge u_{n+1}

On a par conséquent, u_{n+1} \le u_n \le \ldots \le u_1 < u_0 La suite u est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, un > un + 1

Monotonie

La suite u est monotone si elle est croissante ou décroissante. De même, la suite u est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Suite stationnaire

Une suite u est dite stationnaire s'il existe un rang n0 à partir duquel l'ensemble des termes de la suite sont égaux, c'est-à-dire un entier naturel n0 tel que pour tout entier naturel n supérieur à n0, u_n=u_{n_0}. On a par conséquent, u_{n_0}=u_{{n_0}+1}=\ldots=u_n=\ldots

Exemples

La suite u est croissante.
La suite v est décroissante.
u et v sont par conséquent monotones (et même strictement).
n'est pas monotone en effet w0 = − 1, w1 = 1, w2 = − 1.
Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

Donnons quelques règles pratiques permettant d'étudier les variations d'une suite

  • on étudie pour tout entier naturel n, le signe de u_{n+1}-u_n\,
  • quand l'ensemble des termes de la suite sont strictement positifs et qu'ils sont sous forme d'un produit, on peut étudier pour tout entier naturel n, le rapport \frac{u_{n+1}}{u_n} et on le compare à 1
  • si le terme général un et de la forme f (n) où f est une fonction définie sur [0, +\infty[ et si f est croissante (resp. décroissante) alors u est croissante (resp. décroissante).

Majorant minorant

Une suite u est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n \le M. Le réel M est nommé un majorant de la suite. Par conséquent qu'une suite est majorée, il existe une illimitété de majorants (tous les réels supérieurs à un majorant quelconque).

Une suite u est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u_n \ge m. Le réel m est nommé un minorant de la suite. Par conséquent qu'une suite est minorée, il existe une illimitété de minorants (tous les réels inférieurs à un minorant quelconque).


Une suite u est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Dans ce cas, il existe des réels M et m tels que pour tout entier naturel n, m \le u_n \le M.

Caractère borné

u est bornée si et uniquement s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, |u_n| \le K (il suffit de prendre pour K la valeur absolue de celui de M et m qui est le plus grand en valeur absolue : K = max (| M |, | m |) ).

Conséquence :

Pour démontrer qu'une suite u est bornée, il suffit de montrer que la suite (|un|) est majorée.

Exemples

Propriétés

Erreurs fréquentes

Questions

  1. La suite x définie par : pour tout entier naturel n, x_n=\frac{nˆ2}{n+1} admet-elle comme majorant n ?
  2. La suite définie par «pour tout entier naturel n, y_n=(-1)ˆn\cdot n» est-elle majorée, minorée, bornée ?
  3. La suite z définie par : pour tout entier naturel n non nul, z_n=\frac{(-1)ˆn}{n} est-elle majorée, minorée, bornée ?

Réponses

  1. En effectuant le calcul suivant, on montre que tout terme de rang n est obligatoirement plus petit que n : \frac{nˆ2}{n+1}-n=\frac{nˆ2-n\,(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{n+1}\le 0 ce qui pourrait amener à penser que «n pourrait être un majorant de la suite». Il n'en est rien ! Un majorant, par définition, est un réel fixé pour une suite u donnée, par conséquent une constante qui ne saurait dépendre de l'indice de sommation (sinon toute suite serait «majorée par un+1»), or n n'est bien-sûr ici pas une constante. Cette suite n'est pas majorée et est croissante (on dit qu'elle diverge ou qu'elle admet une limite illimitée). Par contre son premier terme x0 = 0 est plus petit que l'ensemble des autres, c'est un minorant de la suite.
  2. Il suffit de voir ce que sont les premiers termes pour comprendre le fonctionnement de cette suite : u_0=0,\,u_1=-1,\,u_2=2,\,u_3=-3,\,u_4=4,\,u_5=-5,\,\ldots. Cette suite est ce qu'on nomme une suite alternée : chaque terme est du signe contraire de celui qui le précède. Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à eux-mêmes, et les termes de rang impair sont égaux à leur opposé. Cette suite n'est pas majorée car aussi grand qu'on choisisse un hypothétique majorant M, il suffira de prendre le premier entier pair n supérieur à M pour que un dépasse M. La situation est symétrique quant aux éventuels minorants. Par conséquent xn n'est pas bornée.
  3. Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à leur inverse, et les termes de rang impair sont égaux à l'opposé de leur inverse. Cette suite est bornée et «atteint ses limites», c'est-à-dire que le plus petit des majorants et le plus grand des minorants (les limites en analyse) sont des termes de la suite, ce qui n'était pas le cas avec la suite des inverses, quant à sa limite inférieure). z1 = − 1 et z_2=\frac{1}{2} sont respectivement des minorant et majorant de (zn) , ce sont plus exactement aussi ses limites.

Limite, convergence, divergence

Voir l'article Limite (mathématiques élémentaires) .

Voir aussi

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