Solide de Platon

En géométrie, un solide de Platon est un polyèdre régulier convexe.  Entre les polygones réguliers convexes de la géométrie plane et les polyèdres réguliers convexes de l'espace à trois dimensions,  il y a une ressemblance,  mais également une différence notable.



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En géométrie, un solide de Platon est un polyèdre régulier convexe.  Entre les polygones réguliers convexes de la géométrie plane et les polyèdres réguliers convexes de l'espace à trois dimensions,  il y a une ressemblance,  mais également une différence notable.  De tels polygones sont en nombre illimité, alors qu'il existe uniquement cinq polyèdres réguliers convexes  :  cinq solides de Platon.

Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)
Tétraèdre Hexaèdre
ou Cube
Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre
Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre

Le nombre des faces qui composent le solide,  4, 6, 8, 12, ou 20,  est dans le préfixe du nom du solide : “tétra” pour quatre,  “hexa” pour six — un cube est un hexaèdre régulier —,  “octa” pour huit,  “dodéca” pour douze,  “icosa” pour vingt.  Fréquemment l'adjectif “régulier” sera implicite dans cette page[1].

Les solides de Platon furent pendant des milliers d'années un habituel sujet d'étude de géomètre,  en raison de leur esthétisme et de leur symétrie.  Leur nom en l'honneur du philosophe grec Platon rappelle aussi une théorie,   qui associe les Éléments physiques — les quatre éléments — à quatre solides réguliers convexes.  Lontemps le nombre cinq et le nombre d'or furent des objets fétiches,  associés au dodécaèdre de Platon.  Il en est resté le mot “quintessence”.

Histoire

Les peuples néolithiques d'Écosse ont construit des modèles en pierre des cinq solides au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford.

Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Qui précisément connaissait ? Selon Proclos, Pythagore lui-même (vers 530 av. J. -C. ). Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte, ou, plus probablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J. -C. ). Peut-être Hippase a construit, le premier, le dodécaèdre. Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J. -C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110b), qui date d'env. 383 av. J. -C. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou 360 av. J. -C. ) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; en particulier, il les a fabriqués, le premier, l'ensemble des cinq. [2] Platon a philosophé là-dessus.

Les solides de Platon jouent un rôle premier dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été appelés. Platon, dans le dialogue Timée (env. 358 av. J. -C. ), associait chacun des quatre Éléments physiques (la Terre, l'Air, l'Eau et le Feu) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (Timée, 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdre et le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme légèrement le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main quand on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Par contraste, un solide fortement sphérique, l'hexaèdre (cube) représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière quand ils sont émiettés et se cassent quand on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, "... le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ". Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (Phédon, 110b ; Timée, 55c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a appelé ce cinquième élément, aithêr (æther en Latin, "éther" en Français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tout les autres, qu'il les contenait tous.

Modèle du dispositif solaire par des modèles de solides de Platon de Kepler issu du Mysterium Cosmographicum (1596)

Speusippe, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J. -C. ) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).

Euclide a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les Éléments (env. 300 av. J. -C. )  ; le dernier livre (Livre XIII) qui est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans le Livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. Énormément des informations dans le Livre XIII est certainement dérivé du travail de Théétète.

Au XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler essaya de trouver une relation entre les cinq planètes connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le Mysterium Cosmographicum , publié en 1596, Kepler présenta un modèle de système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et scindés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et finalement le cube. De cette manière, la structure du dispositif solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois du mouvement planétaire de Kepler pour lesquelles il est désormais célèbre.

Cube et octaèdre régulier

Épure n° 1.
Vue en élévation et vue de dessus d'un octaèdre régulier posé sur sa face KMN.

Les huit faces d'un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux.  Pour qu'un polyèdre soit un octaèdre régulier,  il faut et il suffit que ses arêtes soient les côtés de trois carrés,  dont chaque paire a une diagonale commune.  L'épure n° 1 montre les côtés des trois carrés en trois couleurs différentes.  Par exemple, les carrés ABKM et BCMN ont en commun leur diagonale [BM].

Les diagonales des trois carrés sont trois diamètres de la sphère circonscrite à l'octaèdre.  Sans être altérée par la perspective dans la vue en élévation,  AK  est la longueur d'un diamètre de la sphère.  Dans l'épure n° 1,  aucune ligne de la sphère n'est représentée.  Son centre est le milieu S des diagonales des carrés.

Comme l'épure n° 2 — en cours de réalisation —,  l'épure n° 1 sert à désigner par γ l'inclinaison d'une “diagonale” de l'octaèdre avec un plan horizontal : l'inclinaison d'une des trois diagonales des carrés.  Le complément de γ est l'inclinaison des six arêtes obliques,  ou celle des trois carrés.  Le double de γ est l'inclinaison d'une face oblique de l'octaèdre régulier.

Dans la vue de dessus,  l'image de S est à la fois le centre des deux triangles équilatéraux,  images des deux faces horizontales,  et le centre de la symétrie qui transforme un triangle équilatéral en l'autre.  Le contour de l'octaèdre est un hexagone régulier.

L'épure n° 2 reprend la même vue en élévation des arêtes du même octaèdre,  mais en laissant vides ses faces et son volume.  Elle représente deux grands cercles verticaux de la sphère circonscrite à l'octaèdre.  Un “dual” de l'octaèdre — un cube — a ses sommets aux centres des faces de l'octaèdre.  Une “diagonale” de ce cube est donc verticale,  autrement dit un segment qui joint deux sommets “opposés” du cube — deux sommets diamétralement opposés sur la sphère circonscrite au cube —.  Avec un grand cercle vertical,  nous imaginons la sphère concentrique circonscrite au cube,  qui est aussi la sphère inscrite dans l'octaèdre — tangente à ses huit faces —.  Avoir sur une même verticale l'un de ses sommets et le centre de sa sphère circonscrite,  ce sera une propriété du cube tronqué de l'épure suivante n° 3.

Tétraèdre régulier et cube

Épure n° 3.
Vue en élévation et vue de dessus d'un cube tronqué, posé sur sa face triangulaire KMN.

Les six faces d'un cube sont des carrés.  Les deux vues ci-contre donnent deux images d'un même solide posé sur le sol : un cube tronqué.  Le plan de la section triangulaire KMN contient les diagonales de trois faces du cube.  Le solide est posé sur KMN,  tracé en pointillé dans la vue de dessus : un triangle équilatéral non altéré par la perspective cavalière.  L'image des trois faces carrées vues de dessus est un pavage d'hexagone régulier,  comme dans de nombreux logos où figure un cube.  Pourquoi un hexagone régulier ? Neuf arêtes du polyèdre forment neuf angles égaux avec le plan horizontal de la projection.  Et les neuf arêtes sont égales.  Alors les neuf images des arêtes obliques sont des segments égaux.  La vue en élévation note h la dénivellation entre les extrêmités d'une arête oblique.

Par quatre troncatures semblables du cube — trois de plus —,  on obtient le tétraèdre régulier TKMN,  qui a une hauteur 2h. L'épure n° 3  ne représente que la face KMN du tétraèdre régulier TKMN.

Si le solide était au sein de sa sphère circonscrite,  de centre S,  une règle de géométrie descriptive voudrait que l'ensemble des arêtes soient en pointillé.  Disons que la sphère est absente.  Mais on l'imagine grâce à des lignes bleues de sa surface : un équateur horizontal,  un arc d'un autre grand cercle, qui passe par le sommet supérieur T,  ou le cercle au sol de centre R,  circonscrit à KMN.

Le plan horizontal qui passe par S coupe en son milieu chaque arête oblique qui part du sol.  Cette nouvelle façon de tronquer un cube est présentée dans l'épure n° 4 — à paraître —,  où la face au sol du nouveau solide est l'hexagone régulier EFLPUV.  La vue de dessus en donne la vraie forme,  avec trois côtés en trait plein parce que directement visibles,  et les trois autres en pointillé.

Dodécaèdre de Platon

Épure n° 5.
Six faces dépliées d'un dodécaèdre de Platon, et la perspective esquissée de l'objet obtenu par pliage.
Épure n° 6.
Vue en élévation et vue de dessus d'un dodécaèdre de Platon.

Les douze faces d'un dodécaèdre de Platon sont des pentagones réguliers convexes.  Lorsque le plan (KUV) tourne autour de la droite fixe (UV) dans le mouvement du pliage,  K se déplace dans le plan médiateur du segment [UV].  Les deux autres sommets mobiles de cette face se déplacent aussi dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation  (UV).  Quand la droite (KL) tourne autour de  (UL), son point L est fixe sur l'axe de rotation :  (KL)  devient  (HL) dans la perspective,  et K devient H dans l'esquisse de la vasque de six faces obtenue par pliage,  ou dans la perspective des faces visibles du dodécaèdre régulier.

Il n'y a plus de patron dans la seconde image,  le contour de l'objet se voit mieux : un décagone régulier convexe.  Les deux pentagones réguliers convexes ABCEF et KLMNP sont dans deux plans horizontaux distincts.  En transformant par l'homothétie de rapport φ — le nombre d'or — et de centre T la face qui contient [MN],  on obtient une section pentagonale isométrique à ABCEF — superposable à ABCEF —.

Des diagonales de trois faces du solide forment la section triangulaire ASW : un triangle équilatéral dont les côtés mesurent d,  la longueur d'une diagonale d'une face.  Le segment [SW] tracé en blanc est l'unique côté de ASW dont les perspectives n'altèrent pas la longueur.  Les côtés de six sections carrées sont tracés en blanc : les six faces d'un cube.  Une seule face du cube a ses côtés visibles en élévation,  où ils forment un vrai carré de dimension d.  Dans la vue en élévation,  θ  est l'angle avec un plan horizontal de deux faces du cube,  ou l'inclinaison des dix arêtes du dodécaèdre qui sont communes à deux faces obliques.  En indiquant des angles adjacents de mesure θ,  des arcs de cercles montrent l'inclinaison 2θ d'une face pentagonale avec un plan horizontal.

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et uniquement si

  1. Toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes congrus,
  2. Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses sommets.

Chaque solide de Platon peut donc être noté par un symbole {p, q} où

p = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommet sur chaque face) et
q = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole {p, q}, nommé le symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.

Polyèdre Sommets Arêtes Faces Symbole de Schläfli Configuration<br /> de sommet
Tétraèdre Tétraèdre 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
Hexaèdre Hexaèdre (cube) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
Octaèdre Octaèdre 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
Dodécaèdre Dodécaèdre 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
Icosaèdre Icosaèdre 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (S), des arêtes (A) et des faces (F) peuvent être déterminées à partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :

pF = 2A = qS.\,

L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler :

S - A + F = 2.\,

Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique il découle par conséquent que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent totalement S, A et F :

S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.

Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour une interprétation géométrique par conséquent, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).

Classification

C'est un résultat classique qu'il existe uniquement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent uniquement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question scindée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

Démonstration géométrique

L'argument géométrique suivant est particulièrement comparable à celui donné par Euclide dans les Éléments :

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
  2. À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à 360°.
  3. Les angles de l'ensemble des sommets de l'ensemble des faces d'un solide de Platon sont semblables, par conséquent chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de 360°/3=120°.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont uniquement des angles de 120° ou plus, par conséquent la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
    • les faces triangulaires : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de 60°, par conséquent une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
    • les faces carrées : chaque sommet d'un carré a un angle de 90°, par conséquent il existe uniquement un arrangement envisageable avec trois faces à un sommet, le cube.
    • les faces pentagonales : chaque sommet a un angle de 108° ; de nouveau, uniquement un arrangement, de trois faces à un sommet est envisageable, le dodécaèdre.

Démonstration topologique

Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant uniquement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que SA + F = 2, et le fait que pF = 2A = qS. En combinant ces équations, on obtient l'équation

\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.

Une simple manipulation algébrique donne alors

{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.

Puisque A est strictement positif, nous devons avoir

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Propriétés géométriques

Angles

Il existe un nombre d'angles associés avec chaque solide de Platon. L'angle diédral est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle diédral, θ, du solide {p, q} est donné par la formule

\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.

Ceci est parfois exprimé de manière plus pratique en termes de tangente par

\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.

La quantité h est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement.

La déficience angulaire au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. La déficience, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {p, q} est

\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).

Par le théorème de Descartes, ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i. e. la déficience totale de l'ensemble des sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle diédral par

\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,

Ceci provient de la formule de l'excès sphérique pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet du polyèdre {p, q} est un q-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en stéradians. La constante \varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\, est le nombre d'or.

Polyèdre Angle diédral
(\theta)\,
\tan\frac{\theta}{2} Déficience (\delta)\, Angle solide (\Omega)\,
Tétraèdre 70, 53° 1\over{\sqrt 2} \pi\, 2\tanˆ{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right) \approx 0,551286
Cube 90° 1\, \pi\over 2 \frac{\pi}{2} \approx 1,57080
Octaèdre 109, 47° \sqrt 2 {2\pi}\over 3 4\sinˆ{-1}\left({1\over 3}\right) \approx 1,35935
Dodécaèdre 116, 56° \varphi\, \pi\over 5 2\tanˆ{-1}\varphiˆ5 \approx 2,96174
Icosaèdre 138, 19° \varphiˆ2\, \pi\over 3 2\pi - 5\sinˆ{-1}\left({2\over 3}\right) \approx 2,63455

Rayons, aires et volumes

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :

Les rayons de ces sphères sont nommés les rayons circonscrits, les rayons moyens et les rayons internes. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes ainsi qu'aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit R et le rayon interne r du solide {p, q} avec une longueur d'arête a sont donnés par

R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}
r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par

\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans p et q :

{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.

La superficie A d'un solide de Platon {p, q} est aisément calculée, c'est l'aire d'un p-gone régulier fois le nombre de faces F. C'est-à-dire :

A = \left({a\over 2}\right)ˆ2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.

Le volume est calculé comme étant F fois le volume de la pyramide dont la base est un p-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne r. C'est-à-dire :

V = {1\over 3}rA.

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon mais aussi leurs surfaces et leurs volumes. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, a, égale à 2.

Polyèdre
(a = 2)
r ρ R A V
Tétraèdre 1\over {\sqrt 6} 1\over {\sqrt 2} \sqrt{3\over 2} 4\sqrt 3 \frac{2\sqrt 2}{3}
Cube 1\, \sqrt 2 \sqrt 3 24\, 8\,
Octaèdre \sqrt{2\over 3} 1\, \sqrt 2 8\sqrt 3 \frac{8\sqrt 2}{3}
Dodécaèdre \frac{\varphiˆ2}{\xi} \varphiˆ2 \sqrt 3\,\varphi 60\frac{\varphi}{\xi} 20\frac{\varphiˆ3}{\xiˆ2}
Icosaèdre \frac{\varphiˆ2}{\sqrt 3} \varphi \xi\varphi 20\sqrt 3 \frac{20\varphiˆ2}{3}

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5ˆ{1/4}\varphiˆ{-1/2}.

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de face, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a la plus petite déflexion angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Symétrie

Polyèdre dual

Un dual cube-octaèdre.

Chaque polyèdre possède un polyèdre dual avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c'est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.

Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {p, q}, alors son dual possède le symbole {q, p}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre possède un groupe de symétrie associé, qui est la totalité de l'ensemble des transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait fréquemment une distinction entre le groupe de symétrie total, qui inclut les réflexions, et le groupe de symétrie propre, qui inclut uniquement les rotations.

Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de groupes polyédriques (qui sont une classe spécifique des groupes de point en trois dimensions). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour principale, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'action du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les sommets, les arêtes et les faces. En réalité, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est régulier si et uniquement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.

Il existe uniquement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu aisément en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :

Les ordres des groupes propres (rotation) sont 12, 24 et 60 respectivement — exactement, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres qui ont précédé (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.

Polyèdre Symbole de Schläfli Symbole de Wythoff Polyèdre dual Symétries Groupe de symétrie
Tétraèdre {3, 3} 3 | 2 3 Tétraèdre 24 (12)
Cube {4, 3} 3 | 2 4 Octaèdre 48 (24)
Octaèdre {3, 4} 4 | 2 3 Cube
Dodécaèdre {5, 3} 3 | 2 5 Icosaèdre 120 (60)
Icosaèdre {3, 5} 5 | 2 3 Dodécaèdre

En nature et en technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci épuisent nullement les nombres de formes envisageables de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre régulier, ni le dodécaèdre régulier ne font partie de eux. Une de ces formes, nommée le pyritoèdre (nommé en rapport avec le groupe des minéraux avec lequel il est typique) a douze faces pentagonales, arrangées avec le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Néanmoins, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, par conséquent, le pyritoèdre n'est pas non plus régulier.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, constituée comme un icosaèdre régulier.

Au début du XXe siècle, Ernst Hæckel décrivit (Hæckel, 1904) de nombreuses d'espèces de Radiolaires, certaines comportant des squelettes ayant la forme de divers polyèdres réguliers. Ses exemples incluent Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra. Les formes de ces crétures étant évidentes selon leurs noms.

Énormément de virus, tel que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont construites sur des sous-utités de protéines semblables répétées et l'icosaèdre est la forme la plus facile pour assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre régulier est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine basique utilisée indéfiniment, ceci génère un espace dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux des flux atmosphériques sont d'un intérêt croissant. Ils emploient des grilles qui sont basées sur un icosaèdre (raffiné par triangulation) à la place de la grille longitude/latitude plus couramment utilisée. Ceci a l'avantage d'avoir une résolution spatiale aussi distribuée sans singularités (i. e. les pôles géographiques) aux dépens d'une certaine difficulté numérique plus grande.

La géométrie des armatures d'espace est fréquemment basée sur les solides de Platon. Dans le dispositif MERO, les solides de Platon sont utilisés pour la convention de nomenclature des diverses configurations d'armatures d'espace. Par exemple ½O+T fait référence à une configuration faite d'un demi-octaèdre et un tétraèdre.

Les solides de Platon sont fréquemment utilisés pour fabriquer des dés. Les dés à 6 faces sont particulièrement communs, mais les autres nombres sont couramment utilisés dans les jeux de rôle. De tels dés sont fréquemment nommés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc. ) ;

Article détaillé : .

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Les dés polyèdriques sont fréquemment utilisés dans les jeux de rôle.

Ces formes apparaissent souvent dans d'autres jeux ou d'autres puzzles. Des puzzles identiques aux Rubik's Cube ont vu le jour dans toutes ces formes — voir polyèdres magiques.

Polyèdres reliés et polytopes

Polyèdres uniformes

Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, nommés les solides de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont tous la symétrie icosaèdrique et peuvent être obtenus par stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Cuboctahedron.svg
Cuboctaèdre
Icosidodecahedron.jpg
Icosidodécaèdre

Les prochains polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le cuboctaèdre, qui est une rectification du cube et de l'octaèdre, et l'icosidodécaèdre, qui est une rectification du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est un octaèdre régulier). Ils sont l'ensemble des deux quasi-réguliers ce qui veut dire qu'ils sont de sommet et d'arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais les faces ne sont pas toutes congrues (provenant de deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, qui sont des polyèdres uniformes convexes avec une symétrie polyèdrique.

Les polyèdres uniformes forment une classe bien plus grande de polyèdres. Ces solides sont de sommets uniformes et on un ou plusieurs types de polygones réguliers ou étoilés pour faces. Ceux-ci incluent l'ensemble des polyèdres mentionnés ci-dessus avec la totalité illimité des prismes, la totalité illimité des antiprismes mais aussi 53 autres formes non-convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.

Pavages

Les trois pavages réguliers du plan sont fortement reliés aux solides de Platon. En effet, on peut regarder les solides de Platon comme les cinq pavages réguliers de la sphère. Ceci est effectué en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur des polygones sphériques réguliers qui couvrent précisément la sphère. On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par une paire d'entiers {p, q} avec 1/p + 1/q > 1/2. De même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1/p + 1/q = 1/2. Il existe trois possibilités :

D'une manière identique, on considère généralement les pavages réguliers sur le plan hyperbolique. Ils sont caractérisés par la condition 1/p + 1/q < 1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.

Dimensions plus élevées

Quand il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dans le milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadri-dimensionnels des solides de Platon, nommés les 4-polytopes réguliers convexes. Il existe précisément six de ces figures; cinq sont analogues aux solides de Platon, alors que le sixième, le 24-cellules, n'a pas d'analogue en dimension inférieure.

Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe uniquement trois polytopes réguliers convexes : le simplexe, l'hypercube et le polytope croisé. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l'octaèdre.

Notes et références

  1. Dans le contexte de cette page,  le mot régulier est implicite et le plus souvent omis.  Le mot irrégulier est quelquefois utilisé pour souligner le fait qu'un polyèdre n'est pas régulier,  bien qu'il soit toujours supposé avoir la même topologie que la forme régulière.  D'autres formes topologiques très différentes,  telles que le dodécaèdre rhombique qui possède douze faces rhombiques,  ou un polyèdre étoilé non-convexe,  comme le grand dodécaèdre,  ne sont jamais données avec des noms raccourcis.
  2. Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, Berlin, 1917. Festugière, Etudes de philosophie grecque, p. 385.


Voir aussi

Bibliographie

Sources

Études

Liens externes


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Boule - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution

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