Repérage dans le plan et dans l'espace

En géométrie analytique, tout point du plan ou de l'espace est «repéré», c'est-à-dire qu'on lui associe un couple ou un triplet de nombres.



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Mathématiques élémentaires - Système de coordonnées

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En géométrie analytique, tout point du plan ou de l'espace est «repéré», c'est-à-dire qu'on lui associe un couple (dans le plan) ou un triplet (dans l'espace) de nombres.

Préliminaire : droite graduée

Pour graduer une droite, on prend sur cette droite un point O nommé origine et le représentant d'un vecteur \vec{i} passant par O qui définit l'unité : on parle du repère (O, \vec{i}).

Propriété et définition
Sur une droite graduée par le repère (O, \vec {i}), à tout point A correspond un unique nombre x nommé abscisse de A.
On a
\overrightarrow{OA} = x \cdot \vec{i}
et on note A (x).

Repérage dans le plan

Pour pourvur le plan d'un repère, on prend dans ce plan un point O nommé origine et les représentants de deux vecteurs \vec{i} et \vec{j} passant par O qui définissent les unités respectivement «horizontales» et «verticales» : on parle du repère (O, \vec{i}, \vec{j})\,.

Propriété et définition
Dans le plan pourvu du repère (O, \vec{i}, \vec{j}), à tout point A correspond un unique couple (x, y) de nombres nommés coordonnées de A. On a
\vec {OA} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j}
et on note A (x, y).
Vocabulaire
x est l'abscisse de A et y est son ordonnée.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est nommée axe des abscisses et celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est nommée axe des ordonnées.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal. Un repère orthogonal tel que les longueurs («normes») de \vec{i} et de \vec{j} soient chacune identiques à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Repérage dans l'espace

Pour pourvur l'espace d'un repère, on prend un point O nommé origine et les représentants de trois vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{k} passant par O qui définissent les unités et les directions, respectivement «gauche-droite», «avant-arrière» et «verticale» : on parle du repère (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).

Propriété et définition
Dans l'espace pourvu du repère (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), à tout point A correspond un unique triplet (x, y, z) de nombres nommés coordonnées de A. On a
\vec {OA} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}
et on note A (x, y, z).
Vocabulaire
x est l'abscisse de A, y est son ordonnée et z est sa cote.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est nommée axe des abscisses, celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est nommée axe des ordonnées et celle sur laquelle on lit les cotes est nommée axe des cotes.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal. Un repère orthogonal dont les longueurs de \vec{i}, de \vec{j} et de \vec{k} sont chacune identiques à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Les repères \mathbb{R} et \mathbb{C}

Propriété
À tout point de la droite graduée par le repère (O, \vec{i}) correspond un unique nombre réel.
La réciproque est vraie.
Propriété
À tout point du plan pourvu du repère (O, \vec{i}, \vec{j}) correspond un unique nombre complexe.
La réciproque est vraie.

Au point (0, 1) correspond le nombre complexe i. Ce plan est nommé plan complexe'ou plan d'Argand-Cauchy

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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