Règle de trois

La règle de trois ou règle de proportionnalité est une méthode mathématique servant à déterminer l'un des termes d'un tableau de proportionnalité à partir des autres.



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Mathématiques élémentaires - Règle scientifique

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  • ... La " règle de trois" est aussi le premier souvenir de raisonnement... J'avais évoqué il y a quelques temps les travaux d'Eugène Astesan... (source : blogperso.univ-rennes1)
  • ... La règle de trois est la règle qui définit et encadre... produit par les Bienheureux Glorieux de la Saint-Flanelle, ces temps -ci.... (source : monsieurreponse.blogspot)

\begin{array}{|c|c|}\hline 10 & 6 \\ \hline 15 & 9 \\ \hline \end{array}\quad
10 \times 9 = 6 \times 15

6 = \frac{10 \times 9}{15}
Tableau de proportionnalité, égalité des produits en croix
et vérification avec la règle de trois.

La règle de trois ou règle de proportionnalité est une méthode mathématique servant à déterminer l'un des termes d'un tableau de proportionnalité à partir des autres. Elle peut aussi être utilisée pour vérifier qu'un tableau de valeurs satisfait une relation de proportionnalité.

Cette règle repose sur l'égalité des produits en croix, qui sont les produits des termes de chaque diagonale dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes.

Elle se retrouve surtout dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d'unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan avec leurs coordonnées.

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Explication

Le principe de la règle de trois consiste à se ramener à l'unité.

Prenons un exemple :

La question que nous souhaitons résoudre est :

Si pour fabriquer 5 objets il faut 7 heures de travail, combien d'heures faut-il pour fabriquer 8 objets ?

En 7 heures, sont fabriqués 5 objets. Donc la fabrication d'1 objet dure \dfrac 75 heures de travail (5 fois moins de temps).

Si pour 1 objet il faut \dfrac 75 heures, alors pour 8 objets il faut 8 fois plus de temps soit \dfrac 75\times 8 heures de travail.

Le terme de Règle de trois provient du fait qu'elle fait intervenir 3 nombres (ici 5, 7, 8). La mise en place d'une règle de trois nécessite une rédaction rigoureuse pour placer ces trois nombres dans la fraction finale. Cette rédaction peut être avantageusement remplacée par un tableau de proportionnalité. Qui plus est , l'utilisation d'un tel tableau permet d'utiliser l'égalité du produit en croix (égalité du produit des diagonales).

Soit x le temps de fabrication de 8 objets :

nb objets 5 1 8
temps (en h) 7 \dfrac 75 x = \dfrac{7 \times8}{5}

Ici, on passe de la seconde colonne à la troisième colonne en divisant par 5, puis de la troisième colonne à la dernière colonne en multipliant par 8. Après avoir converti en minutes pour effectuer les calculs, on obtiendra le nombre manquant qui est donc : x = 11h12min.

Le tableau de proportionnalité sert à raccourcir toujours le raisonnement en mécanisant le calcul. On peut trouver directement le résultat de cette façon :

5 8
7 x = \dfrac{7 \times8}{5}

Le résultat final s'obtient en effectuant le produit des deux termes d'une diagonale et en divisant par le terme restant.

x = \dfrac{7\times 8}{5}.

C'est sous cette forme qu'elle est désormais présentée en France[1].

Exemples

Exemple 1

Le prix des pommes est de 5 € le kg, j'en achète 1, 5 kg, combien devrai-je payer ?

kg Prix en €
1 5
1, 5 x

x = \dfrac{1,5\times 5}{1} = 7,5

Donc, je devrai payer 7, 5 €.

Exemple 2

On dispose d'un plan dont l'échelle indique que : 2 cm \hat = 15 km.
On veut connaître la distance à vol d'oiseau entre 2 villes.
Pour cela, on mesure sur le plan la distance entre les points indiquant le lieu géographique de ces villes. On trouve 12, 2 cm.

Plan 2 12, 2
Terrain 15  ?

D'après la règle de trois, on effectue ce petit calcul :

x = \dfrac{12,2\times 15}{2} = 91,5

Ainsi la distance sur le terrain est : 91, 5 km.

Extensions

Règle de trois inverse

Il y a des grandeurs qui diminuent à proportion d'un accroissement des données. A titre d'exemple, si on demande en combien de temps 10 ouvriers construiront un certain mur que 15 ouvriers ont pu élever en 12 jours, on considèrera qu'il faut, pour construire un tel mur, un travail égal à

W = 15 \times 12 = 180 hommes×jours ;

travail qui est , dans une large mesure, indépendant du nombre d'hommes ou du temps disponible, mais ne dépend que de la taille du mur[2]. Ainsi, le temps recherché t doit être tel que : W = 10 \times t = 180 par conséquent t = 18 jours. En résumé, la règle de trois s'écrit dans ce cas :  t = \dfrac{15 \times 12 }{10} = 18

Règle de trois composée

On rencontre quelquefois des problèmes de proportion faisant intervenir deux «règles de trois» enchaînées, ou même plus. En voici un exemple :

18 ouvriers œuvrant à raison de 8 heures par jour ont pavé en 10 jours une rue longue de 150 m. On demande combien il faut d'ouvriers œuvrant 6 heures par jour pour paver en 15 jours une rue longue de 75 m, rue de même largeur que la précédente.

Lagrange propose la règle suivante[3] : Si une quantité augmente en même temps, dans la proportion qu'une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d'autres quantités diminuent, c'est la même chose que si on disait que la quantité proposée augmente comme le produit des quantités qui augmentent en même temps, divisé par le produit de celles qui diminuent en même temps.

Dans l'exemple qu'on vient de donner, pour une même largeur de route,

Donc le nombre N d'ouvriers cherché est donné par : N = 18 \times \dfrac{75}{150}\div \left(\dfrac{6}{8} \times \dfrac{15}{10} \right)=\dfrac{18 \times 8 \times 10 \times 75 }{6 \times 15 \times 150}

Notes et références

  1. Socle commun de connaissances, Pilier 3 sur le site Eduscol
  2. Cette hypothèse ne va pas de soi : il faut généralement un nombre d'ouvriers minimum et un temps d'amorçage minimum, incompressible, pour exécuter une tâche ; et puis si un travail d'exécution (ici, construire un mur) peut à la rigueur être indéfiniment partagé entre un nombre arbitraire de travailleurs, il n'en va pas de même d'un travail de conception ou d'expertise ; enfin, l'augmentation indéfinie de l'effectif peut s'avérer dommageable, les ouvriers se gênant entre eux à un certain stade de la construction...
  3. Lagrange - «Leçons de mathématiques données à l'Ecole Normale de l'an III» (1992), éd. Dunod, p. 217.

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