Quaternion

Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. La totalité des quaternions, noté, forme une extension de la totalité des nombres complexes, extension comparable à celle qui avait conduit de la totalité des nombres réels à celui des nombres complexes.



Catégories :

Nombre hypercomplexe - Théorie des corps - Géométrie

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • où a, b et c sont des nombres réels ordinaires. Ajouter des quaternions est assez... Considerons la représentation sous forme de quaternion d'un vecteur V = (b, c, ... À quelle condition le conjugué d'un quaternion est -il semblable au... (source : wiki.secondlife)
  • (où'a'et'b'sont des nombres réels et'i'est tel que i² = -1).... Quand la norme d'un quaternion vaut 1 on dit que le quaternion est normalisé..... En 3D, les quaternions sont aux orientations ce que les vecteurs sont aux... (source : onversity)
  • Les quaternions, notés, sont un type de nombres hypercomplexes, ... Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, .... vaut 1, on dit que le quaternion est normé ou encore qu'il s'agit d'un quaternion unitaire..... Cette rotation fait tourner d'un angle 2φ l'extrémité du vecteur kV sur un... (source : techno-science)
Plaque commémorative de l'apparition des quaternions sur le pont de Broom (Dublin).
«Ici, le 16 octobre 1843, tandis qu'il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule principale sur la multiplication des quaternions
i² = j² = k² = ijk = -1
et la grava sur une pierre du pont. »


Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. La totalité des quaternions, noté \mathbb H, forme une extension de la totalité des nombres complexes, extension comparable à celle qui avait conduit de la totalité des nombres réels \mathbb R à celui des nombres complexes \mathbb C.

Les quaternions furent mis en forme au XIXe siècle, par Hamilton qui cherchait à construire un ensemble de nombres ayant, dans l'espace, des propriétés analogues à celles que possèdent les nombres complexes dans le plan. Il les présente comme des quadruplets de réels.

La totalité des quaternions peut être pourvu d'une addition et d'une multiplication qui font de lui un des premiers exemples de corps non commutatif.

La relation qui existe entre les quaternions et les rotations en dimension 3 fait de la totalité des quaternions un outil utile pour le traitement de l'espace comme en infographie ou en théorie de la commande.

Origines et principes

Histoire

Les quaternions furent «découverts» par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Leonhard Euler et , au siècle suivant, Carl Friedrich Gauss. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions.

Après des années de recherches sur la construction d'une algèbre avec des «triplets» de trois nombres réels, il butait sur la multiplication, et surtout la conservation des normes (Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877 qu'une telle multiplication de triplets était impossible à définir).

Il eut alors l'idée d'utiliser des «quadruplets» en employant une dimension supplémentaire. Selon ses dires, il marchait, le 16 octobre 1843, le long du canal royal, avec son épouse lorsque tout à coup lui vint à l'esprit la solution sous la forme des relations : i2 = j2 = k2 = ijk = − 1. Il grava alors promptement ces relations avec un couteau dans une pierre du pont de Brougham (maintenant nommé Broom Bridge) à Dublin. Cette inscription, malheureusement effacée par le temps, a été remplacée par une plaque à la mémoire de Sir William Rowan Hamilton.

La théorie a été généralisée et d'autres ensembles comme les octonions ont été découverts ensuite. Un élément d'un ensemble de cette nature fut qualifiée de nombre hypercomplexe jusqu'à la Première Guerre mondiale. Ces ensembles sont désormais reconnus comme des exemples d'algèbres semi-simples. Le théorème d'Artin-Wedderburn apporte une méthode de construction générique et se fonde sur la théorie des représentations d'un groupe fini. La construction des quaternions est donnée dans l'article représentations du groupe des quaternions. Elle correspond à l'unique algèbre simple fidèle de la représentation du groupe de quaternions sur le corps des nombres réels.

Principe

Hamilton décrivit un quaternion comme un quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un «scalaire», et les trois éléments restants formant un «vecteur», ou «imaginaire pur».

Il put ainsi définir une multiplication avec les bonnes propriétés. Celle-ci peut se résumer à cette table de multiplication :

· 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Tout quaternion H peut être reconnu comme une combinaison linéaire des quatre quaternions "unités" 1, i, j, et k :

H = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,
(où a, b, c, d sont des nombres réels).

H peut aussi s'écrire : H = z + z'·j (avec z et z'des nombres complexes de la forme a + b·i)

Les nombres réels a, b, c et d sont caractéristiques de H : il n'existe qu'une seule façon d'écrire H sous cette forme, et tout quaternion comportant ces mêmes 4 caractéristiques est obligatoirement égal à H (la réciproque est vraie).

a se nomme la composante réelle ou scalaire de H, alors que b, c et d sont les composantes complexes de H. On dit aussi que a est le scalaire de H et que le triplet {b, c, d} ou [b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,] est le vecteur de H (ou sa partie vectorielle).

Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient toujours partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.

Non-commutativité

L'algèbre des quaternions n'est plus commutative, mais partiellement anticommutative : 1 · i = i · 1 = i mais i · j = k et j · i = -k.

Cette non commutativité est d'ailleurs particulièrement compatible avec une interprétation géométrique des quaternions, par exemple les rotations vectorielles du plan sont commutatives, mais celles de l'espace ne le sont pas :

Rotation3D.png
  • On effectue une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y :
Rotation3D 1X.png Rotation3D 1Y.png
  • On effectue une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X :
Rotation3D 2Y.png Rotation3D 2X.png
  • Les deux cubes ont subi les mêmes rotations, mais dans un ordre différent. Le résultat final est différent, ce qui exprime de façon graphique la non-commutativité des rotations.

Propriétés mathématiques

Classification algèbrique

Le théorème de Frobenius généralisé (1877) montre que les extensions du corps des réels sont peu nombreuses. De fait, il n'en existe que quatre : le corps des réels, lui-même, celui des nombres des complexes, celui des quaternions et celui des octonions. Le corps des quaternions n'est pas commutatif et celui des octonions n'est pas associatif. Dans ce contexte, les quaternions peuvent être définis comme le plus petit corps non-commutatif contenant.

Dans le même ordre d'idée, le théorème de Hurwitz (1898) montre que les algèbres de composition sur un corps K, c'est-à-dire les algèbres pourvues d'une norme non-dégénérée, sont de dimensions 1, 2, 4 ou 8. Ces algèbres peuvent être obtenues à partir de la construction de Cayley-Dickson. De plus

Définition

L'espace vectoriel des quaternions H sur le corps des réels est un espace vectoriel réel de dimension quatre rapporté à une base notée. Tout quaternion, s'écrit par conséquent de manière unique.

Scalaires et vecteurs

La totalité des quaternions de la forme s'identifie aux nombres réels. Ils sont nommés scalaires ou réels.

Les quaternions de la forme, forment un espace vectoriel tridimensionnel, identifié à, par identification des bases. On les nomme quaternions purs, quaternions vectoriels, ou par abus de langage, vecteurs.

Tout quaternion q se décompose en une somme d'un réel et d'un vecteur, nommées partie scalaire (ou réelle) et partie vectorielle de q. Cette décomposition est unique.

Addition

La somme de deux quaternions et, est définie composant par composant par :

Cette addition fait de H un groupe abélien (commutatif) par transport de structure.

Son élement neutre est et l'opposé d'un quaternion s'obtient en inversant les signes de ses composants.

Multiplication de Hamilton

Le produit de deux quaternions et, s'obtient en développant le produit formellement, puis en effectuant les réductions définies par la table de multiplication donnée plus haut.

Tous calculs faits, on obtient

.

Dans cette dernière formule le sert à désigner le produit scalaire et le produit vectoriel des composantes vectorielles des deux quaternions.

Cette multiplication fait de H un anneau associatif unitaire, la distributivité résultant de la bilinéarité des produits scalaires et vectoriels.

Pour tout quaternion, on a :

Non-commutativité

La multiplication n'est pas commutative. De fait, la formule précédente montre que pour que, il faut et il suffit que, c'est-à-dire que leurs composantes vectorielles soient colinéaires.

En particulier, un quaternion commute à l'ensemble des quaternions si, et uniquement si, sa partie vectorielle est nulle, c'est-à-dire s'il est réel. Pour, la formule, définit alors une multiplication externe qui munit H d'une structure d'espace vectoriel. Cette opération préserve le sous-espace des scalaires R et des vecteurs R3. Sur ces sous-espaces, elle coïncide avec les multiplications habituelles.

En résumé :

Conjugaison, norme, inversion

Les quaternions sont pourvus d'une conjugaison, qui est un anti-morphisme involutif, qui sert à définir une norme, puis l'inverse d'un quaternion. On vérifie tandis que H est un corps.

Conjugaison

Le conjugué du quaternion est le quaternion obtenu en conservant sa partie scalaire et en prenant l'opposé de sa partie vectorielle.

On remarquera que le conjugué d'un scalaire est lui-même et que le conjugué d'un vecteur pur est son opposé. Pour cette raison Hamilton se référait à la conjugaison comme inverse spatial.

La conjugaison est linéaire, i. e. , et un anti-morphisme, inversant le sens du produit

C'est une involution, égale à son propre inverse.

Les invariants, tels que, sont les réels et les anti-invariants, tels que, sont les quaternions purs.

La conjugaison sert à retrouver aisément la partie réelle et vectorielle d'un quaternion  :

Norme

Le produit d'un quaternion par son conjugué Q * donne qui est un nombre réel positif.

On nomme norme du quaternion, le nombre réel positif

.

Cette norme dérive du produit scalaire canonique sur R4, défini par. Elle coïncide avec la norme euclidienne dans l'espace quadri-dimensionnel R4, sa restriction aux scalaires avec la valeur-absolue et sa restriction aux vecteurs avec la norme usuelle dans l'espace tridimensionnel standard.

On a :

Inverses et divisions

Si un quaternion n'est pas nul, il possède un unique inverse

.

Si est réel, son inverse est l'inverse de a comme réel. Et si est un vecteur, son inverse est le vecteur pointant dans la direction opposée à et de norme inverse.

La multiplication n'étant pas commutative, on peut définir la division du quaternion par le quaternion (non nul) de deux façons différentes :

Conjugué d'un inverse, conjugué de la somme et du produit de deux quaternions

On montre facilement les égalités :

\begin{matrix}(Qˆ*)ˆ* &=& Q\\(Qˆ{-1})ˆ* &=& \frac{Q}{\|Q\|ˆ2}\\(Qˆ*)ˆ{-1} &=& \frac{Q}{\|Q\|ˆ2}\\(Qˆ{-1})ˆ{-1} &=& Q\\(Q_1 + Q_2)ˆ* &=& Qˆ*_1 + Qˆ*_2\\(Q_1\cdot Q_2)ˆ* &=& Qˆ*_2\cdot Qˆ*_1\\(Q_1\cdot Q_2)ˆ{-1} &=& Qˆ{-1}_2\cdot Qˆ{-1}_1\end{matrix}\,

Quaternions unitaires et forme polaire

Quaternions unitaires

Les quaternions unitaires sont , par définition, les quaternions de norme 1. Leur ensemble est topologiquement isomorphe à la sphère S3.

Un quaternion est unitaire si, et uniquement si,, de sorte que la restriction du produit de Hamilton aux quaternions unitaires fait de la sphère unitaire un groupe multiplicatif. Nous verrons plus loin que ce groupe agit par rotation sur l'espace tridimensionnel des quaternions purs.

Ils forment une sphère, et nous verrons ci-dessous qu'on peut établir une sorte de correspondance entre un quaternion unitaire et une rotation vectorielle dans l'espace euclidien de dimension 3, et que cette particularité permet une représentation simple du produit de deux rotations vectorielles.

Versors

Pour tout quaternion Q, le quaternion est un quaternion unitaire, nommé versor (ou verseur) de Q.

Tout quaternion apparait par conséquent comme le produit d'un nombre réel positif par un quaternion unitaire.

On remarquera que et que.

D'autre part,, d'où on déduit que.

Forme polaire

On peut poursuivre plus loin la décomposition précédente. En effet, de, pour un quaternion unitaire, on tire l'existence d'un réel, tel que et où est un vecteur unitaire de R3.

Finalement, tout quaternion s'écrit sous la forme, où est un réel positif et uQ est un quaternion unitaire de composante réelle nulle, représenté par, vecteur de la sphère R3. Si Q est non réel, cette décomposition est unique, à près pour θ ; si Q est réel, le choix de est arbitraire.

Il est envisageable de définir (par la série usuelle) une fonction exponentielle dans les quaternions, et on montre qu'avec les notations précédentes, on a.

Sous-ensembles spécifiques

Racines carrées

Le corps des quaternions n'étant pas commutatif, un polynôme peut avoir plus de racines différentes que son degré.

Considérons par exemple, le polynôme, où dont les racines sont les racines carrées du nombre réel λ. En écrivant, elle devient. La partie vectorielle de ce carré étant nulle, on doit avoir, c'est-à-dire, soit, auquel cas, soit, auquel cas, ce qui montre que les racines carrées d'un nombre réel négatif sont localisées sur une sphère dans l'espace R3.

Pour trouver les racines d'un quaternion général, écrivons sa racine sous sa forme polaire, avec, avec. Un calcul immédiat donne. D'où on déduit successivement, au signe près; puis de, à près; puis.

On est par conséquent dans l'un des cas suivants :

Sous-algèbres

Pour un quaternion non réel avec, on peut écrire. Par conséquent et , par récurrence,. Ceci montre que la sous-algèbre génèrée par un quaternion q non réel est. C'est aussi la sous-algèbre génèrée. Or ce dernier élément est tel que. La sous-algèbre est par conséquent isomorphe au plan complexes C.

Si une sous-algèbre A contient deux quaternions et, alors elle contient aussi le quaternion. Donc, si et ne sont pas colinéaires, A contient tout l'espace R3, et , par suite, A = H.

En résumé, les sous-algèbres de H sont

La notation (a, V)

Le quaternion Q = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,peut être décomposé (et de façon unique) en un couple constitué du réel a\, et du vecteur \vec V de \mathbb Rˆ3 dont les coordonnées sont (b, c, d).

On écrit :  Q = (a\ ,\ \vec V)\,.

Cette notation sert à définir la somme et le produit de la façon suivante :


\begin{matrix}Q_1 + Q_2 &=& (a_1\ ,\ \vec V_1) + (a_2\ ,\ \vec V_2) = (a_1+a_2\ , \vec V_1 + \vec V_2) \\Q_1 \cdot Q_2 &=& (a_1 a_2 - \vec V_1 \bullet \vec V_2\ ,\ a_1 \vec V_2 + a_2 \vec V_1 + \vec V_1 \wedge \vec V_2)\,\end{matrix}


Elle permet aussi de re-définir ou définir les 3 notions suivantes :

d'où on déduit :


nota : le produit scalaire défini ci-dessus est commutatif et il est par conséquent évidemment différent du produit de quaternions défini plus haut.


Soit désormais un quaternion Q = (a\ ,\ \vec V)\, quelconque ; notons q = \|Q\|\, et v = \|\vec V\|\,. Si le réel v\, positif n'est pas nul, le réel q\, ne l'est pas non plus et on peut par conséquent toujours écrire :

Q = q \cdot \left(\frac{a}{q}\ ,\ \frac{1}{q}\cdot \vec V\right) = q \cdot \left(\frac{a}{q}\ ,\ \frac{v}{q}\frac{1}{v}\cdot  \vec V\right)\,

Or \frac{1}{v}\cdot  \vec V est un vecteur normé et on peut écrire : qˆ2 = aˆ2 + vˆ2\,, ou encore : \left (\frac{a}{q}\right )ˆ2 + \left (\frac{v}{q}\right )ˆ2= 1 .

Il en résulte qu'il existe :

qui sont tels qu'on puisse écrire le quaternion  Q \, (de vecteur \vec V non nul) sous la forme :


Q = q \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi \cdot \vec U \right ) = \left (q\cos \varphi\ , \ q\sin \varphi \cdot \vec U \right )\,

Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple, q\cos \varphi\, et q\sin \varphi \cdot \vec U\,, sont en effet respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs \vec V_1 et \vec V_2 orthogonaux à \vec V, ces 2 vecteurs faisant entre eux un angle égal à \varphi\,. Et cette écriture sert à construire la multiplication des quaternions grâce à la composition des similitudes de \mathbb R³ comme on peut le voir en cliquant ici

Les similitudes de l'espace et les quaternions

Pour démystifier les quaternions, nous allons faire un petit détour instructif par la géométrie élémentaire et surtout par les similitudes dans l'espace. Une similitude dans {\mathbb R}ˆ3 est entièrement définie par la triple donnée :

Voyage et trajets

Plus exactement, l'image du transformé d'un vecteur V (dont l'origine est supposée localisée sur l'axe U) est obtenue en premier lieu par une multiplication (homothétie) de ce vecteur par k, suivi par une rotation d'angle 2φ autour de l'axe de rotation (on pourrait aussi commencer par la rotation et la faire suivre de l'homothétie, mais il faudrait modifier légèrement les explications qui vont suivre... ). Cette rotation fait tourner d'un angle 2φ l'extrémité du vecteur kV sur un cercle (C) centré sur l'axe et localisé dans un plan perpendiculaire à U. Or sur ce cercle, il y a deux façons d'effectuer le trajet : soit en utilisant un arc, soit en utilisant son complémentaire, ces arcs ne pouvant pas malheureusement être distingués par l'unique mesure 2φ + 2kπ.
C'est exactement cette difficulté que sert à résoudre la notion de quaternion. Schématiquement, on peut dire qu'un quaternion, c'est comme une similitude qui saurait distinguer les 2 trajets que peut emprunter la rotation associée.

Dans la vie courante, si pour un voyage entre deux localités L1 et L2, vous avez a priori deux trajets envisageables, la distinction entre ces trajets peut être faite en désignant deux sites-étapes intermédiaires s1 et s2. Et en parlant du trajet s1 et du trajet s2, vous sous-entendrez les localités de départ et d'arrivée L1 et L2.

En conservant cette ressemblance, il nous faut par conséquent définir deux points intermédiaires sur les deux arcs du trajet.

À mi-chemin

Les points localisés à mi-chemin sont parfaits pour cette mission. En effet, si je divise l'angle de vecteurs 2φ + 2kπ par 2, j'obtiens deux angles différents φ + 2kπ et φ-π + 2kπ. Or, si j'utilise la rotation d'axe U et d'angle φ + 2kπ, je définis un site-étape différent de celui que j'obtiens avec la rotation φ-π + 2kπ. Ainsi à la similitude sim (U, 2φ, k), il correspond deux trajets différents qui sont représentés par les deux quaternions différents quat (U, φ, k) et quat (U, −π+φ, k).

Le formalisme

Le triplet (U, φ, k) peut s'écrire de façon équivalente sous la forme du couple (kcos (φ), ksin (φ) ∙U) de la notation (a, V) . Et en utilisant des vecteurs a et b orthogonaux à U convenables, il est facile de montrer que ce couple prend la forme (a. b, aˆb). Ainsi, nos sites-étapes nous permettent de revenir à des opérations particulièrement simples sur des vecteurs. Et comme ces opérations sont riches de propriétés remarquables, on sait définir (comme on l'a vu ci-dessus) une multiplication et une addition des quaternions. Vous pouvez «voir» ces deux opérations sur les quaternions ici : http ://www. alcys. com

Une voie de recherche prometteuse peut être consultée sur le site [1]. On y définit précisément la similitude dans l'espace à trois dimensions par un bivecteur qui est au couple de vecteurs ce que le vecteur est au couple de points. La loi de composition introduite dans ces bivecteurs est effectivement non commutative, et la restriction de cet ensemble au plan est la totalité des complexes.

Double produit de quaternions

De même qu'on peut calculer un double produit vectoriel, il est envisageable de calculer un double produit de quaternions.

Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle

On peut démontrer que le transformé \vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec N\right]}(\vec V) \, de tout vecteur \vec V\, quelconque (de l'espace euclidien de dimension 3) dans la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right] d'angle 2\,\varphi\, et d'axe \vec N\, (\vec N\, étant un vecteur normé) peut être calculé grâce au produit de quaternions suivants :

(0,\ \vec V') = \left(0,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec N\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N)\cdot
(0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi,\ -\sin \varphi\ \vec N)

(\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N) et (\cos \varphi,\ -\sin \varphi\ \vec N) sont deux quaternions unitaires conjugués et où (0,\ \vec V) et (0,\ \vec V') sont des quaternions dont la composante scalaire est nulle.

On peut aussi écrire cette transformation avec la notation Q = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,. Si la rotation est autour d'un axe orienté selon le vecteur \vec N\, de coordonnées (x, y, z) (le vecteur étant normé) et d'angle 2\,\varphi, le quaternion associé vaut :

Q = \cos \varphi \cdot 1 + x \sin \varphi \cdot i+ y \sin \varphi \cdot j+ z \sin \varphi \cdot k

Composition de rotations vectorielles et produit de quaternions

La propriété précédente justifie le fait qu'on a coutume de dire, mais de façon peu rigoureuse, que le quaternion (\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N) représente la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right].

En utilisant le même langage approximatif, on peut dire que la composition de deux rotations successives \mathbf R_1 puis \mathbf R_2 est une rotation \mathbf R qui est représentée par le quaternion Q = Q_2\cdot Q_1\,, les quaternions Q_1\, et Q_2\, étant les représentants respectifs des rotations \mathbf R_1 et \mathbf R_2.

Montrons-le :

En posant : \vec V' = \, \mathbf R_1\, (\vec V)\,, puis \vec V'' = \, \mathbf R_2\, (\vec V')\,, la formule encadrée ci-dessus nous donne, écrite de façon condensée, les 2 égalités :
(0,\ \vec V') = Q_1\cdot (0,\ \vec V)\cdot Qˆ*_1 et
(0,\ \vec V'') = Q_2\cdot (0,\ \vec V')\cdot Qˆ*_2, ce qui peut par conséquent toujours s'écrire :

(0,\ \vec V'') = Q_2\cdot \left[Q_1\cdot (0,\ \vec V)\cdot Qˆ*_1\right]\cdot Qˆ*_2 ou, si on tient compte de l'associativité du produit de quaternions :
(0,\ \vec V'') = (Q_2\cdot Q_1)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (Qˆ*_1\cdot Qˆ*_2), ou encore :
(0,\ \vec V'') = (Q_2\cdot Q_1)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (Q_2\cdot Q_1)ˆ*, en tenant compte de la valeur du conjugué de deux quaternions.

Ce qui établit la propriété annoncée pour la composition de deux rotations et que nous écrirons :

\Bigg(0,\ \mathbf R_{\left[2\varphi_2, \vec N_2\right]}\left(\mathrm R_{\left[2\varphi_1, \vec N_1\right]} (\vec V)\right)\Bigg) = 
(\cos \varphi_2,\ \sin \varphi_2\ \vec N_2)
\cdot
(\cos \varphi_1,\ \sin \varphi_1\ \vec N_1)
\cdot
(0,\ \vec V)
\cdot 
(\cos \varphi_1,\ -\sin \varphi_1\ \vec N_1)
\cdot 
(\cos \varphi_2,\ -\sin \varphi_2\ \vec N_2)

Notations matricielles

De même qu'il est envisageable de mettre en correspondance le nombre complexe z = a + i b\, avec la matrice : \begin{bmatrix}a & -b \\b & a\end{bmatrix}\,, il est envisageable de faire correspondre le quaternion Q = a + b i + c j + d k\, avec la matrice complexe suivante :

\begin{bmatrix}a-id & -b+ic \\ b+ic & a+id\end{bmatrix}\,

ou encore avec la matrice réelle suivante :

\begin{bmatrix}\quad a&\quad -b &\quad -c &\quad -d\\
                     \quad b&\quad  a &\quad -d &\quad c\\ 
                     \quad c&\quad  d &\quad a  &\quad -b\\
                     \quad d&\quad -c &\quad b  &\quad a
       \end{bmatrix}\,

Il existe plusieurs représentations matricielles d'un quaternion. La matrice précédente en est une[1]. Celle qui suit est plus fréquemment utilisée. Ainsi, la matrice réelle créée à partir d'un quaternion s'écrit de cette façon (en gardant q=a+ib+jc+kd)  :

Si le quaternion unitaire représente une rotation depuis l'origine, on peut le représenter avec une matrice 3x3

\begin{bmatrix}\quad 1-2cˆ2-2dˆ2&\quad 2bc-2da& 2bd+2ca\\\quad 2bc+2da& \quad1-2bˆ2-2dˆ2& \quad2cd-2ba \\\quad 2bd-2ca&\quad2cd+2ba&\quad 1-2bˆ2-2cˆ2\end{bmatrix}\,

Avec ces équivalences, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au produit des matrices qui leur correspondent.

Remarque :

La matrice complexe \begin{bmatrix}a-id & -b+ic \\ b+ic & a+id\end{bmatrix}\, peut toujours s'écrire sous la forme :

a\ \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} +
b\ \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} +
c\ \begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix} +
d\ \begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}

où les 4 matrices : E = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, I = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}, J = \begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix} et K = \begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix} sont les matrices complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la première définition des quaternions.

Applications

Tandis que cela est discutable en dimension 3, les quaternions ne peuvent pas être employés dans d'autres dimensions (bien que des extensions comme celles des biquaternions et des algèbres de Clifford soient utilisables). De toute façon, la notion de vecteur avait presque universellement remplacé celle des quaternions en science et en technologie dans le milieu du XXe siècle.

Aujourd'hui, les quaternions trouvent leur place en infographie, en théorie de la commande, dans le traitement du signal, dans la commande de mouvement et la mécanique orbitale, essentiellement pour représenter les rotations et les orientations en dimension 3. A titre d'exemple, il est habituel que les dispositifs de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions. La raison est qu'effectuer énormément d'opérations sur les quaternions est numériquement plus stable que d'effectuer énormément d'opérations sur les matrices.

Interpolation de rotations

Si on prend deux rotations de l'espace ra et rb, l'interpolation linéaire de ces rotations n'est généralement pas une rotation. Pour pouvoir interpoler, il faut soit

Dans le dernier cas, les 2 rotations sont représentées par 2 quaternions qa et qb sur la sphère unité S3, et l'interpolation correspond à la géodésique entre ces 2 points

Sources

  1. P. Girard, Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste, PPUR, 2004, ISBN 2-88074-606-X

Voir aussi

Liens externes

Recherche sur Amazon (livres) :



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