Quadrilatère

En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Les trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés et cerfs-volant sont des quadrilatères spécifiques.



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Quadrilatère - Polygone

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Définitions :

  • polygone à quatre côtés; vient du latin quatuor, quatre et latus, lateris, côté – v. Carré, losange, rhomboïde, rectangle, trapèze... (source : villemin.gerard.free)
QUADRILATÈRES
+-------------+-------------+
concave convexe croisé
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.png Cross-quadrilateral.png
+-------------+-------------+
Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry).png Tangent quadrilateral.png
à cercle circonscrit trapèze tangentiel
| +-----------¦ |
Isoceles trapezium.png
trapèze isocèle
diagonales identiques
Parallelogram.png
parallélogramme
centre de symétrie
Kite.png
cerf-volant
diagonales perpendiculaires
+-----------+ +-----------+
Rectangle (geometry).png
rectangle
angles droits
Rhombus (geometry).png
losange
côtés égaux
+--------------------+
Square (geometry).png
carré

En géométrie plane, un quadrilatère (quelquefois nommé tétrapleure ou tétragone) est un polygone à quatre côtés. Les trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés et cerfs-volant sont des quadrilatères spécifiques.

Étymologie

Le mot quadrilatère provient du latin : quatuor, quatre et latus, lateris, côté. Le mot équivalent d'origine grecque est tétrapleure (de τέττερα / tettera, quatre et πλευρά / pleura, côté) ou tétragone (de γωνία / gônia, angle). Le mot tétragone était employé par Gerbert d'Aurillac au Xe siècle et par Oresme au XIVe siècle. Le terme quadrilatère est introduit en 1554 par Peletier. Certains auteurs latins employaient le mot «quadrangle» (Alcuin, VIIIe siècle) ou «helmuariphe», terme d'origine arabe (Campanus, XIIIe siècle, et d'autres à la Renaissance). Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle rentrant s'appelait un «koïlogone» (de κοιλοσ / koïlos, creux), et certains appelaient «trapèze» un quadrilatère dont l'ensemble des côtés sont inégaux. «Tétragone» est employé par Euclide dans Les Eléments pour désigner le carré[1].


Caractéristiques

Un quadrilatère est la figure notée «ABCD» constituée par :

Les sommets A et C sont dits opposés ; mais aussi les sommets B et D.
Les diagonales [AC] et [BD] joignent les sommets opposés.

Un quadrilatère peut être :

Quadrilatère convexe

En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères convexes.

Un quadrilatère est convexe si et uniquement si, quel que soit le côté qu'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière porte ce côté. Cette caractérisation est générale à tout polygone convexe. Dans le cas spécifique du quadrilatère, il existe aussi une autre caractérisation : un quadrilatère est convexe si et uniquement si les diagonales forment des segments sécants.

Lorsque un quadrilatère est convexe, une droite du plan ne passant pas par un sommet ne peut pas rencontrer plus de deux côtés du quadrilatère.

Somme des angles : La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360° mais cette propriété n'est plus vraie pour un quadrilatère concave.

Aire : L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment (l'angle utilisé étant le plus petit des deux angles constitués par les droites).

L'intérieur d'un quadrilatère convexe ABCD est alors défini comme l'intersection des demi-plans délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B. Il est alors envisageable, dans un plan pourvu d'un repère cartésien, de définir l'intérieur d'un quadrilatère en comparant des signes : le point P (x, y) est intérieur au quadrilatère convexe ABCD si et uniquement si les quatre conditions suivantes sont vérifiées :

(yByA) x − (xBxA) yxA. yB + xB. yA a même signe que (yByA) xC − (xBxA) yCxA. yB + xB. yA
(yCyB) x − (xCxB) yxB. yC + xC. yB a même signe que (yCyB) xD − (xCxB) yDxB. yC + xC. yB
(yDyC) x − (xDxC) yxC. yD + xD. yC a même signe que (yDyC) xA − (xDxC) yAxC. yD + xD. yC
(yAyD) x − (xAxD) yxD. yA + xA. yD a même signe que (yAyD) xB − (xAxD) yBxA. yA + xA. yD

Quadrangle et quadrilatère

Un quadrilatère dérive directement d'un quadrangle par le regroupement des sommets en deux paires. Pour chaque paire, les deux sommets sont dits opposés et le segment qui les joints (coté du quadrangle), n'est plus reconnu comme un côté, mais comme une diagonale du quadrilatère.

Donc la première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffit pas à les définir (mais définit un quadrangle, sous certaines conditions).

En effet, considérons quatre points A, B, C et D (non alignés trois à trois pour éviter certains problèmes).
Ces quatre points sont les extrémités de six segments différents : les six côtés du quadrangle : [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD].
Ces segments peuvent être assemblés, quatre à quatre, pour former trois quadrilatères différents (et trois uniquement)  :

Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.

Notation : Ainsi ABCD est une notation commune pour définir un quadrangle ou un quadrilatère.

Cependant si l'ordre des points est indifférent pour un quadrangle, il doit par contre être respecté (à une rotation ou un retournement près) pour conserver un même quadrilatère.

Il existe 24 arrangements des quatre points A, B, C et D basés sur le même quadrangle. Il y a trois quadrilatères ABCD, ACBD, ABDC.

Le même quadrilatère ABCD peut par conséquent s'écrire ABCD, BCDA, CDAB, DABC dans un sens ; DCBA, CBAD, BADC, ADCB dans l'autre sens.

Typologie des quadrilatères

Les quadrilatères quelconques offrent assez peu d'intérêt, mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères spécifiques bien connus (trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré, Cerf-volant, Pseudo-carré, ... )

Lorsque on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés spécifiques, on obtient par exemple :

Diagonales perpendiculaires

Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect. Parmi les quadrilatères convexes dont les diagonales sont perpendiculaires, on peut noter

Quadrilateres a diagonales perpendiculaires.png

L'aire de tous ces quadrilatères convexes est \frac {D \times d} 2 (où D et d sont les mesures des diagonales).

Côtés égaux deux à deux

Quadrilateres a cotes egaux.png

On n'obtient pas forcément un parallélogramme. Pour obtenir un parallélogramme, il faut que que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés opposés soient égaux. Si le quadrilatère n'est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l'antiparallélogramme.

Si les côtés égaux sont consécutifs deux à deux, on retombe sur le cerf-volant pour un quadrilatère convexe et la flèche pour un quadrilatère concave

Côtés parallèles

Quadrilateres a cotes paralleles.png

On retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères convexes : les trapèzes et les parallélogrammes.

Parmi les trapèzes spécifiques, on trouve le trapèze isocèle dont les côtés non parallèles sont de même longueur et le trapèze rectangle qui possède deux angles droit.

Parmi les parallélogrammes spécifiques on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges).

Quadrilateres remarquables.png

Ainsi, selon cette classification, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés. Il est aussi l'unique solution du problème isopérimétrique pour les quadrilatères. C'est-à-dire que, parmi l'ensemble des quadrilatères de même périmètre, le carré est celui qui possède la plus grande surface.

Les quadrilatères inscriptibles dans un cercle sont les quadrialtères dont les sommets sont cocycliques.

Figure du théorème de Ptolémée :
AC × BD= AB. CD+AD. BC

Le théorème de l'angle inscrit permet la caractérisation suivante : un quadrilatère est inscriptible si, et uniquement si, il possède deux angles opposés égaux ou supplémentaires : lorsque les angles sont supplémentaires c'est un quadrilatère convexe, et lorsque les angles sont égaux, c'est un quadrilatère croisé.

En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles.

Le théorème de Ptolémée permet d'affirmer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible si, et uniquement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

La formule de Brahmagupta donne l'aire d'un quadrilatère convexe dont les sommets se situent sur un même cercle en ne connaissant que la longueur de ses côtés.

S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

p = \frac 12 (a+b+c+d) \, est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.


Liens connexes

Références

  1. Étymologie pour le prof de maths

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