Proportionnalité

On dit que deux mesures sont proportionnelles lorsque on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par une même constante.



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Définitions :

  • Rapport des quantités qui sont proportionnelles entre elles (source : fr.wiktionary)
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On dit que deux mesures sont proportionnelles lorsque on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par une même constante. Dans le cas où on multiplie, cette constante est nommée cœfficient de proportionnalité.

Exemple : Si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre le prix à payer et le poids de pommes acquises. Le cœfficient de proportionnalité est 2.

On remarque que le quotient des deux quantités est constant et est égal au cœfficient de proportionnalité.

\frac{2}{1} = \frac{6}{3}=\frac{3}{1,5} = 2

Les Anciens comme Euclide auraient écrit que 2 est à 1 comme 6 est à 3 ou comme 3 est à 1, 5.

Tableau de proportionnalité

C'est un tableau où l'une des lignes est proportionnelle à l'autre.

poids 1 3 1, 5
prix 2 6 3

On peut ajouter une colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux colonnes, ou en multipliant une colonne par une constante.

poids 1 3 1, 5 4, 5
prix 2 6 3 9
poids 1 3 1, 5 6
prix 2 6 3 12

Si on choisit deux colonnes, le produit des nombres localisés dans une diagonale est égal au produit des nombres localisés dans l'autre diagonale (produit en croix)

3 1, 5
6 3

3 × 3 = 6 × 1, 5

Quatrième proportionnelle

La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies. Ce quatrième nombre s'obtient en faisant le produit des nombres localisés sur une même diagonale et en divisant par le troisième nombre.

Cette technique est nommée "règle de trois" ou "produit en croix".

Exemple. On considère que le nombre de pages et proportionnel au nombre d'heures passées à les écrire. Il faut 6 heures pour écrire un rapport de 33 pages, combien d'heures faut-il pour un rapport de 55 pages ?

Tableau de proportionnalité :

33 55
6  ?

Réponse : \frac{6 \times 55}{33} = 10

Proportionnalité et géométrie

La proportionnalité en géométrie est essentiellement utilisée dans le théorème de Thalès et dans les triangles identiques. Mais on la retrouve aussi dans les coordonnées de vecteurs colinéaires. En dimension 2, l'égalité des produits en croix ab'= ba'devient alors ab'- ba'= 0 (déterminant nul)

Notations.

En géométrie plane, la loi des sinus affirme une relation de proportionnalité entre les longueurs et les sinus des angles d'un triangle. Sa démonstration repose sur la règle du produit en croix. Soit ABC un triangle du plan euclidien. Les longueurs des segments [BC], [CA] et [AB] sont notés a, b et c respectivement. On note α, β et γ les mesures des angles en A, B et C. Les notations sont indiquées sur la figure ci-contre. La longueur h de la hauteur issue de A peut se calculer de deux manières. Si H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), les relations métriques dans les triangles rectangles ABH et ACH donnent :

AH = csin (β) = bsin (γ) .

Le calcul des longueurs des autres hauteurs donne de mene :

asin (β) = bsin (α) et asin (γ) = csin (α) .

La règle du produit en croix implique que (a, b, c) est proportionnel a (sinα, sinβ, sinγ) (loi des sinus). Cette loi est énoncée sous la forme

\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}.

Dans le traité de géométrie d'Euclide, deux triangles ABC et A'B'C'du plan euclidien sont définis comme identiques s'ils ont mêmes mesures d'angles. La loi des sinus implique tandis que les longueurs AB, BC, et CA sont proportionnelles à A'B', B'C'et C'A'. La condition "être identiques" équivaut à l'existence d'une similitude du plan euclidien envoyant ABC sur A'B'C'. La similitude multiplie l'ensemble des longueurs par un même cœfficient k nommé le rapport de la similitude. Il vaut le cœfficient de proportionnalité entre les longueurs (AB, BC, CA) et (A'B', B'C', C'A').

En géométrie vectorielle, deux vecteurs v et w d'un même espace vectoriel E sont dits colinéaires s'il existe un scalaire a tel que v=aw. Posons leurs coordonnées dans une base de E

v=(v_1,\dots,v_n) et w=(w_1,\dots,w_n).

Alors les vecteurs v et w sont colinéaires ssi (v1, ..., vn) est proportionnel à (w1, ..., wn).

Représentation graphique

Representation graphique d'y=kx

Dans un plan euclidien pourvu d'un repère cartésien, un point M est repéré par ses deux coordonnées x (l'abscisse) et y (l'ordonnée). Les coordonnées x=0 et y=0 correspondent à l'origine. Supposons que x et y représentent les valeurs de mesures (peut-être dans une unité fixée si les grandeurs mesurées sont physiques). Soit une séquence finie de données (x1, y1), ... (xn, yn). Ces données peuvent être interprétées comme les coordonnées respectivement des points M1, ..., Mn. La grandeur ou variable y fluctue linéairement selon la grandeur ou variable x si et uniquement si les points O, M1, ..., Mn sont alignés. C'est à dire, l'ensemble des points Mi sont localisés sur une même droite passant par l'origine. Cette droite D est tracée en bleu ci-contre. Par extrapolation, une nouvelle mesure donnerait un couple (x, y) qui correspondrait aux coordonnées d'un point de la droite D.

Il existe un réel k tel que l'ensemble des points de D sont précisément les points de coordonnées (x, kx). C'est à dire, un couple (x, y) correspond aux coordonnées d'un point de D si et uniquement si y = k×x. Le réel k est nommé pente ou cœfficient directeur de la droite. C'est aussi le cœfficient de proportionnalité de y comparé à x, On dit aussi que y ou y (x) est une fonction linéaire de x.

Lors d'une expérience, il se peut que des erreurs soient commises lors des relevés des mesures x et y. Les points O, M1, ..., Mn positionnés dans le graphique se retrouvent alors à proximité d'une droite, de pente k. Une certaine liberté de choix demeure sur la pente k, mais des choix en un sens meilleurs peuvent être faits, en utilisant des méthodes dites de régression linéaire.

Quantités inversement proportionnelles

Deux quantités sont inversement proportionnelles[1], si l'une est proportionnelle à l'inverse de l'autre. Cette condition équivaut à ce que leur produit soit constant.

Exemple : pour parcourir 100 km, le temps est inversement proportionnel à la vitesse.

Leur produit est constant et représente la distance parcourue

Notes et références

  1. Petite encyclopédie des mathématiques, éditions Didier, p 42

Voir aussi

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