Projection orthogonale

En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire ...

Catégories :

Algèbre bilinéaire - Mathématiques élémentaires

En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire :

en géométrie plane, c'est une projection telle que les deux droites — la droite sur laquelle on projette et la direction de projection — sont perpendiculaires ;
en géométrie dans l'espace, c'est une projection telle que la droite et le plan — quels que soient leurs rôles respectif — sont perpendiculaires.

La projection orthogonale est un type de perspective particulièrement utilisée en dessin (), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne fluctue pas avec la distance).

De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux.

La projection orthogonale sert à résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou d'une façon plus générale d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés».

L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.

Le fil à plomb est un outil qui sert à visualiser la projection orthogonale d'un point sur un plan (en première analyse du moins).

Dessin par projection orthogonale

Exemple de projection orthogonale sur un plan

Les projections orthogonales sont utilisées pour le dessin, surtout le dessin technique et les jeux vidéo. On peut distinguer typiquement deux types de projections utilisées :

la : le plan de projection contient deux des axes du repère orthonormé direct ;
la perspective axonométrique : le plan de projection est différent des plans sus-cités.

Voir ces articles.

Projection orthogonale en géométrie affine «élémentaire»

Projeté orthogonal sur une droite, distance

L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan courant (affine euclidien) : la projection orthogonale d'un point A sur une droite (D), est le point H appartenant à (D) tel que les droites (D) et (AH) soient perpendiculaires. On utilise fréquemment l'expression «abaisser la perpendiculaire issue de A» pour la construction de H, qui peut se faire à la règle et au compas. Mais également en effectuant le produit scalaire.

La distance AH est alors inférieure aux distances AM pour les autres points M de (D), strictement sauf si M=H.

Cette distance est nommée distance du point A à la droite D. Le calcul explicite peut se faire par l'application des formules de trigonométrie pour les triangles rectangles.

Le point A est sur la droite D si et uniquement s'il est égal à son projeté (A=H), ou encore si et uniquement si sa distance à D est nulle.

Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite

Toujours dans le plan affine euclidien, on considère généralement deux droites sécantes (D) et (D') formant un angle θ. La projection orthogonale est l'application p qui à chaque point M de (D) associe son projeté orthogonal H=p (M) sur (D').

Le point d'intersection I est son propre projeté : p (I) =I.

Une propriété remarquable de la projection est la façon dont elle transforme les distances. Si M et N sont des points de (D) et M'=p (M), N'=p (N) leur projeté orthogonal respectif, on obtient M'N'=MN. cos θ.

Surtout on remarquera, par parité de la fonction cosinus, que projeter orthogonalement les éléments de (D) sur (D') multiplie l'ensemble des distances par un facteur cos θ, mais projeter orthogonalement les éléments de (D') sur (D) multiplie l'ensemble des distances par le même facteur.

Projeté orthogonal sur un plan, distance

Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien

Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections «obliques».

On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F reconnu.

Projection orthogonale sur une droite vectorielle

Si F est une droite vectorielle génèrée par le vecteur a, la totalité des vecteurs orthogonaux à F est un hyperplan nommé hyperplan normal à F et défini par

$Fˆ\perp = \{ h\in E, (h\cdot a)=0\}∼$

Si x est un vecteur arbitraire de E, on peut toujours le décomposer de la façon suivante

$x=x_F+x_\perp$ avec $x_F = \dfrac{(a\cdot x)}{\|a\|ˆ2} a$

Et on constate que $x F$ est dans F, alors que $x_\perp=x-x_F$ est dans l'hyperplan normal à F.

Il est par conséquent toujours envisageable d'effectuer une projection orthogonale sur une droite vectorielle.

Existence d'une projection orthogonale

On peut donner un exemple d'espace F pour lequel la notion de projection orthogonale sur F n'a pas de sens. Ainsi si on considère l'espace $\mathbb R[X]$ des polynômes réels pourvu de son produit scalaire usuel, et F l'hyperplan Vect ( $1 + X, 1 + X 2, ..., 1 + X n, ...$ ), la totalité des vecteurs orthogonaux à F est réduit à {0}. On ne peut par conséquent décomposer les éléments de E, autres que ceux de F, en un élément de F et un élément orthogonal.

Cet exemple est frappant : tandis qu'une droite a toujours un supplémentaire orthogonal (unique d'ailleurs), un hyperplan peut particulièrement bien n'avoir aucun supplémentaire orthogonal. Il est complexe de faire un dessin convaincant pour une telle situation !

D'une façon plus générale on a équivalence entre les propriétés suivantes

il existe une projection orthogonale sur F
F admet un supplémentaire orthogonal
$Fˆ\perp$ est le supplémentaire orthogonal de F

Ceci montre au passage que le supplémentaire orthogonal, s'il existe, est unique.

Quand F admet un supplémentaire orthogonal, $(Fˆ\perp)ˆ\perp = F∼$ par conséquent F est obligatoirement fermé, puisque l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel l'est .

Un cas d'existence important

On peut généraliser la formule de projection sur une droite si F est de dimension finie. En effet, en considérant une base orthonormale $(e 1, ..., e n)$ de F, on exhibe la décomposition

$x=x_F+x_\perp$ avec $x_F = \sum_{i=1}ˆn (e_i\cdot x) e_i$

Attention à ne pas appliquer cette formule avec une base de F quelconque !

Si E est un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé, alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.

Le point commun entre les deux conditions suffisantes ci-dessus est qu'elles entraînent la complétude de F (tout sous-espace de dimension finie d'un préhilbert est complet, et tout sous-espace fermé d'un Hilbert aussi). Cette hypothèse plus faible est en fait suffisante :

si F est un sous-espace complet d'un espace préhilbertien E alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.

La preuve^[1] est semblable à celle du théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un Hilbert : ce n'est qu'un corollaire du théorème de projection sur un convexe complet dans un préhilbert.

Minimisation de la distance

Article détaillé : Espace euclidien.

Si le sous-espace F admet un supplémentaire orthogonal et si x est un point de E, le projeté orthogonal p de x sur F vérifie la propriété de minimisation suivante

$\forall f \in F, \|x-p\|\leq \|x-f\|∼$

et il n'y a égalité que pour f=p.

Donc p est le point de F le plus proche de x, ce qui apporte une définition alternative de p.

La distance $\|x-p\|$ est nommée distance de x à F. Cette propriété est démontrée dans l'article détaillé.

Caractérisations parmi les projecteurs

Par la norme subordonnée

Une application linéaire p sur l'espace préhilbertien E est k-lipschitzienne sur E si et uniquement si

$\forall x \in E, \|p(x)\|\leq k\|x\|∼$ ,

et la norme subordonnée de p est alors la plus petite des constantes k telles que p soit k-lipschitzienne.

On peut alors énoncer la caractérisation :

Soit p un projecteur de l'espace préhilbertien E, les trois conditions suivantes sont équivalentes :

p est une projection orthogonale

p est 1-lipschitzienne

la norme subordonnée de p est égale à 0 ou 1.

Démonstration

1 implique 2 car si p est une projection orthogonale, les vecteurs x - p (x) et p (x) sont orthogonaux, par conséquent le théorème de Pythagore assure que

$\|x\|ˆ2=\|x-p(x)+p(x)\|ˆ2=\|x-p(x)\|ˆ2+\|p(x)\|ˆ2 \ge \|p(x)\|ˆ2∼$ .

2 implique 1 car si p est une projection 1-lischitzienne alors pour tous vecteurs $y \in\rm{Im}(p)∼$ et $x \in\rm{Ker(p)}\setminus\{0\}∼$ , x et y sont orthogonaux. En effet, le projeté orthogonal z de y sur la droite vectorielle génèrée par x est nul, car z et y-z sont orthogonaux donc

$\|y\|ˆ2=\|z\|ˆ2+\|y-z\|ˆ2\ge\|z\|ˆ2+\|p(y-z)\|ˆ2=\|z\|ˆ2+\|y\|ˆ2\Rightarrow\|z\|ˆ2=0$ .

3 implique évidemment 2 mais réciproquement, la norme d'un projecteur 1-lispchitzien vaut 0 ou 1. En effet, la norme d'un projecteur non nul p vaut toujours au moins 1, car $\||p\||=\||p\circ p\||\le\||p\||ˆ2$ .

Par le fait d'être autoadjoint

Un projecteur de l'espace préhilbertien E est une projection orthogonale si et uniquement c'est un endomorphisme autoadjoint.

Démonstration

La condition est indispensable car si p est une projection orthogonale alors l'égalité $(x \cdot p(y)) = (p(x) \cdot y)$ est immédiate pour des vecteurs x, y appartenant chacun à l'image ou au noyau de p, puis couvre aux autres vecteurs, puisque ces deux espaces sont supplémentaires.
La condition est suffisante car le noyau et l'image d'un endomorphisme autoadjoint sont orthogonaux.

Voir aussi

Notes

↑ [1]

déterminant de Gram

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire

Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme symplectique • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Projection_orthogonale.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.