Projecteur
En algèbre linéaire, le projecteur est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Le vidéo- projecteur est l'unique solution pour obtenir une image de très grande.... La luminosité est déterminante dans le cas d'une projection en ... dans laquelle les pixels sont moins visibles (espace entre points particulièrement fin).... (source : son-video)
En algèbre linéaire, le projecteur est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes
- c'est une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante
- c'est aussi un endomorphisme idempotent : il vérifie p2=p
On peut aussi définir, dans un espace de Hilbert, le projecteur sur un convexe fermé (notion topologique et non plus algébrique)
- c'est l'application qui a tout élément de l'espace associe l'élément du convexe le plus proche
- dans le cas où le convexe est un sous-espace vectoriel, on retrouve un cas spécifique de projection orthogonale
Définition de la projection vectorielle
Soit F un sous-espace vectoriel de E, G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La projection p sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x'de F.
Propriétés
- Im (p) =F :
- Ker (p) =G :
Identification des projecteurs et des projections
Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve désormais la réciproque.
Théorème de caractérisation des projecteurs
Tout projecteur de E est une projection, exactement la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Surtout si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.
- Démonstration : on fait une démonstration valable en toute dimension
-
- les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p (y) et vérifie p (x) =0=p2 (y) =p (y) =x.
- tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p (x) + [x − p (x) ]
Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.
Finalement «projecteurs» et «couples d'espaces vectoriels supplémentaires» se correspondent bijectivement.
Projecteur associé à un autre projecteur
La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, nommé aussi projecteur associé à p.
L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.
Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires
Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels si et uniquement si pour tout
il existe des projecteurs
vérifiant :
et
si
.
Symétries
Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).
- p est un projecteur si et uniquement si s=2p-Id est une symétrie vectorielle
La recherche des endomorphismes tels que p2=p, ou que s2=Id effectuée ici est un cas spécifique simple du traitement de l'équation P (u) =0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.
Projecteurs orthogonaux
- Dans un espace quadratique, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et uniquement si
. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.
Représentation matricielle en base adaptée
En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est envisageable, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :
- Sur la diagonale apparaissent seulement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
- Les autres cœfficients sont nuls.
Voir aussi
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.