Projecteur

En algèbre linéaire, le projecteur est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes

Définition de la projection vectorielle

Soit F un sous-espace vectoriel de E, G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $x=x'+x'', (x',x'') \in F \times G$ . La projection p sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x'de F.

$p : \left\{\begin{matrix} E &\rightarrow F\\ x &\mapsto x'\end{matrix}\right.$

Propriétés

Im (p) =F :

Ker (p) =G :

$p\circ p = p$

Identification des projecteurs et des projections

Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p²=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve désormais la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs

Tout projecteur de E est une projection, exactement la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Surtout si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.

Démonstration : on fait une démonstration valable en toute dimension

les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p (y) et vérifie p (x) =0=p² (y) =p (y) =x.
tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) $x = p (x) + [x - p (x) ]$

Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.

Finalement «projecteurs» et «couples d'espaces vectoriels supplémentaires» se correspondent bijectivement.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, nommé aussi projecteur associé à p.

L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel $E$ est somme directe de sous espaces vectoriels $E_1,\cdots,E_n$ si et uniquement si pour tout $i \in \left \{ 1,\cdots, n \right \}$ il existe des projecteurs $\pi_i : E \to E_i$ vérifiant : $Id_E = \pi_1 + \cdots + \pi_n$ et $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $i \neq j$ .

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

p est un projecteur si et uniquement si s=2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p²=p, ou que s²=Id effectuée ici est un cas spécifique simple du traitement de l'équation P (u) =0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Dans un espace quadratique, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et uniquement si $Ker(p) = (Im(p))ˆ\perp$ . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est envisageable, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :

Sur la diagonale apparaissent seulement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
Les autres cœfficients sont nuls.

Voir aussi

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