Produit tensoriel

Tenseur



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On nomme produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Le produit d'un tenseur d'ordre p avec un tenseur d'ordre q est un tenseur d'ordre p + q (si le produit n'est pas contracté).

Le produit tensoriel n'est pas commutatif mais pseudo-commutatif.

Produit tensoriel

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent particulièrement vite lourdes à traîner. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Attention, les formules des produits tensoriels en termes de composantes ne sont valables que si les tenseurs sont exprimés comparé à une base orthonormée.

Les formules des produits tensoriels en termes de composantes fonctionnent toujours sur des tenseurs d'ordre 1 formant une base car une base quelconque est toujours exprimée en fonction d'une base orthonormée.

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 1 (vecteurs)

En termes de composantes :

\begin{align} (\underline A \otimes \underline B)ˆi_{\ j} &= Cˆi_{\ j} \\
&= AˆiB_j \end{align}

En termes tensoriel :

i \in \{1,2,3\},∼j \in \{1,2,3,4\}
 \underline A \otimes \underline B = Aˆi \underline\delta_i \otimes B_j \underline\deltaˆj = Aˆi B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\deltaˆj) = \sum_{i=1}ˆ3 \sum_{j=1}ˆ4 Aˆi B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\deltaˆj)
=∼
 Aˆ1 B_1 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\deltaˆ1) \; +  Aˆ1 B_2 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\deltaˆ2) \; + Aˆ1 B_3 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\deltaˆ3) \; + Aˆ1 B_4 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\deltaˆ4) \; +
 Aˆ2 B_1 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\deltaˆ1) \; +  Aˆ2 B_2 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\deltaˆ2) \; + Aˆ2 B_3 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\deltaˆ3) \; + Aˆ2 B_4 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\deltaˆ4) \; +
 Aˆ3 B_1 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\deltaˆ1) \; +  Aˆ3 B_2 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\deltaˆ2) \; + Aˆ3 B_3 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\deltaˆ3) \; + Aˆ3 B_4 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\deltaˆ4) \;
=∼
 Aˆ1 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; +  Aˆ1 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ1 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ1 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \; +
 Aˆ2 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; +  Aˆ2 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ2 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ2 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \; +
 Aˆ3 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; +  Aˆ3 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ3 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + Aˆ3 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \;
=∼
 Aˆ1 B_1 \; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +  Aˆ1 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ1 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ1 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +
 Aˆ2 B_1 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +  Aˆ2 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ2 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ2 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +
 Aˆ3 B_1 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +  Aˆ3 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ3 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + Aˆ3 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}Aˆ1B_1 & Aˆ1B_2 & Aˆ1B_3 & Aˆ1B_4 \\ Aˆ2B_1 & Aˆ2B_2 & Aˆ2B_3 & Aˆ2B_4 \\ Aˆ3B_1 & Aˆ3B_2 & Aˆ3B_3 & Aˆ3B_4\end{bmatrix} = \underline{\underline C}

On remarque qu'on peut exprimer ce produit tensoriel par un produit matriciel :

 \underline A \otimes \underline B = \begin{bmatrix} Aˆ1 \\ Aˆ2 \\ Aˆ3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \end{bmatrix}

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 2 (matrices)

En termes tensoriel :

\begin{align} \underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G} &= Tˆ{ij} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j)  \otimes G_{kl} \; (\underline \deltaˆk \otimes \underline \deltaˆl) \\
&=  Tˆ{ij} G_{kl} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \otimes \underline \deltaˆk \otimes \underline \deltaˆl) \\
&= \underline{\underline{\underline{\underline A}}} \end{align}

En termes de composantes :

\begin{align} (\underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G})ˆ{ij}_{\ \ kl} &= Aˆ{ij}_{\ \ kl} \\ &= Tˆ{ij}G_{kl} \end{align}

Produit tensoriel d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

\begin{align}(\mathbf{T} \otimes \mathbf{G})ˆ{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} &= Aˆ{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \end{align}

En termes tensoriel :

\begin{align}\mathbf{T} \otimes \mathbf{G} &= Tˆ{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \otimes G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\deltaˆ{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \otimes \underline\deltaˆ{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= \mathbf{A} \end{align}

Produit tensoriel contracté

Produit tensoriel contracté une fois

On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.

\begin{align} \underline{\underline T} \; \overline \otimes \; \underline{\underline G} &= Tˆ{i j} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j) \; \overline \otimes \; G_{k l} \; (\underline \deltaˆk \otimes \underline \deltaˆl) \\
&= Tˆ{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \; \overline \otimes \; \underline \deltaˆk \otimes \underline \deltaˆl) \\
&= Tˆ{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \cdot \underline \deltaˆk \otimes \underline \deltaˆl) \\
&= Tˆ{i j} G_{k l} \delta_jˆ{\ k} (\underline\delta_i \otimes \underline\deltaˆl) \\
&=Tˆ{i j} G_{j l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\deltaˆl) \\
&= \underline{\underline A} \end{align}

Le symbole \delta_jˆ{\ k} est nommé le delta de Kronecker

En termes de composantes :

\begin{align} ( \underline{\underline T} \; \overline\otimes \; \underline{\underline G} )ˆi_{\ l} &= (\underline{\underline T} \cdot \underline{\underline G} )ˆi_{\ l} \\
&= Aˆi_{\ l} \\
&= Tˆ{i j} G_{j l} \end{align}

On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent.

Produit tensoriel contracté deux fois

On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4..., n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un d'ordre 2.

\begin{align}\underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} &= Tˆ{i j k} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k) \; \overline{\overline\otimes} \; E_{l m} \; (\underline\deltaˆl \otimes \underline\deltaˆm) \\
&= Tˆ{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k \; \overline{\overline\otimes} \; \underline\deltaˆl \otimes \underline\deltaˆm) \\
&= Tˆ{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k : \underline\deltaˆl \otimes \underline\deltaˆm) \\
&= Tˆ{i j k} E_{l m} \delta_kˆ{\ l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \cdot \underline\deltaˆm) \\
&= Tˆ{i j k} E_{l m} \delta_kˆ{\ l} \delta_jˆ{\ m} \underline\delta_i \\
&= Tˆ{i j k} E_{k m} \delta_jˆ{\ m} \underline\delta_i \\
&= Tˆ{i j k} E_{k j} \underline\delta_i \\
&= Tˆ{i j k} E_{j k} \underline\delta_i \\
&=\underline V \end{align}

Attention, Ejk n'est pas nécessairement égal à Ekj mais ici il y a sommation sur les indices j et k, l'ordre des indices n'importe par conséquent pas.

En termes de composantes :

\begin{align} ( \underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} )ˆi &= (\underline{\underline{\underline T}} : \underline{\underline E})ˆi \\
&= Vˆi \\
&= Tˆ{i j k} E_{j k} \end{align}


Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme suit : O = P + Q − 2 (n) Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur tandis que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.


On utilise aussi pour le produit contracté la notation suivante : un point entre les tenseurs, comme pour le produit scalaire classique \underline{u} . \underline{v} Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points juxtaposés (autant de point que de contraction dans le produit). Ainsi, le double-produit contracté se note \underline{\underline{\sigma}}:\underline{\underline{\epsilon}}.

Produit tensoriel contracté n fois d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

\begin{align}(\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G})ˆ{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} &= Aˆ{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \end{align}

En termes tensoriel :

\begin{align}\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G} &= Tˆ{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\deltaˆ{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \underline\deltaˆ{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \delta_{i_p}ˆ{\ \ j_1} \cdots \delta_{i_{p-n+1}}ˆ{\ \ \ \ \ \ \ j_n} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\deltaˆ{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_p \cdots i_{p-n+1} j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\deltaˆ{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= Tˆ{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\deltaˆ{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\deltaˆ{j_q}) \\
&= \mathbf{A} \end{align}

Voir aussi

Recherche sur Amazone (livres) :



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