Produit cartésien

En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, nommé ensemble-produit, est la totalité de l'ensemble des couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y.

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Théorie des ensembles - Opération

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Si E et F sont deux ensembles, on nomme " Produit Cartésien de E par F" la totalité noté ExF constitué de l'ensemble des couples envisageables (e ; f) où e est un... (source : maths-express)
On nomme produit cartésien de deux ensembles E et F la totalité noté E×F des couples (a, b) où a est un élément de E, et b un élément de F. A titre d'exemple, ... (source : bibmath)

Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes.

En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, nommé ensemble-produit, est la totalité de l'ensemble des couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise aisément la notion de produit cartésien binaire à celle de produit cartésien fini, qui est alors un ensemble de multiplets, on dit n-uplets pour les éléments d'un produit cartésien de n ensembles. On peut aussi introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne). Pour généraliser aux produits cartésiens illimités, des produits d'une famille quelconque (peut-être illimitée) d'ensembles, on a besoin de la notion de fonction.

Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes, qui, en créant la géométrie analytique, a le premier utilisé ce que nous appelons désormais, $\ _\mathbb R$ ² = $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ pour représenter le plan euclidien et $\ _\mathbb R$ ³ = $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ pour représenter l'espace euclidien tri-dimensionnel ( $\ _\mathbb R$ sert à désigner la droite réelle).

Produit cartésien de deux ensembles

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un unique ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :

$\forall A \; \forall B \; \exists! P\;\forall x \; \forall y \;[( x \in A \wedge y \in B ) \Leftrightarrow ( x , y ) \in P]$

Cet ensemble est noté «A x B» (lire «A croix B») et il est nommé produit cartésien de A par B.

Si on considère couples et produits cartésiens comme une notion primitive, on aura comme axiome cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre en principe des ensembles, pour la représentation des couples choisie.

Exemple

Si A est la totalité { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } et B la totalité { pique, cœur, carreau, trèfle }, alors le produit cartésien de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, soit la totalité suivant :

{ (A, pique)... (2, pique), (A, cœur)... (2, cœur), (A, carreau)... (2, carreau), (A, trèfle)... (2, trèfle) }.

Propriétés

On déduit directement de la définition que le produit cartésien d'un ensemble par la totalité vide est égal à la totalité vide, c'est-à-dire que pour tout ensemble $A$ :

$\varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing$

Si A et B sont de cardinaux finis, alors le cardinal de A x B est égal au produit des cardinaux de A et de B.

En règle générale, B x A ≠ A x B. Plus exactement, pour deux ensembles quelconques $A$ et $B$ :

$[A \times B \ne B \times A] \Leftrightarrow [( A \ne B ) \wedge ( A \ne \varnothing ) \wedge ( B \ne \varnothing )]$

A x A est noté A² (lire «A au carré») et nommé carré cartésien de A :

$Aˆ2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}$

A² ne doit pas être confondu avec ΔA (lire «delta A»), diagonale de A :

$\Delta A = \{ ( x, x ) | x \in A \}$

Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et uniquement si cet ensemble est vide ou se réduit à un singleton.

Les sous-ensembles d'un produit cartésien sont nommés graphes.

Représentation en principe des ensembles

En théorie des ensembles, si on choisit, comme habituellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de $\ _\mathfrak P$ [ $\ _\mathfrak P$ (A $\ _{ \cup }$ B) ] (où $\ _\mathfrak P$ (E) sert à désigner l'ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion et de l'axiome de la totalité des parties.

On peut par conséquent définir le produit cartésien par compréhension, on aura évidemment besoin des couples, par conséquent, en plus des axiomes qui ont précédé, de l'axiome de la paire et du schéma d'axiomes de compréhension :

$A \times B = \left \{ (a, b)| ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}=\left \{z\in \mathfrak P(\mathfrak P(A\cup B))|\exists a \in A\; \exists b \in B\ z = (a,b) \right\}$

On peut aussi définir le produit cartésien en utilisant le schéma d'axiomes de remplacement au lieu de la totalité des parties^[1] :

$A \times B = \left \{ (a, b)| ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}=\bigcup_{b \in B} \left \{z | \exists a \in A\ z = (a,b) \right\}$

Représentation en principe des catégories

Dans la catégorie des ensembles, étant donnés deux objets S et T il existe un objet P et deux morphismes $p_1 : P\to S$ et $p_2 : P\to T$ tels que pour tout objet X et tous morphismes $f_1 : X\to S$ et $f_2 : X\to T$ il existe un unique morphisme $f$ : X→P tel que $f_1 = p_1 \circ f$ et $f_2=p_2\circ f$ . L'objet P n'est autre que le produit cartésien SxT dont l'existence est discutée ci-dessus. Un couple est alors un élément de SxT ; si $p 1 (M) = s$ et $p 2 (M) = t$ , on note M= (s, t) .

Dans une catégorie quelconque, un produit P n'existe pas forcément, et lorsqu'il existe, il sera unique à isomorphisme unique près. Surtout, l'ensemble des structures ainsi obtenues sont isomorphes, ce qui sert à définir le produit cartésien SxT^[2]^,^[3].

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété principale : deux triplets sont égaux si et uniquement si leurs premières composantes sont identiques entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

$\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]$

Ici encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et ici encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont envisageables a priori. On pose généralement :

$\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )$

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par :

$A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}$

D'après ce qui précède, A x B x C = (A x B) x C. Ici encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est nommé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire «A au cube») :

$Aˆ{3} = \{ ( x, y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \wedge ( z \in A ) \}$

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :

Propriété principale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,$

$[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]$

Définition d'un n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )$

Produit cartésien de n ensembles :

$A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}$

Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble :

$Aˆ{n} = Aˆ{n-1} \times A = \prod_{i=1}ˆn A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}$

Note : en peut définir des produits cartésiens illimités (voir ci-dessous), mais pour le faire, nous avons besoin de la notion de fonction.

Somme disjointe

Dans une réunion d'ensembles A∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme { α } × A et { β } × B , où «α» et «β» sont deux symboles quelconques différents permettant de identifier les ensembles A et B, par exemple «Ø» et «{ Ø }», ou «0» et «1».

L'union disjointe, toujours nommée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles A et B est ainsi définie par :

$A + B = A \dot \cup B = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )$

On peut remarquer que la somme disjointe de deux ensembles vérifie aussi la propriété principale des couples. Qui plus est , contrairement aux couples de Kuratowski, cette notion, qui n'utilise que des opérations ensemblistes élémentaires, peut s'appliquer aux classes propres. C'est pourquoi les sommes disjointes sont quelquefois nommées couples généralisés, et utilisées ainsi en théorie des classes.

La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. A titre d'exemple, pour trois ensembles quelconques A, B et C :

$A\dot \cup B \dot \cup C = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C )$

On rappelle que l'entier de von Neumann 2 peut se définir comme {Ø, {Ø}}. D'une façon plus générale, l'entier de von Neumann n étant défini, l'entier de von Neumann n+1 est défini par n+1 = n ∪ {n}.

On peut par conséquent généraliser ce qui précède et définir ainsi la somme disjointe de n ensembles $A_0 , A_1, \cdots A_{n-1}$ quelconques :

$A_0 \dot\cup A_1 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}ˆ{n-1}(\{i\}\times A_i)$

D'autre part cette définition de la somme disjointe utilise les entiers de la théorie des ensembles, non ceux du méta-langage. On peut par conséquent aussi généraliser cette notion à des ensembles quelconques (non obligatoirement finis) d'indices, par exemple des réunions disjointes dénombrables.

La définition de la somme disjointe souffre d'un arbitraire inessentiel. On peut définir la somme disjointe comme étant la réunion $\bigcup_{i\in I} (A_i\times\{i\})$ ou bien $\bigcup_{i\in I} (\{i\}\times A_i)$ . Ces deux possibilités correspondent respectivement à un marquage «à droite» ou «à gauche» des éléments de la réunion $\bigcup_{i\in I} A_i$ selon l'indice associé à la totalité dont ils proviennent. Dans les deux cas, il existe une surjection de la somme disjointe sur la réunion, qui est une bijection si les ensembles de la famille { $A i$ } sont disjoints deux à deux. (Voir la section famille d'ensembles pour la notation)

Produits illimités

On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou illimité.

Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de produit cartésien binaire, du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour précisément celle de couple, et par conséquent de produit cartésien binaire. ^[4]

Famille d'ensembles

Une famille $A$ d'ensembles indexée par un ensemble $I$ est une fonction définie sur $I$ . L'image de $i$ par $A$ est notée $A i$ . Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue.

La famille $A$ indexée par $I$ sera plutôt notée { $A i$ }. Au sens de la théorie des ensembles, la famille { $A i$ } peut être assimilée à son graphe, la totalité des couples ( $i$ , $A i$ ), pour ${i \in I}$ .

Cependant, la réunion d'une famille { $A i$ }, notée $\bigcup_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,$ , sert à désigner bien la réunion des images $A i$ de la famille comme fonction, et non celle des éléments de la famille comme graphe, qui sont au sens strict les couples ( $i$ , $A i$ ).

Produit cartésien d'une famille d'ensembles

On peut désormais définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles { A_i } _i∈I, qu'on note généralement $\prod_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,$ , ou quelquefois $\begin{matrix} \, \\ \times \\ \,ˆ{i \in I} \end{matrix} \, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,$ .

Il s'agit de la totalité des fonctions $f$ de $I$ dans la réunion de la famille, telles que pour tout $i$ dans $I$ , $f (i)$ appartienne à $A i$ :

$\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \ |\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i \} \,$

Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'index j, élément de $I$ .

Pour cela, on définit pour tout j dans $I$ , la fonction nommée j-ème projection,

$\pi_{j} : \prod_{i \in I} A_i \to A_{j},$

par :

$\pi_{j}(f) = f(j)\,$ .

On peut énoncer l'axiome du choix ainsi : le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.

Notes et références

↑ Harvey Friedman.
↑ Bæz, quantum, node 4
↑ Colin McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Clarendon Press, Oxford, 1995.
↑ Une fonction de A dans B est fréquemment introduite comme un triplet (A, B, C), où C est un sous-ensemble du produit cartésien A × B, nommé graphe de la fonction et tel que tout élément de A figure (en première composante) dans précisément un couple de C. En pratique cependant, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on peut par abus de langage assimiler la fonction à son graphe C. D'ailleurs en théorie des ensembles on définit fréquemment une fonction directement comme un ensemble de couples. La pratique est cohérente — être une fonction de A dans B devient alors une propriété de la fonction — mais pas à conseiller dans les cours d'introduction aux mathématiques.

Voir aussi

Opérations sur les ensembles
Couple
Correspondance et relation

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