Probabilité conditionnelle

La notion de probabilité conditionnelle sert à tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. A titre d'exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir...

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L'application pB ainsi définie se nomme " probabilité B- conditionnelle ". On note fréquemment (et abusivement) A | B l'événement "A est réalisé" sachant que B... (source : pagesperso-orange)
La probabilité conditionnelle de A sachant B est : \displaystyle P[A\, \ vert\, B]=\. Interprétation : Le fait de savoir que B... (source : math-info.univ-paris5)

La notion de probabilité conditionnelle sert à tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. A titre d'exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir un cœur ; mais si j'aperçois un reflet rouge sur la table, je corrige mon estimation à une chance sur deux. Cette seconde estimation correspond à la probabilité d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge. Elle est conditionnée par la couleur de la carte ; par conséquent, conditionnelle.

La pratique n'est cependant pas forcément aisée, comme le montrent certains paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers. D'où l'obligation d'une définition rigoureuse.

Définition

En théorie des probabilités, la probabilité conditionnelle d'un événement A, sachant qu'un autre événement B de probabilité non nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté $\mathbb{P}(A|B)$ défini par :

$\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$

Le réel $\mathbb{P}(A|B)$ se lit «probabilité de A, sachant B». $\mathbb{P}(A|B)$ se note aussi quelquefois $\mathbb{P}_B(A)$ .

Mathématiquement, soient $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$ , un espace probabilisé et B un événement de probabilité non nulle (non quasi-impossible). À tout événement A de $\mathcal B$ , nous associons le nombre noté $\mathbb{P}(A|B)$ ou $\mathbb{P}_B(A)$ défini par :

$\mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ .

Nous pourrions vérifier que l'application $\mathbb{P}_B$ définie par $A\mapsto \mathbb{P}_B(A)$ est une probabilité.

Si A et B sont indépendants alors :

$\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)$

Espérance conditionnelle

Article détaillé : Espérance conditionnelle.

Soit $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$ un espace probabilisé, X une variable aléatoire réelle intégrable et B un évènement. On nomme espérance conditionnelle :

$\mathbb{E}(X|B)=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\int_B X d\mathbb{P}$

$\mathbb{E}(X|B)$ est l'espérance de X sachant que B s'est réalisé.

Densité conditionnelle

Soit $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$ , Soit X et Y deux variables aléatoires de loi jointe f (x, y). Soit y₀ tel que $\int f(x,y_0) dx \neq 0$ . On nomme densité conditionnelle la loi :

$g(x|y_0)= \frac{ f(x,y_0) }{\int f(x,y_0) dx }$

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