Polynôme

Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, généralement notées X, Y, Z… Ces objets sont beaucoup utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement...



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Courbe polynomiale cubique

Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, généralement notées X, Y, Z… Ces objets sont beaucoup utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article courbe de Bézier, décrivant un cas spécifique de fonction polynôme).

Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme :

 a_0 + a_1 Xˆ1 + a_2 Xˆ2 + \cdots + a_n Xˆn \,

X est un symbole nommé indéterminée du polynôme, supposé être différent de tout élément de l'anneau, et les cœfficients ai sont dans l'anneau.

Si, en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est habituel de confondre le polynôme avec la fonction polynôme, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite essentiellement du polynôme formel à une indéterminée.

Considérations historiques

Article détaillé : Histoire des polynômes.

L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Originellement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle indispensable de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les cœfficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ou des corps quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Polynômes formels

Article détaillé : Polynôme formel.

Un polynôme f à une indéterminée est défini comme une expression formelle de la forme

 f = a_n Xˆn + a_{n - 1} Xˆ{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0 \,

où les cœfficients a0, .., an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel nommé indéterminée du polynôme.

La totalité des polynômes à une indéterminée X à cœfficients dans un anneau A, noté A[X], peut être construit à partir de la totalité des suites (a_i)_{i\in\mathbf{N}} à support fini (donc nulles à partir d'un certain rang, nommées aussi suites presque nulles) d'éléments de A, en le munissant d'une structure d'anneau. Dans cette construction un terme aXk est représenté ensuite qui est nulle partout, sauf que ak = a.

Le degré de ce polynôme est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses cœfficients ne sont pas tous nuls), par \max\{j\in\N ; a_j\ne 0_A\}, c'est le plus grand exposant de X devant lequel le cœfficient n'est pas nul. On note le plus souvent le degré d'un polynôme P, deg (P) ou \operatorname{dˆ\circ}(P). Par convention, le degré du polynôme nul vaut -\infty.

Deux polynômes sont égaux si et uniquement si les suites de leurs cœfficients sont identiques. Les polynômes à cœfficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des cœfficients correspondants, et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication comparé à l'addition et la règle suivante :

aX k bX l = ab X k + l pour l'ensemble des entiers naturels k et l.

On peut alors vérifier que la totalité de l'ensemble des polynômes à cœfficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau, et que l'application de A vers cet anneau qui envoie a sur a X0 est une morphisme injectif d'anneaux. L'«anneau des polynômes à cœfficients dans A» est désigné par A[X] et on considère A comme sous-anneau de A[X] par le morphisme mentionné.

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.

On peut génèrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en strict que X commute avec tous éléments de la totalité A. Pour que la totalité obtenu devienne un anneau, l'ensemble des combinaisons linéaires de puissances de X doivent être aussi adjointes à la totalité.

Fonctions polynômes

Article détaillé : Fonction polynôme.

À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et par conséquent les «analystes» ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini  \mathbb Z /_{\displaystyle 2 \mathbb Z}, le polynôme X + X2 est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est .

Morphisme d'évaluation : D'une façon plus générale, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément x_0 \, appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f dans A[X], associe l'élément  f ( x_0 ) \, de E (défini comme ci-dessus), est nommée morphisme d'évaluation en  x_0 \, de A[X] dans E. Un cas particulièrement habituel est celui où A est un corps  \mathbb K \,, et E l'algèbre des matrices n × n sur  \mathbb K \,, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur  \mathbb K \,. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

 f ( M ) = a_n Mˆn + a_{n - 1} Mˆ{n - 1} + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,
 f ( u ) = a_n uˆn + a_{n - 1} uˆ{n - 1} + \cdots + a_1 u + a_0 Id_{\mathbb K} \,

Divisibilité

En algèbre commutative, c'est-à-dire dans un anneau commutatif unitaire intègre, une attention spécifique est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent lorsque les cœfficients sont pris dans un corps.

Cœfficients dans un anneau commutatif unitaire intègre

Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f. q = g.

On peut démontrer tandis que «chaque racine génère un facteur linéaire», ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f (a) = 0, alors le polynôme (X - a) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Horner.

Certains polynômes aux propriétés spécifiques se détachent alors :

Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
Un polynôme du premier degré aX+b est par conséquent irréductible si et uniquement si a et b sont premiers entre eux (par exemple, tout polynôme unitaire du premier degré est irréductible, alors que 2X+2=2 (X+1) n'est pas irréductible dans  \mathbb Z[ X ]\,).
Le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans  \mathbb R[ X ] \,, mais pas dans  \mathbb C [ X ] \,.
Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est par conséquent aussi factoriel.
Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalentes mais, dans les autres cas, on a uniquement la propriété suivante : un polynôme premier est irréductible.

Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif quand l'anneau est le plus petit parfait principal contenant les cœfficients du polynôme.

 X 2 + 1 est scindé sur  \mathbb C \, (il se décompose en (X + i) (X - i) ) mais pas sur  \mathbb R \,.

Cœfficients dans un corps commutatif

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont seulement déterminés par f et g. C'est ce qu'on nomme la division euclidienne ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

K[X] est par conséquent un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à cœfficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1.

Réductibilité des polynômes de ℤ[X]

Un polynôme primitif A de \mathbb{Z}[X] est irréductible si et uniquement si, reconnu comme polynôme de \mathbb{Q}[X] , il est irréductible dans \mathbb{Q}[X] . De plus si A = B. C dans \mathbb{Q}[X] , il existe un rationnel non nul \quad\lambda tel que \quad\lambda B et \quad \lambda ˆ{-1} C soient dans \mathbb{Z}[X]

Indications sur la démonstration :

On vérifiera que pour tous \quad A, B \in\mathbb Z[X] et tout \quad p \in \mathbb Z on a \quad \Gamma (pA)= |p|\Gamma (A) et \quad\Gamma (A°=\Gamma (A)\ \Gamma (B).

Mais \quad\Gamma (B') \Gamma (C') =\Gamma (B'À) = \beta\gamma\ \Gamma (A) = \beta\gamma.
En posant \quad B''=B'/\Gamma (B')\ et\ C''=C'/\Gamma (C'), on a les polynômes \quad B'' et \quad C''\in\mathbb Z [X] et l'égalité \quad\beta \gamma\ A = B'À entraîne \quad A = B''\ C''.

Remarque

Si \quad A, B, C \in \mathbb Z [X] vérifient \ A=BC et si \quad A est unitaire alors \quad B\ et\ C sont aussi unitaires (au signe près).

Constructions de nouvelles structures

Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.

Corps des fractions

Article détaillé : Fraction rationnelle.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut par conséquent construire son corps des fractions, nommé corps des fractions rationnelles à cœfficients dans A et d'indéterminée X.

Corps de rupture

Article détaillé : Corps de rupture.

La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X], on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.

Si P est un polynôme irréductible (i. e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.

La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I génèré par P. Il est premier si les cœfficients sont dans un anneau, il est maximal si les cœfficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.

On plonge alors A dans cet anneau AP par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe \dot a la classe d'a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P (r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle par conséquent P (r) = 0.

Il est envisageable de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant l'ensemble des racines. Ce corps se nomme le corps de décomposition.

Un corps est algébriquement clos lorsqu'il est inutile de chercher des corps de rupture. C'est-à-dire lorsque l'ensemble des polynômes sont scindés. C'est le cas surtout de \mathbb C.

Autres opérations sur les polynômes

Polynôme dérivé

Sur A[X], si P est le polynôme défini par P(X) = \sum_{i=0}ˆn a_iXˆi, le polynôme dP défini par {\rm d}P(X) =  \sum_{i=1}ˆn i a_iXˆ{i-1} si n est non nul et par 0 sinon se nomme le polynôme dérivé de P.

L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et par conséquent de groupes vérifiant d (PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.

Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et uniquement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. En effet, dire qu'une racine r est multiple pour un polynôme P c'est dire qu'il existe n strictement supérieur à 1 et un polynôme Q[X] tel que P[X] = (Xr) nQ[X]. Un simple calcul de dérivé montre tandis que dP[X] = n (Xr) n − 1Q[X] + (Xr) ndQ[X].

Division

Article détaillé : Division d'un polynôme.

Si K est un corps commutatif, l'anneau K[X] dispose de deux divisions. La première est euclidienne et confère à la totalité des polynômes une structure d'anneau euclidien permettant d'y développer une arithmétique des polynômes légèrement analogue à celle des entiers. Cet arithmétique s'avère importante pour la factorisation des polynômes. La seconde est dite selon les puissances croissantes. Elle est utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou d'un développement limité.

Polynôme en plusieurs indéterminées

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être reconnu comme l'anneau des polynômes de la variable Y à cœfficients dans A[X].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.

Xˆ3 + 3XYZˆ2 - 5Y + 7\,

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées

Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.

Ces polynômes sont aussi dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable.

Voir aussi

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