Polygone régulier
En géométrie, il existe deux définitions équivalentes de polygone régulier.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Un polygone (croisé ou non) est dit régulier s'il est équilatéral et équiangle, c'est à dire, si tous ses côtés et ses angles sont égaux entre eux.... (source : mathcurve)
- Un polygone est régulier lorsque ses côtés sont congrus et que ses angles ont la même mesure. Un polygone régulier est équilatéral et équiangle.... (source : recreomath.qc)
- L'étude des polygones réguliers convexes (angles et côtés de même mesure) est né de la volonté des mathématiciens grecs de l'Antiquité de perfectionner la... (source : serge.mehl.free)


En géométrie, il existe deux définitions équivalentes de polygone régulier.
- Par les angles et les côtés.
Un polygone régulier est un polygone convexe dont l'ensemble des angles ont la même mesure et tous les côtés la même longueur.
- Par rotation.
Si on se donne deux points O et A, un nombre entier n supérieur ou égal à 3, alors les images successives de A par des rotations de centre O et d'angles génèrent les sommets d'un polygone régulier à n côtés et centre O.
Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables.
Dans certains contextes, l'ensemble des polygones reconnus seront réguliers. Dans de telles circonstances, il est habituel de sous-entendre l'épithète «régulier». A titre d'exemple, l'ensemble des faces des polyèdres uniformes doivent être régulières et les faces seront décrites simplement comme triangle, carré, pentagone...
De tels polygones sont le support des nombres polygonaux.
Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité ainsi qu'à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.
Propriétés
Vocabulaire


Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre et le rayon de ce cercle sont aussi nommés centre et rayon du polygone régulier. La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est l'apothème.
Comme les polygones réguliers à n côtés sont identiques, la donnée d'une des trois longueurs (côté, rayon ou apothème) sert à connaître les deux autres et par conséquent de caractériser le polygone.
Si on note a l'apothème, r le rayon et c la moitié du côté d'un polygone régulier à n côtés, ces longueurs sont liées par le théorème de Pythagore :
- a2 + c2 = r2
et par les formules de trigonométrie (les angles étant exprimés en Degrés) suivantes :
Angles
Les angles au centre d'un polygone régulier à n côtés mesurent .
Chaque angle d'un polygone régulier à n côtés a une mesure de degrés, ou encore
radians ou
tours.
Aire et périmètre
Si t est la longueur d'une arête, l'aire a et le périmètre p d'un polygone régulier à n côtés est donnée par la formule suivante :

Si ρ sert à désigner le rayon du polygone, c'est-à-dire la distance entre le centre et un sommet, on obtient :

Cette aire est aussi égale à la moitié du périmètre multiplié par la longueur de l'apothème.
Si n est grand, les valeurs π/n et 2π/n deviennent petites, le sinus d'une petite valeur est proche de cette valeur. Plus la valeur est petite, plus la proximité est bonne, on en déduit que plus le nombre de côtés d'un polygone augmente, plus son périmètre et son aire se rapprochent de ceux d'un cercle de même rayon.
Les polygones réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les grecs. Parmi l'ensemble des polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui est régulier possède la plus grande aire. Cette aire, encore plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que n devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article Isopérimétrie.

La figure explicative est sur la droite. Pour plus de simplicité, on oriente le polygone de telle manière que l'arête localisée la plus à droite soit verticale. L'angle associé à une arête est de mesure 2π/n. Il est néanmoins plus simple de considérer les demi-angles, la longueur d'une arête, égale à p/n s'exprime de la manière suivante :

La longueur d'une arête est en effet deux fois celle du segment vert sur la figure. La surface a du polygone est la somme des aires de n triangles isocèles, ayant pour hauteur le segment en rouge sur la figure et pour base une arête. Ce qui donne la formule :

En remplaçant ρ par sa valeur, on obtient :

Cotés | Nom | Aire exacte si t = 1 | Demi périmètre si ρ = 1 |
---|---|---|---|
3 | Triangle équilatéral | ![]() |
2, 5980762 |
4 | Carré | ![]() |
2.8284271 |
5 | Pentagone régulier | ![]() |
2, 9389263 |
6 | Hexagone régulier | ![]() |
3, 000000 |
7 | Heptagone régulier | 3, 0371862 | |
8 | Octogone régulier | ![]() |
3, 0614675 |
9 | Ennéagone régulier | 3, 0781813 | |
10 | Décagone régulier | ![]() |
3, 0901699 |
11 | Hendécagone régulier | 3, 0990581 | |
12 | Dodécagone régulier | ![]() |
3, 1058285 |
13 | 3, 1111036 | ||
14 | Tétradécagone régulier | 3, 1152931 | |
15 | Pentadécagone régulier | 3, 1186754 | |
16 | Hexadécagone régulier | 3, 1214452 | |
17 | Heptadécagone régulier | 3, 1237418 | |
18 | Octadécagone régulier | 3, 1256672 | |
19 | Ennéadécagone | 3, 1272972 | |
20 | Icosagone | 3, 1286893 | |
100 | Hectagone | 3, 1410759 | |
1 000 | Chiliagone | 3, 1415875 | |
10 000 | 3, 1415926 |
On remarque que, si le rayon est égal à 1, le demi-périmètre s'approche de plus en plus de π.
Symétrie
Le groupe de symétrie d'un polygone régulier à n-côtés est le groupe diédral (ou diédrique) Dn (d'ordre 2n) : D2, <i>D</i><sub>3</sub>, <i>D</i><sub>4</sub>, ... Il est constitué des rotations dans Cn (le groupe de symétrie rotationnelle d'ordre n), avec les symétries de réflexion par n axes qui passent à travers le centre. Si n est pair, alors la moitié de ces axes passent à travers deux sommets opposés, et l'autre moitié à travers le milieu des côtés opposés. Si n est impair, alors l'ensemble des axes passent à travers un sommet et le milieu du côté opposé.
Construction à la règle et au compas
Un polygone régulier à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et uniquement si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers de Fermat différents, (cf l'article Théorème de Gauss-Wantzel) .
Polygones réguliers non convexes


Une catégorie étendue de polygones réguliers incluent les polygones étoilés, par exemple un pentagramme, qui a les mêmes sommets qu'un pentagone, mais qui est connecté par des sommets alternés.
Les premiers polygones étoilés non composés sont :
- Pentagramme - {5/2}
- Heptagramme - {7/2}, {7/3}
- Octogramme - {8/3}
- Ennéagramme - {9/2}, {9/4}
- Décagramme - {10/3}
(Voir l'article Stellation)
Polyèdres
Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommet, il existe une isométrie appliquant l'un sur l'autre. Le mot polygone vien du mot poly (plusieur) et gone (face) cela veut dire plusieur face
Voir aussi
- Pavage par les polygones réguliers
Liens externes
- Description de polygone régulier avec une animation interactive
- Cercle inscrit d'un polygone régulier avec une animation interactive
- Aire d'un polygone régulier Trois formules différentes, avec une animation interactive
- Géométrie de fleurs avec un polygone régulier Correspondances entre les figures et le tracé des fleurs
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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