Polygone

En géométrie euclidienne, un polygone est une figure géométrique plane, constituée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.



Catégories :

Polygone

Recherche sur Google Images :


Source image : educastream.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Définitions :

  • polygones - Un polygone est une figure géométrique qui a plusieurs angles et plusieurs côtés. (POLY = plusieurs, GONE = angles) Les triangles, les ... (source : pagesperso-orange)

En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, constituée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.

Il peut être convexe ou non, ou alors croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont d'intersection non vide.

Quand un polygone n'est pas croisé, la somme de ses angles ne dépend que de son nombre de sommets.

Le bord d'un polygone est un cas spécifique de ligne brisée.

La notion de polygone est généralisée en dimension supérieure par celles de polyèdre et de polytope.

Des polygones

Vocabulaire de base

Un polygone est constitué :

Représentation d'un polygone ABCDEF.

Un polygone est généralement désigné par la juxtaposition des lettres désignant les sommets, dans l'ordre de la suite.

L'ordre d'un polygone est le nombre de ses sommets.

La désignation d'un polygone en toute généralité s'écrit par conséquent A1A2A3... An, constitué de n sommets et de n segments [A1A2], [A2A3][An − 1An] et [AnA1].

On dénomme alors polygone la figure notée «A1A2A3... An», et constituée ensuite des n segments : [A1A2], [A2A3], ... [An-1An] et [AnA1].

À chaque sommet est associé un angle, c'est l'angle entre les deux côtés qui aboutissent au sommet.

Ordre d'un polygone

Le nombre n des côtés d'un polygone est couramment nommé ordre de ce polygone. C'est bien entendu aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles. A titre d'exemple, un polygone d'ordre cinq détient cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.

Eléments opposés

  • les sommets scindés par n/2 côtés sont dits «opposés» entre eux ;
  • même chose pour les angles correspondants ;
  • les côtés scindés par n/2 sommets sont dits eux aussi «opposés» entre eux.

Côtés prolongés et diagonales

Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont nommées les côtés prolongés de ce polygone.

Les côtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les sommets entre eux. Tout segment reliant deux sommets d'un polygone et autre qu'un côté est nommé diagonale de ce polygone.

Un polygone à n côtés possède ainsi \frac{n(n-3)}{2}\, diagonales.

Typologie des polygones

Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : selon leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles... Mais on les classe en premier lieu suivant leur nombre de côtés.

Classement suivant le nombre de côtés

Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur nombre de côtés, c'est-à-dire leur ordre.

Le polygone le plus élémentaire est le triangle : un polygone possède au moins trois sommets et trois côtés.

Vient ensuite le quadrilatère, à quatre côtés et quatre sommets.

À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est constitué d'une racine grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe -gone.

Pour s'y retrouver dans l'expression des polygones, il faut retenir que -kai- veut dire «et» en grec, et que -conta- veut dire «dizaine». A titre d'exemple, le mot triacontakaiheptagone veut dire trois (tria-) dizaines (-conta-) et (-kai-) sept (-hepta-) unités, et correspond par conséquent à un polygone de trente-sept côtés, "et" étant interprété ici comme "plus".

Au-delà de douze côtés, la coutume incite à parler de polygone à n côtésn est remplacé par le nombre souhaité, ceci pour simplifier les choses.

Il existe cependant plusieurs appellations anciennes pour des nombres «ronds» comme pour un polygone à vingt côtés (icosa-), à cent côtés (hecto-) ainsi qu'à dix mille côtés (myria-).

Appellations des polygones
Nombre de côtés Nom
hénagone ou monogone polygone à 1 côté, objet impossible en géométrie euclidienne [3]
digone ou angle un polygone dégénéré à 2 côtés
3 côtés triangle ou trigone
4 côtés quadrilatère ou tétragone
5 côtés pentagone
6 côtés hexagone
7 côtés heptagone
8 côtés octogone
9 côtés ennéagone ou nonagone
10 côtés décagone
11 côtés hendécagone
12 côtés dodécagone
13 côtés triskaidécagone ou tridécagone
14 côtés tétrakaidécagone ou tétradécagone, quadridécagone
15 côtés pentakaidécagone ou pentadécagone, quidécagone
16 côtés hexakaidécagone ou hexadécagone
17 côtés heptakaidécagone ou heptadécagone
18 côtés octakaidécagone ou octadécagone
19 côtés ennéakaidécagone ou ennéadécagone
20 côtés icosagone
21 côtés icosikaihenagone ou henicosagone
22 côtés icosikaidigone ou doicosagone
23 côtés icosikaitrigone ou triaicosagone
24 côtés icosikaitétragone ou tétraicosagone
25 côtés icosikaipentagone ou pentaicosagone
26 côtés icosikaihexagone ou hexaicosagone
27 côtés icosikaiheptagone ou heptaicosagone
28 côtés icosikaioctagone ou octaicosagone
29 côtés icosikaiennéagone ou ennéaicosagone
30 côtés triacontagone
31 côtés triacontakaihenagone ou hentriacontagone
32 côtés triacontakaidigone ou dotriacontagone
33 côtés triacontakaitrigone ou tritriacontagone
34 côtés triacontakaitétragone ou tétratriacontagone
35 côtés triacontakaipentagone ou pentatriacontagone
36 côtés triacontakaihexagone ou hexatriacontagone
37 côtés triacontakaiheptagone ou heptatriacontagone
38 côtés triacontakaioctogone ou octatriacontagone
39 côtés triacontakaiennégone ou ennéatriacontagone
40 côtés tétracontagone
50 côtés pentacontagone
60 côtés hexacontagone
70 côtés heptacontagone
80 côtés octacontagone
90 côtés ennéacontagone
100 côtés hectogone ou hécatontagone
200 côtés dihectogone
300 côtés trihectogone
400 côtés tétrahectogone
500 côtés pentahectogone
600 côtés hexahectogone
700 côtés heptahectogone
800 côtés octahectogone
900 côtés ennéahectogone
1 000 côtés chiliogone ou chiliagone ou chiligone[4]
10 000 côtés myriagone ou myriogone[4]

Les mêmes principes s'appliquent aux polyèdres, où il suffit de remplacer le suffixe -gone par le suffixe -èdre.

Classement par convexité

On rappelle qu'une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone.

Pentagone croisé.

Exemple : les segments [AC], [AD], [BD], [BE], [CE] sont les 5 diagonales du pentagone ABCDE ci-contre.

Un polygone à n cotés (ou sommets d'ailleurs) a n× (n-3) /2 diagonales.

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses côtés sont sécants , c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-contre (à droite).

L'enveloppe d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de ce dernier. A titre d'exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Polygone concave

Polygone concave.

Un polygone est dit concave s'il n'est pas croisé et si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'interieur de la surface délimitée par le polygone.

A titre d'exemple, le pentagone ACDBE ci-contre (à droite) est dit concave car les diagonales [BC] et [CE] sont hors de la surface délimitée par le polygone.

Polygone convexe

Polygone convexe.

Un polygone est dit convexe s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement au sein de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-contre (à droite) est dit convexe.

Polygone étoilé

L'enveloppe convexe d'un polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Attention : l'enveloppe et l'enveloppe convexe d'un polygone ne se confondent que si ce dernier est convexe !

Un polygone est alors dit étoilé si (et uniquement si) aucun de ses côtés n'appartient à son enveloppe convexe.

A titre d'exemple, le pentagone croisé précédent et son enveloppe sont étoilés l'ensemble des deux.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités (appelées symétries) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que des rotations ou des réflexions. L'élément de symétrie d'une transformation est la totalité des points invariants par cette transformation :

On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux.

On dit qu'un polygone (ou d'une façon plus générale toute figure de géométrie) présente un élément de symétrie lorsqu'il est globalement invariant par la transformation correspondante.

Dans le cas d'un polygone, l'ensemble des éléments de symétrie passent par un même point. Quand il est unique, ce point est nommé centre du polygone.

Lien avec la théorie des groupes

La totalité des symétries d'un polygone (ou en fait de tout autre objet géométrique) est un exemple typique de groupe. En effet, quand on compose deux symétries d'un polygone (c'est-à-dire qu'on effectue l'une puis l'autre) le résultat est toujours une symétrie de ce polygone, la composition forme par conséquent une loi de groupe sur la totalité des symétries d'un polygone. Ainsi la théorie des groupes permet-elle une étude simple et générale des symétries d'un polygone.

Notion de polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il est convexe et présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés.

Ennéagone régulier.

Cela veut dire qu'il se superpose à lui-même lorsque on le tourne d'un angle de {2 \pi \over n}, où n est l'ordre du polygone.

Le polygone présente ainsi la même configuration en chacun de ses sommets qui sont par conséquent disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation.

Un polygone régulier est par conséquent un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont l'ensemble des côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux (ou ses angles égaux), alors il est régulier.

La totalité des symétries d'un polygone régulier est nommé un groupe dihédral.

Quelques exemples et contre-exemples :

Polygone isocèle

Polygone isocèle d'ordre impair (triangle isocèle).

Un polygone est dit isocèle lorsqu'il présente au moins un axe-miroir.

Les axes-miroirs passent obligatoirement par des sommets ou des milieux des côtés du polygone.

Plus exactement :

Un polygone isocèle qui présente plusieurs axes-miroir a obligatoirement un centre, le point d'intersection des axes-miroir.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ;
  • le cerf-volant est aussi un polygone isocèle ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ;
  • le losange peut être vu comme un cas spécifique de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et confondus avec ses diagonales ;

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique lorsqu'il présente un centre de symétrie.

Tout polygone centrosymétrique a obligatoirement un nombre pair de sommets, et vice versa, seuls les polygones d'ordre pair peuvent être centrosymétriques.

Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur (ordre du polygone pair).

Polygone centrosymétrique (parallélogramme).

Quelques exemples et contre-exemples :

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique lorsqu'il présente un axe de rotation d'ordre n.

Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés.

Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas spécifiques de polygones rotosymétriques.

Quelques exemples et contre-exemples :

Polygone scalène (triangle scalène).

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie. Un polygone scalène n'a par conséquent pas de centre de symétrie.

Classement par les angles

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle lorsqu'il comporte au moins un angle droit.

Quelques exemples et contre-exemples :

Polygone birectangle

Un polygone est dit birectangle lorsqu'il comporte au moins deux angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • les trapèzes rectangles, qui présentent deux angles droits consécutifs ;
  • les semi-rectangles, qui présentent deux angles droits non consécutifs ; on peut les décrire comme deux triangles rectangles accolés par leur hypoténuse ;

Un polygone avec deux angles droits consécutifs présente deux côtés parallèles.

Polygone trirectangle

Un polygone est dit trirectangle lorsqu'il comporte au moins trois angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

Un polygone convexe avec trois angles droits consécutifs présente deux fois deux côtés parallèles. Il ressemble en fait à un rectangle avec un coin découpé.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle lorsque tous ses angles sont égaux.

Quelques exemples et contre-exemples :

Autres classements

Polygone équilatéral

Polygone équilatéral (heptagone régulier).

Un polygone est dit équilatéral lorsque tous ses côtés ont la même longueur.

Quelques exemples et contre-exemples :

Un polygone est dit inscriptible lorsque tous ses sommets se trouvent sur un même cercle, dit circonscrit au polygone. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglophones aux polygones inscriptibles.

Quelques exemples et contre-exemples :

Un polygone est dit circonscriptible lorsque tous ses côtés sont tangents à un même cercle, dit inscrit dans le polygone. Les anglophones ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone.

Quelques exemples et contre-exemples :

Autres définitions et propriétés

Médiatrices d'un polygone

Ce sont les médiatrices (la droite qui coupe perpendiculairemennt et en son milieu un segment) de ses côtés.

Bissectrices d'un polygone

Ce sont les bissectrices de ses angles.

Médianes et diagonales principales d'un polygone

  • on nomme diagonale principale de ce polygone tout segment reliant deux sommets opposés. Ces diagonales principales sont au nombre de \frac{n}{2}\,. Si le polygone est régulier, ses diagonales principales sont aussi nommées diamètres, car elles sont alors aussi des diamètres du cercle circonscrit au polygone.
  • on nomme médiane de ce polygone tout segment reliant les milieux de deux côtés opposés. Ces médianes sont aussi au nombre de \frac{n}{2}\,.

Apothèmes et rayons d'un polygone à centre

Apothéme d'un hexagone.

Les apothèmes d'un polygone à centre relient les milieux de ses côtés à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

Les rayons d'un polygone à centre relient ses sommets à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

Notion d'angle au centre

Soit A1A2A3... An un polygone à n côtés pourvu d'un centre O.

On nomme angle au centre du polygone l'angle \widehat{A_i O A_i}_{+1} \, constitué par deux rayons consécutifs de ce polygone.

Si le polygone reconnu est régulier, les n angles au centre ont tous la même mesure, 2π / n radians, et c'est aussi la mesure de l'angle entre deux apothèmes consécutifs.

Somme des angles (ou Théorème de Santarelli)

La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom spécifique, mais vaut (seulement dans le cas d'un polygone convexe)  :

S = (n - 2) \times180ˆ\circ, S = n \times180-360ˆ\circ ou S = (n - 2)\times\pi radians, où n est l'ordre du polygone.

À noter que quand l'ordre d'un polygone augmente d'une unité, la somme de ses angles augmente de 180° ou π radians : c'est le supplément d'angle.

Périmètre d'un polygone (Théorême de Viete)

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.

Si le polygone est régulier, son périmètre P vaut :

 P = 2 n R \sin( \alpha / 2 ) \,

où :

Comme \alpha \, vaut 2π / n radians, et que sin xx lorsque x est voisin de 0, le périmètre tend vers 2 π R lorsque n tend vers l'infini. On retrouve bien le périmètre du cercle.

Aire d'un polygone (Lemme de Boursier)

L'aire d'un polygone non croisé est l'aire de la surface enclose par le polygone.

Si le polygone est régulier, son aire A vaut :

 A = n Rˆ2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \,

où :

Comme l'angle au centre vaut 2 π / n radians, et que sin xx et cos x ≈ 1 lorsque x est voisin de 0, l'aire tend vers π R2 lorsque n tend vers l'infini. On retrouve bien l'aire du disque.

Il existe une seconde formule envisageable pour calculer l'aire d'un polygone régulier : A = \frac{a \times P}{2}

a est l'apothème du polygone et P son périmètre.

Quand le polygone est irrégulier, il est facile de le partitionner en triangles à partir des diagonales. Pour calculer son aire, il suffit alors de faire la somme des aires des triangles obtenus.

Voir aussi

Liens externes

Références

  1. Il s'agit plus précisément d'une suite cyclique, c'est-à-dire que le premier terme est le successeur du dernier et qu'un décalage des termes de la suite décrit le même polygone.
  2. Plusieurs sommets peuvent coïncider en un même point. Un sommet est par conséquent plutôt un terme de la suite qu'une image dans le plan.
  3. En géométrie sphérique, on peut le représenter par un sommet positionné sur un grand cercle.
  4. Dans ses Méditations Métaphysiques, Descartes se sert du chiliogone et du myriogone pour montrer la différence entre l'imagination et la conception pure.

Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu